espacio de Hilbert

Uno de los ejemplos más conocidos de un espacio de Hilbert es el espacio vectorial euclidiano que consta de vectores tridimensionales , denotado por${\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}$y equipado con el producto escalar . El producto escalar toma dos vectores x e y , y produce un número real x ⋅ y . Si x e y se representan en coordenadas cartesianas , entonces el producto escalar se define por: ^{[ 1 ]}$${\displaystyle {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{pmatrix}}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}\,.}$$

El producto escalar satisface las propiedades: ^{[ 1 ]}

1. Es simétrica en x e y : x ⋅ y = y ⋅ x .
2. Es lineal en su primer argumento: ( a x ₁ + b x ₂ ) ⋅ y = a ( x ₁ ⋅ y ) + b ( x ₂ ⋅ y ) para cualesquiera escalares a , b , y vectores x ₁ , x ₂ , e y . ^{[ a ]}
3. Es definida positiva : para todos los vectores x , x ⋅ x ≥ 0 , con igualdad si y solo si x = 0 .

Una operación sobre pares de vectores que, como el producto escalar, satisface estas tres propiedades se conoce como producto interno (real) . Un espacio vectorial equipado con dicho producto interno se conoce como espacio de producto interno (real) . Todo espacio de producto interno de dimensión finita es también un espacio de Hilbert. ^{[ 2 ]} La característica básica del producto escalar que lo conecta con la geometría euclidiana es que está relacionado tanto con la longitud (o norma ) de un vector, denotada ‖ x ‖ , como con el ángulo θ entre dos vectores x e y mediante la fórmula ^{[ 3 ]}$${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\left\|\mathbf {x} \right\|\left\|\mathbf {y} \right\|\,\cos \theta \,.}$$

El cálculo multivariable en el espacio euclidiano se basa en la capacidad de calcular límites y en tener criterios útiles para concluir que existen límites. Una serie matemática$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\mathbf {x} _{n}}$$ que consiste en vectores en R ³ es absolutamente convergente siempre que la suma de las longitudes converja como una serie ordinaria de números reales: ^{[ 4 ]}$${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\|\mathbf {x} _{k}\|<\infty \,.}$$ Al igual que con una serie de escalares, una serie de vectores que converge absolutamente también converge a algún vector límite L en el espacio euclidiano, en el sentido de que $${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\Biggl \|}\mathbf {L} -\sum _{k=0}^{N}\mathbf {x} _{k}{\Biggr \|}=0.}$$ Esta propiedad expresa la completitud del espacio euclidiano: que una serie que converge absolutamente también converge en el sentido ordinario. ^{[ 5 ]}

Los espacios de Hilbert se toman a menudo sobre los números complejos . El plano complejo denotado por C está equipado con una noción de magnitud, el módulo complejo | z | , que se define como la raíz cuadrada del producto de z con su conjugado complejo : ^{[ 6 ]}$${\displaystyle |z|^{2}=z{\overline {z}}\,.}$$

Si z = x + iy es una descomposición de z en sus partes real e imaginaria, entonces el módulo es la longitud euclidiana bidimensional usual: ^{[ 6 ]}$${\displaystyle |z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\,.}$$

El producto interno de un par de números complejos z y w es el producto de z con el conjugado complejo de w : ^{[ 7 ]}$${\displaystyle \langle z,w\rangle =z{\overline {w}}\,.}$$

Esto es de valor complejo. La parte real de ⟨ z , w ⟩ da el producto escalar euclidiano bidimensional usual . ^{[ 7 ]}

Un segundo ejemplo es el espacio C ² cuyos elementos son pares de números complejos z = ( z ₁ , z ₂ ) . Entonces, un producto interno de z con otro vector de este tipo w = ( w ₁ , w ₂ ) viene dado por ^{[ 7 ]}$${\displaystyle \langle z,w\rangle =z_{1}{\overline {w}}_{1}+z_{2}{\overline {w}}_{2}\,.}$$

La parte real de ⟨ z , w ⟩ es entonces el producto escalar euclidiano de cuatro dimensiones. Este producto interno es simétrico hermitiano , lo que significa que el resultado de intercambiar z y w es el conjugado complejo: ^{[ 7 ]}$${\displaystyle \langle w,z\rangle ={\overline {\langle z,w\rangle }}\,.}$$

Un espacio de Hilbert es un espacio con producto interno real o complejo que también es un espacio métrico completo con respecto a la función de distancia inducida por el producto interno. ^{[ 8 ]}

Decir que un espacio vectorial complejo H es un espacio con producto interno complejo significa que existe un producto interno.${\displaystyle \langle x,y\rangle }$asociar un número complejo a cada par de elementos${\displaystyle x,y}$de H que satisface las siguientes propiedades: ^{[ 9 ]}

1. El producto interno es simétrico conjugado; es decir, el producto interno de un par de elementos es igual al conjugado complejo del producto interno de los elementos intercambiados:$${\displaystyle \langle y,x\rangle ={\overline {\langle x,y\rangle }}\,.}$$Es importante destacar que esto implica que${\displaystyle \langle x,x\rangle }$es un número real. ^{[ 9 ]}
2. El producto interno es lineal en su primer argumento. ^{[ b ]} Para todos los números complejos${\displaystyle a}$y${\displaystyle b,}$^{[ 9 ]}$${\displaystyle \langle ax_{1}+bx_{2},y\rangle =a\langle x_{1},y\rangle +b\langle x_{2},y\rangle \,.}$$
3. El producto interno de un elemento consigo mismo es definido positivo : ^{[ 9 ]}$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\langle x,x\rangle >0&\quad {\text{ if }}x\neq 0,\\\langle x,x\rangle =0&\quad {\text{ if }}x=0\,.\end{alignedat}}}$$

De las propiedades 1 y 2 se deduce que un producto interno complejo es antilineal , también llamado lineal conjugado , en su segundo argumento, lo que significa que ^{[ 10 ]}$${\displaystyle \langle x,ay_{1}+by_{2}\rangle ={\bar {a}}\langle x,y_{1}\rangle +{\bar {b}}\langle x,y_{2}\rangle \,.}$$

Un espacio de producto interno real se define de la misma manera, excepto que H es un espacio vectorial real y el producto interno toma valores reales. Dicho producto interno será una aplicación bilineal y${\displaystyle (H,H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$formará un sistema dual . ^{[ 11 ]}

La norma es la función de valor real ^{[ 12 ]}$${\displaystyle \|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}\,,}$$ y la distancia${\displaystyle d}$entre dos puntos${\displaystyle x,y}$en H se define en términos de la norma por $${\displaystyle d(x,y)=\|x-y\|={\sqrt {\langle x-y,x-y\rangle }}\,.}$$ Aquí,${\displaystyle d(x,y)}$es una función de distancia ^{[ 13 ]} lo que significa en primer lugar que es simétrica en${\displaystyle x}$y${\displaystyle y,}$segundo que la distancia entre${\displaystyle x}$y en sí mismo es cero, y de lo contrario la distancia entre${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$debe ser positivo y, por último, que se cumpla la desigualdad triangular , lo que significa que la longitud de un cateto de un triángulo xyz no puede exceder la suma de las longitudes de los otros dos catetos: ^{[ 14 ]}$${\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)\,.}$$

Esta última propiedad es en última instancia una consecuencia de la desigualdad de Cauchy-Schwarz más fundamental , que afirma: $${\displaystyle \left|\langle x,y\rangle \right|\leq \|x\|\|y\|}$$ con igualdad si y solo si${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$son linealmente dependientes . ^{[ 15 ]}

Con una función de distancia definida de esta manera, cualquier espacio con producto interno es un espacio métrico . Un espacio con producto interno se conoce a veces como espacio pre-Hilbert . ^{[ 15 ]} Cualquier espacio pre-Hilbert que además sea un espacio completo es un espacio de Hilbert. ^{[ 16 ]}

La completitud de H se expresa utilizando una forma del criterio de Cauchy para secuencias en H : un espacio pre-Hilbert H es completo si toda secuencia de Cauchy converge con respecto a esta norma a un elemento en el espacio. La completitud se puede caracterizar por la siguiente condición equivalente: si una serie de vectores $${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }u_{k}}$$converge absolutamente en el sentido de que $${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\|u_{k}\|<\infty \,,}$$ entonces la serie converge en H , en el sentido de que las ^sumas parciales convergen a un elemento de H. ^{[ 17} ]

Como espacios normados completos, los espacios de Hilbert son, por definición, también espacios de Banach . ^{[ 18 ]} Como tales, son espacios vectoriales topológicos , en los que nociones topológicas como la apertura y la cerradura de subconjuntos están bien definidas . ^{[ 19 ]} De especial importancia es la noción de un subespacio lineal cerrado de un espacio de Hilbert que, con el producto interno inducido por la restricción , también es completo (al ser un conjunto cerrado en un espacio métrico completo) y, por lo tanto, un espacio de Hilbert por derecho propio. ^{[ 20 ]}

El espacio de secuencias${\textstyle \ell ^{2}}$consiste en todas las secuencias infinitas z = ( z ₁ , z ₂ , ...) de números complejos tales que la serie$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|z_{n}|^{2}}$$ de sus normas al cuadrado converge . ^{[ 21 ]} El producto interno en${\textstyle \ell ^{2}}$se define por ^{[ 21 ]}$${\displaystyle \langle \mathbf {z} ,\mathbf {w} \rangle =\sum _{n=1}^{\infty }z_{n}{\overline {w}}_{n}\,.}$$ La serie para el producto interno converge como consecuencia de la desigualdad de Cauchy-Schwarz y la convergencia supuesta de las dos series de normas al cuadrado. ^{[ 22 ]}

La integridad del espacio se mantiene siempre que una serie de elementos de${\textstyle \ell ^{2}}$converge absolutamente (en norma), entonces converge a un elemento de${\textstyle \ell ^{2}}$La demostración es fundamental en el análisis matemático y permite manipular series matemáticas de elementos del espacio con la misma facilidad que series de números complejos (o vectores en un espacio euclidiano de dimensión finita). ^{[ 23 ]}

Los espacios de Lebesgue son espacios de funciones asociados a espacios de medida ( X , M , μ ) , donde X es un conjunto, M es una σ-álgebra de subconjuntos de X , y μ es una medida numerablemente aditiva en M. Sea L2 ⁽ X , μ ) el espacio de aquellas funciones medibles de valor complejo en ^X para las cuales la integral de Lebesgue del cuadrado del valor absoluto de la función es finita, es decir, para una función f en L2 ( X , μ ) , $${\displaystyle \int _{X}|f|^{2}\,\mathrm {d} \mu <\infty \,,}$$ y donde las funciones se identifican si y solo si difieren únicamente en un conjunto de medida cero . ^{[ 44 ]}

El producto interno de las funciones f y g en L ² ( X , μ ) se define entonces como $${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{X}f(t){\overline {g(t)}}\,\mathrm {d} \mu (t)}$$o$${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{X}{\overline {f(t)}}g(t)\,\mathrm {d} \mu (t)\,,}$$

donde la segunda forma (conjugación del primer elemento) se encuentra comúnmente en la literatura de física teórica . Para f y g en L² , la integral existe debido a la desigualdad ^de Cauchy-Schwarz y define un producto interno en el espacio. Equipado con este producto interno, L² es de hecho completo. ^{[ 45 ]} La integral de Lebesgue es esencial para asegurar la completitud: en dominios de números reales, por ejemplo, no hay suficientes funciones integrables de ^Riemann . ^{[ 46 ]}

Los espacios de Lebesgue aparecen en muchos entornos naturales. ^{[ 47 ]} Los espacios L ² ( R ) y L ² ([0,1]) de funciones de cuadrado integrable con respecto a la medida de Lebesgue en la recta real y el intervalo unitario, respectivamente, son dominios naturales en los que definir la transformada de Fourier y la serie de Fourier. ^{[ 48 ]} En otras situaciones, la medida puede ser algo distinto de la medida de Lebesgue ordinaria en la recta real. Por ejemplo, si w es cualquier función medible positiva, el espacio de todas las funciones medibles f en el intervalo [0, 1] que satisfacen $${\displaystyle \int _{0}^{1}{\bigl |}f(t){\bigr |}^{2}w(t)\,\mathrm {d} t<\infty }$$ se denomina espacio L ² ponderado L ² _w ([0, 1]) , y w se denomina función de peso. El producto interno se define por $${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{0}^{1}f(t){\overline {g(t)}}w(t)\,\mathrm {d} t\,.}$$

El espacio ponderado L ² _w ([0, 1]) es idéntico al espacio de Hilbert L ² ([0, 1], μ ) donde la medida μ de un conjunto A medible según Lebesgue se define por $${\displaystyle \mu (A)=\int _{A}w(t)\,\mathrm {d} t\,.}$$

Los espacios L2 ponderados como ^este se utilizan frecuentemente para estudiar polinomios ortogonales , porque diferentes familias de polinomios ortogonales son ortogonales con respecto a diferentes funciones de ponderación. ^{[ 49 ]}

Los espacios de Sobolev , denotados por H ^s o W ^{s ,2} , son espacios de Hilbert. Son un tipo especial de espacio de funciones en el que se puede realizar la diferenciación , pero que (a diferencia de otros espacios de Banach como los espacios de Hölder ) admiten la estructura de un producto interno. Debido a que se permite la diferenciación, los espacios de Sobolev son un marco conveniente para la teoría de ecuaciones diferenciales parciales . ^{[ 50 ]} También constituyen la base de la teoría de los métodos directos en el cálculo de variaciones . ^{[ 51 ]}

Para s un entero no negativo y Ω ⊂ R ⁿ , el espacio de Sobolev H ^s (Ω) contiene funciones L ² cuyas derivadas débiles de orden hasta s también son L ² . El producto interno en H ^s (Ω) es $${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{\Omega }f(x){\bar {g}}(x)\,\mathrm {d} x+\int _{\Omega }Df(x)\cdot D{\bar {g}}(x)\,\mathrm {d} x+\cdots +\int _{\Omega }D^{s}f(x)\cdot D^{s}{\bar {g}}(x)\,\mathrm {d} x}$$ donde el punto indica el producto escalar en el espacio euclidiano de derivadas parciales de cada orden. Los espacios de Sobolev también pueden definirse cuando s no es un número entero.

Los espacios de Sobolev también se estudian desde el punto de vista de la teoría espectral, basándose más específicamente en la estructura del espacio de Hilbert. Si Ω es un dominio adecuado, entonces se puede definir el espacio de Sobolev H ^s (Ω) como el espacio de potenciales de Bessel ; ^{[ 52 ]} aproximadamente, $${\displaystyle H^{s}(\Omega )=\left\{(1-\Delta )^{-s/2}f\mathrel {\Big |} f\in L^{2}(\Omega )\right\}\,.}$$

Aquí Δ es el laplaciano y (1 − Δ) ^{− s / 2} se entiende en términos del teorema de mapeo espectral . Además de proporcionar una definición práctica de espacios de Sobolev para s no enteros , esta definición también posee propiedades particularmente deseables bajo la transformada de Fourier que la hacen ideal para el estudio de operadores pseudodiferenciales . Utilizando estos métodos en una variedad riemanniana compacta , se puede obtener, por ejemplo, la descomposición de Hodge , que es la base de la teoría de Hodge . ^{[ 53 ]}

En la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias , se utilizan métodos espectrales en un espacio de Hilbert adecuado para estudiar el comportamiento de los autovalores y autofunciones de las ecuaciones diferenciales. Por ejemplo, el problema de Sturm-Liouville surge en el estudio de los armónicos de las ondas en una cuerda de violín o un tambor, y es un problema central en ecuaciones diferenciales ordinarias . ^{[ 59 ]} El problema es una ecuación diferencial de la forma $${\displaystyle -{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[p(x){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right]+q(x)y=\lambda w(x)y}$$ para una función desconocida y en un intervalo [ a , b ] , que satisface condiciones de contorno de Robin homogéneas generales$${\displaystyle {\begin{cases}\alpha y(a)+\alpha 'y'(a)&=0\\\beta y(b)+\beta 'y'(b)&=0\,.\end{cases}}}$$ Las funciones p , q y w se dan de antemano, y el problema consiste en encontrar la función y y las constantes λ para las cuales la ecuación tiene solución. El problema solo tiene soluciones para ciertos valores de λ , llamados autovalores del sistema, y ​​esto es consecuencia del teorema espectral para operadores compactos aplicado al operador integral definido por la función de Green para el sistema. Además, otra consecuencia de este resultado general es que los autovalores λ del sistema pueden ordenarse en una secuencia creciente que tiende al infinito. ^{[ 60 ] [ c ]}

Los espacios de Hilbert constituyen una herramienta fundamental en el estudio de las ecuaciones diferenciales parciales . ^{[ 50 ]} Para muchas clases de ecuaciones diferenciales parciales, como las ecuaciones elípticas lineales , es posible considerar una solución generalizada (conocida como solución débil ) ampliando la clase de funciones. Muchas formulaciones débiles involucran la clase de funciones de Sobolev , que es un espacio de Hilbert. Una formulación débil adecuada se reduce a un problema geométrico, al problema analítico de encontrar una solución o, a menudo, lo que es más importante, a demostrar que existe una solución y que es única para datos de contorno dados. Para las ecuaciones elípticas lineales, un resultado geométrico que garantiza la unicidad de la solución para una gran clase de problemas es el teorema de Lax-Milgram . Esta estrategia constituye el rudimento del método de Galerkin (un método de elementos finitos ) para la solución numérica de ecuaciones diferenciales parciales. ^{[ 61 ]}

Un ejemplo es la ecuación de Poisson −Δ u = g con condiciones de contorno de Dirichlet en un dominio acotado Ω en R ² . La formulación débil consiste en encontrar una función u tal que, para todas las funciones continuamente diferenciables v en Ω que se anulan en el contorno: $${\displaystyle \int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla v=\int _{\Omega }gv\,.}$$

Esto se puede reformular en términos del espacio de Hilbert H ¹ ₀ (Ω) que consta de funciones u tales que u , junto con sus derivadas parciales débiles, son de cuadrado integrable en Ω y se anulan en la frontera. La cuestión se reduce entonces a encontrar u en este espacio tal que para todo v en este espacio $${\displaystyle a(u,v)=b(v)}$$

donde a es una forma bilineal continua y b es un funcional lineal continuo , dados respectivamente por $${\displaystyle a(u,v)=\int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla v,\quad b(v)=\int _{\Omega }gv\,.}$$

Dado que la ecuación de Poisson es elíptica , se deduce de la desigualdad de Poincaré que la forma bilineal a es coercitiva . El teorema de Lax-Milgram garantiza entonces la existencia y unicidad de soluciones de esta ecuación. ^{[ 62 ]}

Los espacios de Hilbert permiten formular muchas ecuaciones diferenciales parciales elípticas de manera similar, y el teorema de Lax-Milgram se convierte entonces en una herramienta fundamental para su análisis. Con las modificaciones adecuadas, se pueden aplicar técnicas similares a ecuaciones diferenciales parciales parabólicas y a ciertas ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas . ^{[ 63 ]}

El campo de la teoría ergódica estudia el comportamiento a largo plazo de los sistemas dinámicos caóticos . El caso prototípico de un campo al que se aplica la teoría ergódica es la termodinámica , en la que, si bien el estado microscópico de un sistema es extremadamente complejo (es imposible comprender el conjunto de colisiones individuales entre partículas de materia), el comportamiento promedio en intervalos de tiempo suficientemente largos es manejable. Las leyes de la termodinámica son afirmaciones sobre dicho comportamiento promedio. En particular, una formulación de la ley cero de la termodinámica afirma que, en escalas de tiempo suficientemente largas, la única medición funcionalmente independiente que se puede realizar de un sistema termodinámico en equilibrio es su energía total, en forma de temperatura . ^{[ 64 ]}

Un sistema dinámico ergódico es aquel para el cual, aparte de la energía —medida por el hamiltoniano— no existen otras cantidades conservadas funcionalmente independientes en el espacio de fases . Más explícitamente, supongamos que la energía E es fija, y sea Ω _E el subconjunto del espacio de fases que consta de todos los estados de energía E (una superficie de energía), y sea T _t el operador de evolución en el espacio de fases. El sistema dinámico es ergódico si toda función medible invariante en Ω _E es constante casi en todas partes . ^{[ 65 ]} Una función invariante f es aquella para la cual $${\displaystyle f(T_{t}w)=f(w)}$$ para todo w en Ω _E y todo tiempo t . El teorema de Liouville implica que existe una medida μ en la superficie de energía que es invariante bajo la traslación temporal . Como resultado, la traslación temporal es una transformación unitaria del espacio de Hilbert L ² (Ω _E , μ ) que consiste en funciones de cuadrado integrable en la superficie de energía Ω _E con respecto al producto interno. $${\displaystyle \left\langle f,g\right\rangle _{L^{2}\left(\Omega _{E},\mu \right)}=\int _{\Omega _{E}}f{\bar {g}}\,\mathrm {d} \mu \,.}$$

El teorema ergódico medio de von Neumann ^{[ 38 ]} establece lo siguiente:

• Si U _t es un semigrupo uniparamétrico (fuertemente continuo) de operadores unitarios en un espacio de Hilbert H , y P es la proyección ortogonal sobre el espacio de puntos fijos comunes de U _t , { x ∈ H | U _t x = x , ∀ t > 0} , entonces$${\displaystyle Px=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}U_{t}x\,\mathrm {d} t\,.}$$

Para un sistema ergódico, el conjunto fijo de la evolución temporal consta únicamente de las funciones constantes, por lo que el teorema ergódico implica lo siguiente: para cualquier función f ∈ L ² (Ω _E , μ ) , ^{[ 66 ]}$${\displaystyle {\underset {T\to \infty }{L^{2}-\lim }}{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}f(T_{t}w)\,\mathrm {d} t=\int _{\Omega _{E}}f(y)\,\mathrm {d} \mu (y)\,.}$$

Es decir, el promedio a largo plazo de una observable f es igual a su valor esperado sobre una superficie de energía. ^{[ 67 ]}

Uno de los objetivos básicos del análisis de Fourier es descomponer una función en una combinación lineal (posiblemente infinita) de funciones base dadas: la serie de Fourier asociada . La serie de Fourier clásica asociada a una función f definida en el intervalo [0, 1] es una serie de la forma $${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}e^{2\pi in\theta }}$$ dónde $${\displaystyle a_{n}=\int __{0}^{1}f(\theta )\;\!e^{-2\pi in\theta }\,\mathrm {d} \theta \,.}$$

En la figura se muestra un ejemplo de cómo sumar los primeros términos de una serie de Fourier para una función diente de sierra. Las funciones base son ondas sinusoidales con longitudes de onda λ / n ( para n entero ) más cortas que la longitud de onda λ de la propia función diente de sierra (excepto para n = 1 , la onda fundamental ).

Un problema significativo en las series de Fourier clásicas plantea en qué sentido converge la serie de Fourier, si es que converge, a la función f . Los métodos del espacio de Hilbert proporcionan una posible respuesta a esta pregunta. ^{[ 68 ]} Las funciones e _n ( θ ) = e ^{2π inθ} forman una base ortogonal del espacio de Hilbert L ² ([0, 1]) . En consecuencia, cualquier función de cuadrado integrable puede expresarse como una serie $${\displaystyle f(\theta )=\sum _ {n}a_ {n}e_ {n}(\theta )\,,\quad a_ {n}=\langle f,e_ {n}\rangle}$$ y, además, esta serie converge en el sentido del espacio de Hilbert (es decir, en la media L ² ).

El problema también puede estudiarse desde un punto de vista abstracto: todo espacio de Hilbert tiene una base ortonormal , y cada elemento del espacio de Hilbert puede escribirse de forma única como una suma de múltiplos de estos elementos de la base. Los coeficientes que aparecen en estos elementos de la base se conocen a veces abstractamente como los coeficientes de Fourier del elemento del espacio. ^{[ 69 ]} La abstracción es especialmente útil cuando es más natural usar diferentes funciones base para un espacio como L ² ([0, 1]) . En muchas circunstancias, es deseable no descomponer una función en funciones trigonométricas, sino en polinomios ortogonales u wavelets, por ejemplo, ^{[ 70 ]} y en dimensiones superiores en armónicos esféricos . ^{[ 71 ]}

Por ejemplo, si e _n son funciones base ortonormales cualesquiera de L ² [0, 1] , entonces una función dada en L ² [0, 1] puede aproximarse como una combinación lineal finita ^{[ 72 ].}$${\displaystyle f(x)\approx f_{n}(x)=a_{1}e_{1}(x)+a_{2}e_{2}(x)+\cdots +a_{n}e_{n}(x)\,.}$$

Los coeficientes { a _j } se seleccionan para que la magnitud de la diferencia ‖ f − f _n ‖ ² sea lo más pequeña posible. Geométricamente, la mejor aproximación es la proyección ortogonal de f sobre el subespacio que consta de todas las combinaciones lineales de los { e _j } , y se puede calcular mediante ^{[ 73 ].}$${\displaystyle a_{j}=\int _{0}^{1}{\overline {e_{j}(x)}}f(x)\,\mathrm {d} x\,.}$$

Que esta fórmula minimice la diferencia ‖ f − f _n ‖ ² es consecuencia de la desigualdad de Bessel y la fórmula de Parseval .

En diversas aplicaciones a problemas físicos, una función puede descomponerse en autofunciones físicamente significativas de un operador diferencial (típicamente el operador de Laplace ): esto constituye la base para el estudio espectral de funciones, en referencia al espectro del operador diferencial. ^{[ 74 ]} Una aplicación física concreta implica el problema de percibir la forma de un tambor : dados los modos fundamentales de vibración que un parche de tambor es capaz de producir, ¿se puede inferir la forma del tambor mismo? ^{[ 75 ]} La formulación matemática de esta pregunta involucra los autovalores de Dirichlet de la ecuación de Laplace en el plano, que representan los modos fundamentales de vibración en analogía directa con los enteros que representan los modos fundamentales de vibración de la cuerda del violín. ^{[ 76 ]}

La teoría espectral también subyace a ciertos aspectos de la transformada de Fourier de una función. Mientras que el análisis de Fourier descompone una función definida en un conjunto compacto en el espectro discreto del laplaciano (que corresponde a las vibraciones de una cuerda de violín o un tambor), la transformada de Fourier de una función es la descomposición de una función definida en todo el espacio euclidiano en sus componentes del espectro continuo del laplaciano. La transformada de Fourier es también geométrica, en un sentido que se precisa mediante el teorema de Plancherel , que afirma que es una isometría de un espacio de Hilbert (el "dominio del tiempo") con otro (el "dominio de la frecuencia"). Esta propiedad de isometría de la transformada de Fourier es un tema recurrente en el análisis armónico abstracto (ya que refleja la conservación de la energía para la transformada de Fourier continua), como lo demuestra, por ejemplo, el teorema de Plancherel para funciones esféricas que aparece en el análisis armónico no conmutativo . ^{[ 77 ]}

En la formulación matemáticamente rigurosa de la mecánica cuántica , desarrollada por John von Neumann , ^{[ 78 ]} los estados posibles (más precisamente, los estados puros ) de un sistema mecánico cuántico se representan mediante vectores unitarios (llamados vectores de estado ) que residen en un espacio de Hilbert separable complejo, conocido como espacio de estados , bien definido salvo un número complejo de norma 1 (el factor de fase ). En otras palabras, los estados posibles son puntos en la proyectividad de un espacio de Hilbert, generalmente llamado espacio proyectivo complejo . La naturaleza exacta de este espacio de Hilbert depende del sistema; por ejemplo, los estados de posición y momento para una partícula no relativista de espín cero es el espacio de todas las funciones de cuadrado integrable , mientras que los estados para el espín de un protón son elementos unitarios del espacio de Hilbert complejo bidimensional de espinores . Cada observable se representa mediante un operador lineal autoadjunto que actúa sobre el espacio de estados. Cada autoestado de un observable corresponde a un autovector del operador, y el autovalor asociado corresponde al valor del observable en ese autoestado. ^{[ 79 ]}

El producto escalar entre dos vectores de estado es un número complejo conocido como amplitud de probabilidad . Durante una medición ideal de un sistema cuántico , la probabilidad de que un sistema colapse desde un estado inicial dado a un autoestado particular viene dada por el cuadrado del valor absoluto de las amplitudes de probabilidad entre los estados inicial y final. ^{[ 80 ]} Los posibles resultados de una medición son los autovalores del operador, lo que explica la elección de operadores autoadjuntos, ya que todos los autovalores deben ser reales. La distribución de probabilidad de una observable en un estado dado se puede encontrar calculando la descomposición espectral del operador correspondiente. ^{[ 81 ]}

Para un sistema general, los estados no suelen ser puros, sino que se representan como mezclas estadísticas de estados puros, o estados mixtos, dadas por matrices de densidad : operadores autoadjuntos de traza uno en un espacio de Hilbert. ^{[ 82 ]} Además, para sistemas mecánicos cuánticos generales, los efectos de una sola medición pueden influir en otras partes de un sistema de una manera que se describe mediante una medida con valores de operador positivo . Por lo tanto, la estructura tanto de los estados como de los observables en la teoría general es considerablemente más compleja que la idealización para estados puros. ^{[ 83 ]}

En teoría de la probabilidad , los espacios de Hilbert también tienen diversas aplicaciones. Aquí, un espacio de Hilbert fundamental es el espacio de variables aleatorias en un espacio de probabilidad dado , que tiene clase${\displaystyle L^{2}}$(primer y segundo momento finitos ). Una operación común en estadística es la de centrar una variable aleatoria restando su esperanza . Por lo tanto, si${\displaystyle X}$es una variable aleatoria, entonces${\displaystyle XE(X)}$es su centrado. En la vista del espacio de Hilbert, esta es la proyección ortogonal de${\displaystyle X}$sobre el núcleo del operador de esperanza, que es un funcional lineal continuo en el espacio de Hilbert (de hecho, el producto interno con la variable aleatoria constante 1), y por lo tanto este núcleo es un subespacio cerrado. ^{[ 84 ]}

La esperanza condicional tiene una interpretación natural en el espacio de Hilbert. ^{[ 85 ]} Supongamos que un espacio de probabilidad${\displaystyle (\Omega,P,{\mathcal {B}})}$se da, donde${\displaystyle {\mathcal {B}}}$es un álgebra sigma en el conjunto${\displaystyle \Omega }$, y${\displaystyle P}$es una medida de probabilidad en el espacio de medidas${\displaystyle (\Omega,{\mathcal {B}})}$. Si${\displaystyle {\mathcal {F}}\leq {\mathcal {B}}}$es una subálgebra sigma de${\displaystyle {\mathcal {B}}}$, entonces la expectativa condicional${\displaystyle E[X\mid {\mathcal {F}}]}$es la proyección ortogonal de${\displaystyle X}$sobre el subespacio de${\displaystyle L^{2}(\Omega,P)}$compuesto por${\displaystyle {\mathcal {F}}}$-funciones medibles. Si la variable aleatoria${\displaystyle X}$en${\displaystyle L^{2}(\Omega,P)}$es independiente del álgebra sigma${\displaystyle {\mathcal {F}}}$entonces expectativa condicional${\displaystyle E(X\mid {\mathcal {F}})=E(X)}$, es decir, su proyección sobre el${\displaystyle {\mathcal {F}}}$-Las funciones medibles son constantes. Equivalentemente, la proyección de su centrado es cero.

En particular, si dos variables aleatorias${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$(en${\displaystyle L^{2}(\Omega,P)}$) son independientes, entonces las variables aleatorias centradas${\displaystyle XE(X)}$y${\displaystyle YE(Y)}$son ortogonales. (Esto significa que las dos variables tienen covarianza cero : no están correlacionadas ). En ese caso, el teorema de Pitágoras en el núcleo del operador de esperanza implica que las varianzas de${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$Satisfacer la identidad: $${\displaystyle \operatorname {Var} (X+Y)=\operatorname {Var} (X)+\operatorname {Var} (Y),}$$ A veces llamado teorema de Pitágoras en estadística, es importante en la regresión lineal . El análisis de varianza podría utilizar el teorema de Pitágoras para que la varianza se vea como la descomposición de la longitud al cuadrado de un vector en la suma de las longitudes al cuadrado de varios vectores. ^{[ 86 ]}

La teoría de las martingalas se puede formular en espacios de Hilbert. Una martingala en un espacio de Hilbert es una secuencia${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots }$de elementos de un espacio de Hilbert tales que, para cada n ,${\displaystyle x_{n}}$es la proyección ortogonal de${\displaystyle x_{n+1}}$sobre el casco lineal de${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$. ^{[ 87 ]} Si el${\displaystyle x_{k}}$son variables aleatorias, esto reproduce la definición habitual de una martingala (discreta): la esperanza de${\displaystyle x_{n+1}}$, condicionado a${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$, es igual a${\displaystyle x_{n}}$.

Los espacios de Hilbert también se utilizan en los fundamentos del cálculo de Itô . ^{[ 88 ]} A cualquier martingala de cuadrado integrable , es posible asociar una norma de Hilbert en el espacio de clases de equivalencia de procesos progresivamente medibles con respecto a la martingala (utilizando la variación cuadrática de la martingala como medida). La integral de Itô se puede construir definiéndola primero para procesos simples y luego explotando su densidad en el espacio de Hilbert. Un resultado notable es entonces la isometría de Itô , que demuestra que para cualquier martingala M con medida de variación cuadrática${\displaystyle d\langle M\rangle _ {t}}$y cualquier proceso progresivamente medible H : ^{[ 89 ]}$${\displaystyle E{\biggl [}{\left(\int _{0}^{t}H_{s}\,dM_{s}\right){\vphantom {{\Bigr )}^{2}}}^{\!\!2\,}}{\biggr ]}=E\left[\int _{0}^{t}H_{s}^{2}\,d\langle M\rangle _{s}\right]}$$ siempre que la esperanza del lado derecho sea finita.

Una aplicación más profunda de los espacios de Hilbert, especialmente importante en la teoría de los procesos gaussianos, es el intento, realizado por Leonard Gross y otros, de dar sentido a ciertas integrales formales sobre espacios de dimensión infinita, como la integral de trayectoria de Feynman de la teoría cuántica de campos . El problema con este tipo de integrales es que no existe una medida de Lebesgue de dimensión infinita . La noción de un espacio de Wiener abstracto permite construir una medida en un espacio de Banach B que contiene un espacio de Hilbert H , llamado espacio de Cameron-Martin , como un subconjunto denso, a partir de una medida de conjunto de cilindros finitamente aditiva en H. La medida resultante en B es numerablemente aditiva e invariante bajo traslación por elementos de H , lo que proporciona una forma matemáticamente rigurosa de pensar la medida de Wiener como una medida gaussiana adaptada al espacio de Sobolev.${\displaystyle H^{1}([0,\infty ))}$. ^{[ 90 ]}

Cualquier color físico verdadero puede representarse mediante una combinación de colores espectrales puros . Dado que los colores físicos pueden estar compuestos por cualquier número de colores espectrales, el espacio de colores físicos puede representarse adecuadamente mediante un espacio de Hilbert sobre colores espectrales. Los humanos poseen tres tipos de células cono para la percepción del color, por lo que los colores perceptibles pueden representarse mediante un espacio euclidiano tridimensional. El mapeo lineal de muchos a uno desde el espacio de Hilbert de colores físicos al espacio euclidiano de colores perceptibles por los humanos explica por qué muchos colores físicos distintos pueden ser percibidos por los humanos como idénticos (por ejemplo, luz amarilla pura frente a una mezcla de luz roja y verde, véase Metamerismo ). ^{[ 91 ] [ 92 ]}

Dos vectores u y v en un espacio de Hilbert H son ortogonales cuando ⟨ u , v ⟩ = 0 . La notación para esto es u ⊥ v . De manera más general, cuando S es un subconjunto en H , la notación u ⊥ S significa que u es ortogonal a cada elemento de S .

Cuando u y v son ortogonales, se tiene $${\displaystyle \|u+v\|^{2}=\langle u+v,u+v\rangle =\langle u,u\rangle +2\,\operatorname {Re} \langle u,v\rangle +\langle v,v\rangle =\|u\|^{2}+\|v\|^{2}\,.}$$

Por inducción sobre n , esto se extiende a cualquier familia u ₁ , ..., u _n de n vectores ortogonales, $${\displaystyle \left\|u_{1}+\cdots +u_{n}\right\|^{2}=\left\|u_{1}\right\|^{2}+\cdots +\left\|u_{n}\right\|^{2}.}$$

Mientras que la identidad pitagórica, tal como se enuncia, es válida en cualquier espacio con producto interno, se requiere completitud para la extensión de la identidad pitagórica a series. ^{[ 93 ]} Una serie Σ u _k de vectores ortogonales converge en H si y solo si la serie de cuadrados de normas converge, y $${\displaystyle {\Biggl \|}\sum _{k=0}^{\infty }u_{k}{\Biggr \|}^{2}=\sum _{k=0}^{\infty }\left\|u_{k}\right\|^{2}\,.}$$ Además, la suma de una serie de vectores ortogonales es independiente del orden en que se tome.

Por definición, todo espacio de Hilbert es también un espacio de Banach . Además, en todo espacio de Hilbert se cumple la siguiente identidad de paralelogramo : ^{[ 94 ]}$${\displaystyle \|u+v\|^{2}+\|u-v\|^{2}=2{\bigl (}\|u\|^{2}+\|v\|^{2}{\bigr )}\,.}$$

Por el contrario, todo espacio de Banach en el que se cumple la identidad del paralelogramo es un espacio de Hilbert, y el producto interno está determinado unívocamente por la norma mediante la identidad de polarización . ^{[ 95 ]} Para espacios de Hilbert reales, la identidad de polarización es $${\displaystyle \langle u,v\rangle ={\tfrac {1}{4}}{\bigl (}\|u+v\|^{2}-\|u-v\|^{2}{\bigr )}\,.}$$

Para espacios de Hilbert complejos, es $${\displaystyle \langle u,v\rangle ={\tfrac {1}{4}}{\bigl (}\|u+v\|^{2}-\|u-v\|^{2}+i\|u+iv\|^{2}-i\|u-iv\|^{2}{\bigr )}\,.}$$

La ley del paralelogramo implica que cualquier espacio de Hilbert es un espacio de Banach uniformemente convexo . ^{[ 96 ]}

Esta subsección emplea el teorema de proyección de Hilbert . Si C es un subconjunto convexo cerrado no vacío de un espacio de Hilbert H y x un punto en H , existe un único punto y ∈ C que minimiza la distancia entre x y los puntos en C , ^{[ 97 ].}$${\displaystyle y\in C\,,\quad \|x-y\|=\operatorname {dist} (x,C)=\min {\bigl \{}\|x-z\|\mathrel {\big |} z\in C{\bigr \}}\,.}$$

Esto equivale a decir que existe un punto con norma mínima en el conjunto convexo trasladado D = C − x . La demostración consiste en mostrar que toda sucesión minimizante ( d _n ) ⊂ D es de Cauchy (utilizando la identidad del paralelogramo) y, por lo tanto, converge (utilizando la completitud) a un punto en D que tiene norma mínima. De forma más general, esto se cumple en cualquier espacio de Banach uniformemente convexo. ^{[ 98 ]}

Cuando este resultado se aplica a un subespacio cerrado F de H , se puede demostrar que el punto y ∈ F más cercano a x se caracteriza por ^{[ 99 ].}$${\displaystyle y\in F\,,\quad x-y\perp F\,.}$$

Este punto y es la proyección ortogonal de x sobre F , y la aplicación P _F  : x → y es lineal (véase §  Complementos y proyecciones ortogonales ). Este resultado es especialmente significativo en matemáticas aplicadas , sobre todo en análisis numérico , donde constituye la base de los métodos de mínimos cuadrados . ^{[ 100 ]}

En particular, cuando F no es igual a H , se puede encontrar un vector no nulo v ortogonal a F (seleccionando x ∉ F y v = x − y ) . Un criterio muy útil se obtiene aplicando esta observación al subespacio cerrado F generado por un subconjunto S de H.

Un subconjunto S de H abarca un subespacio vectorial denso si (y solo si) el vector 0 es el único vector v ∈ H ortogonal a S.

El espacio dual H * es el espacio de todas las funciones lineales continuas del espacio H en el cuerpo base. Posee una norma natural, definida por $${\displaystyle \|\varphi \|=\sup _{\|x\|=1,x\in H}|\varphi (x)|\,.}$$ Esta norma satisface la ley del paralelogramo , y por lo tanto el espacio dual es también un espacio de producto interno donde este producto interno se puede definir en términos de esta norma dual usando la identidad de polarización . El espacio dual también es completo, por lo que es un espacio de Hilbert por derecho propio. Si e _• = ( e _i ) _{i ∈ I} es una base ortonormal completa para H, entonces el producto interno en el espacio dual de cualesquiera dos${\displaystyle f,g\in H^{*}}$es $${\displaystyle \langle f,g\rangle _{H^{*}}=\sum _{i\in I}f(e_{i}){\overline {g(e_{i})}}}$$ donde casi todos los términos de esta serie son cero.

El teorema de representación de Riesz proporciona una descripción conveniente del espacio dual. A cada elemento u de H , le corresponde un único elemento φ _u de H * , definido por $${\displaystyle \varphi _{u}(x)=\langle x,u\rangle }$$ donde además,${\displaystyle \left\|\varphi _{u}\right\|=\left\|u\right\|.}$

El teorema de representación de Riesz establece que la aplicación de H a H * definida por u ↦ φ _u es sobreyectiva , lo que hace que esta aplicación sea un isomorfismo antilineal isométrico . ^{[ 101 ]} Por lo tanto, para cada elemento φ del dual H * existe uno y solo un u _φ en H tal que $${\displaystyle \langle x,u_{\varphi }\rangle =\varphi (x)}$$ para todo x ∈ H . El producto interno en el espacio dual H * satisface $${\displaystyle \langle \varphi ,\psi \rangle =\langle u_{\psi },u_{\varphi }\rangle \,.}$$

La inversión del orden en el lado derecho restablece la linealidad en φ a partir de la antilinealidad de u _φ . En el caso real, el isomorfismo antilineal de H a su dual es en realidad un isomorfismo, por lo que los espacios de Hilbert reales son naturalmente isomorfos a sus propios duales. ^{[ 102 ]}

El vector representativo u _φ se obtiene de la siguiente manera. Cuando φ ≠ 0 , el núcleo F = Ker( φ ) es un subespacio vectorial cerrado de H , distinto de H , por lo tanto existe un vector no nulo v ortogonal a F. El vector u es un múltiplo escalar adecuado λv de v . El requisito de que φ ( v ) = ⟨ v , u ⟩ produce $${\displaystyle u=\langle v,v\rangle ^{-1}\,{\overline {\varphi (v)}}\,v\,.}$$

Esta correspondencia φ ↔ u es explotada por la notación bra-ket popular en física . ^{[ 103 ]} Es común en física asumir que el producto interno, denotado por ⟨ x | y ⟩ , es lineal por la derecha, $${\displaystyle \langle x|y\rangle =\langle y,x\rangle \,.}$$ El resultado ⟨ x | y ⟩ puede verse como la acción del funcional lineal ⟨ x | (el bra ) sobre el vector | y ⟩ (el ket ).

El teorema de representación de Riesz se basa fundamentalmente no solo en la presencia de un producto interno, sino también en la completitud del espacio. De hecho, el teorema implica que el dual topológico de cualquier espacio con producto interno puede identificarse con su completitud. ^{[ 104 ]} Una consecuencia inmediata del teorema de representación de Riesz es también que un espacio de Hilbert H es reflexivo , lo que significa que la aplicación natural de H a su espacio dual doble es un isomorfismo. ^{[ 105 ]}

En un espacio de Hilbert H , una sucesión { x _n } converge débilmente a un vector x ∈ H cuando $${\displaystyle \lim _{n}\langle x_{n},v\rangle =\langle x,v\rangle }$$ para cada v ∈ H .

Por ejemplo, cualquier sucesión ortonormal { f _n } converge débilmente a  0, como consecuencia de la desigualdad de Bessel . Toda sucesión débilmente convergente { x _n } está acotada, por el principio de acotación uniforme .

Por el contrario, toda sucesión acotada en un espacio de Hilbert admite subsucesiones débilmente convergentes ( teorema de Alaoglu ). ^{[ 106 ]} Este hecho puede usarse para demostrar resultados de minimización para funcionales convexos continuos , de la misma manera que el teorema de Bolzano-Weierstrass se usa para funciones continuas en R ^d . Entre varias variantes, una afirmación simple es la siguiente: ^{[ 107 ]}

Si f  : H → R es una función continua convexa tal que f ( x ) tiende a +∞ cuando ‖ x ‖ tiende a ∞ , entonces f admite un mínimo en algún punto x ₀ ∈ H .

Este hecho (y sus diversas generalizaciones) son fundamentales para los métodos directos en el cálculo de variaciones . Los resultados de minimización para funcionales convexos también son una consecuencia directa del hecho, ligeramente más abstracto, de que los subconjuntos convexos cerrados y acotados en un espacio de Hilbert H son débilmente compactos , puesto que H es reflexivo. La existencia de subsucesiones débilmente convergentes es un caso especial del teorema de Eberlein-Šmulian . ^{[ 108 ]}

Cualquier propiedad general de los espacios de Banach se mantiene para los espacios de Hilbert. El teorema de la aplicación abierta establece que una transformación lineal continua y sobreyectiva de un espacio de Banach a otro es una aplicación abierta, lo que significa que envía conjuntos abiertos a conjuntos abiertos. Un corolario es el teorema de la inversa acotada , que establece que una función lineal continua y biyectiva de un espacio de Banach a otro es un isomorfismo (es decir, una aplicación lineal continua cuya inversa también es continua). Este teorema es considerablemente más sencillo de demostrar en el caso de los espacios de Hilbert que en los espacios de Banach en general. ^{[ 109 ]} El teorema de la aplicación abierta es equivalente al teorema de la gráfica cerrada , que afirma que una función lineal de un espacio de Banach a otro es continua si y solo si su gráfica es un conjunto cerrado . ^{[ 110 ]} En el caso de los espacios de Hilbert, esto es fundamental en el estudio de los operadores no acotados (véase Operador cerrado ). ^{[ 111 ]}

El teorema de Hahn-Banach (geométrico) afirma que un conjunto convexo cerrado puede separarse de cualquier punto exterior mediante un hiperplano del espacio de Hilbert. Esto es una consecuencia inmediata de la propiedad de mejor aproximación : si y es el elemento de un conjunto convexo cerrado F más cercano a x , entonces el hiperplano separador es el plano perpendicular al segmento xy que pasa por su punto medio. ^{[ 112 ]}

Los operadores lineales continuos A : H ₁ → H ₂ de un espacio de Hilbert H ₁ a un segundo espacio de Hilbert H ₂ son acotados en el sentido de que mapean conjuntos acotados a conjuntos acotados. ^{[ 113 ]} Recíprocamente, si un operador es acotado, entonces es continuo. El espacio de tales operadores lineales acotados tiene una norma , la norma del operador dada por ^{[ 114 ]} $${\displaystyle \lVert A\rVert =\sup {\bigl \{}\|Ax\|\mathrel {\big |} \|x\|\leq 1{\bigr \}}\,.}$$

La suma y la composición de dos operadores lineales acotados es nuevamente acotada y lineal. ^{[ 115 ]} Para y en H ₂ , la aplicación que envía x ∈ H ₁ a ⟨ Ax , y ⟩ es lineal y continua, y según el teorema de representación de Riesz, por lo tanto, puede representarse en la forma ^{[ 116 ]}$${\displaystyle \left\langle x,A^{*}y\right\rangle =\langle Ax,y\rangle }$$ para algún vector A * y en H ₁ . Esto define otro operador lineal acotado A *  : H ₂ → H ₁ , el adjunto de A . El adjunto satisface A ** = A . Cuando se utiliza el teorema de representación de Riesz para identificar cada espacio de Hilbert con su espacio dual continuo, se puede demostrar que el adjunto de A es idéntico a la transpuesta ^t A  : H ₂ * → H ₁ * de A , que por definición envía${\displaystyle \psi \in H_{2}^{*}}$al funcional${\displaystyle \psi \circ A\in H_{1}^{*}.}$

El conjunto B( H ) de todos los operadores lineales acotados en H (es decir, operadores H → H ), junto con las operaciones de suma y composición, la norma y la operación adjunta, es un álgebra C* , que es un tipo de álgebra de operadores . ^{[ 117 ]}

Un elemento A de B( H ) se llama 'autoadjunto' o 'hermítico' si A * = A. Si A es hermítico y ⟨Ax , x⟩ ≥ 0 para todo x , entonces A se llama positivo, escrito A ≥ 0. El conjunto de operadores autoadjuntos admite un orden parcial , en el que A ≥ B si A − B ≥ 0. Si A tiene la forma B * B para algún B , entonces A es positivo; si B es invertible, entonces A es estrictamente positivo. También es cierto lo contrario en el sentido de que, para un operador positivo A , existe una única raíz cuadrada no negativa B tal que ^{[ 118 ]}$${\displaystyle A=B^{2}=B^{*}B\,.}$$

El teorema espectral da una idea precisa de cómo los operadores autoadjuntos desempeñan el papel de funciones de valor real: un operador autoadjunto acotado tiene espectro real y puede representarse, mediante cálculo funcional, mediante la multiplicación por una función de valor real. De forma más general, un operador normal es análogo a una función de valor complejo. Se descompone en partes real e imaginaria autoadjuntas que conmutan, ^{[ 119 ].}$${\displaystyle A=\operatorname {Re} A+i\operatorname {Im} A={\frac {A+A^{*}}{2}}+i{\frac {A-A^{*}}{2i}}.}$$ Por el contrario, si dos operadores autoadjuntos conmutan, su suma en esta forma es normal.

Un elemento U de B( H ) se denomina unitario si U es invertible y su inverso viene dado por U * . Esto también puede expresarse exigiendo que U sea sobreyectivo y que ⟨Ux , Uy⟩ = ⟨x , y⟩ para todo x , y ∈ H. Los operadores unitarios forman un ^grupo bajo composición, que es el grupo de isometrías de H. ^{[ 120} ]

Un elemento de B( H ) es compacto si transforma conjuntos acotados en conjuntos relativamente compactos . De forma equivalente, un operador acotado T es compacto si, para cualquier sucesión acotada { x _k } , la sucesión { Tx _k } tiene una subsucesión convergente. Muchos operadores integrales son compactos y definen una clase especial de operadores conocidos como operadores de Hilbert-Schmidt , que son importantes en el estudio de ecuaciones integrales . ^{[ 121 ]}

Los operadores de Fredholm son operadores acotados que son invertibles módulo operadores compactos. Por lo tanto, un operador${\displaystyle T}$es Fredholm si existe un operador acotado${\displaystyle T'}$, llamado parametrix , tal que${\displaystyle TT'-I}$es compacto (derecha-Fredholm) y${\displaystyle T'T-I}$es compacto (Fredholm izquierdo). Los operadores de Fredholm se caracterizan equivalentemente como operadores acotados con un núcleo de dimensión finita y rango cerrado. ^{[ 122 ]} Los operadores de Fredholm corresponden, por lo tanto, a elementos invertibles del álgebra de Calkin . Los operadores de Fredholm pueden pensarse intuitivamente como operadores que son invertibles módulo efectos de dimensión finita. El índice de un operador de Fredholm T se define por $${\displaystyle \operatorname {index} T=\dim \ker T-\dim \operatorname {coker} T\,.}$$ El índice es invariante bajo homotopía , ^{[ 123 ]} y juega un papel profundo en la geometría diferencial a través del teorema del índice de Atiyah-Singer . ^{[ 124 ]}

Los operadores no acotados surgen de forma natural en los espacios de Hilbert, especialmente en el estudio de los operadores diferenciales y en la formulación matemática de la mecánica cuántica . ^{[ 125 ]} Un operador no acotado en un espacio de Hilbert H es una aplicación lineal. $${\displaystyle T:D(T)\to H}$$ cuyo dominio D ( T ) es un subespacio lineal de H. A diferencia de los operadores acotados, un operador no acotado generalmente no está definido en todo H. Si D ( T ) es denso en H , entonces T se denomina operador densamente definido . ^{[ 126 ]}

El dominio de un operador no acotado forma parte de su definición. En particular, una misma fórmula puede definir distintos operadores según su dominio. Los operadores utilizados en análisis suelen requerirse que sean cerrados , es decir, que su grafo sea cerrado, o que sean cerrables , lo que significa que el operador pueda extenderse a un dominio mayor hasta convertirse en un operador cuyo grafo sea cerrado. Según el teorema del grafo cerrado , un operador cerrado definido en todo un espacio de Hilbert es acotado; por lo tanto, un operador cerrado verdaderamente no acotado debe tener un dominio propio. ^{[ 127 ]}

Si T está densamente definido, su adjunto T * se define de la siguiente manera. Un vector y ∈ H pertenece a D ( T *) si la aplicación $${\displaystyle x\mapsto \langle Tx,y\rangle ,\qquad x\in D(T),}$$ está acotada con respecto a la norma del espacio de Hilbert en D ( T ) . En ese caso, el teorema de representación de Riesz da un vector único T * y ∈ H tal que $${\displaystyle \langle Tx,y\rangle =\langle x,T^{*}y\rangle }$$ para todo x ∈ D ( T ) . Un operador densamente definido se llama simétrico si T ⊂ T * , y autoadjunto si T = T * , incluyendo la igualdad de dominios.

Los operadores autoadjuntos no acotados desempeñan el papel de observables en la formulación del espacio de Hilbert de la mecánica cuántica. ^{[ 128 ]} En L ² ( R ) , el operador de posición es el operador de multiplicación $${\displaystyle (Qf)(x)=xf(x),}$$ con dominio $${\displaystyle D(Q)=\{f\in L^{2}(\mathbf {R} ):xf(x)\in L^{2}(\mathbf {R} )\}.}$$ El operador de momento es la realización autoadjunta de $${\displaystyle (Pf)(x)=-i{\frac {d}{dx}}f(x),}$$ por ejemplo con el dominio del espacio de Sobolev H ¹ ( R ) . ^{[ 129 ]} Equivalentemente, es la clausura de este operador diferencial definido inicialmente en funciones suaves con soporte compacto. Estos operadores no están definidos en todo L ² ( R ) : para una función general de cuadrado integrable, la derivada no tiene por qué existir, y el producto xf ( x ) no tiene por qué ser de cuadrado integrable.

Dos espacios de Hilbert H ₁ y H ₂ se pueden combinar en otro espacio de Hilbert, llamado suma directa (ortogonal) , ^{[ 130 ] [ 131 ]} y denotado $${\displaystyle H_{1}\oplus H_{2}\,,}$$

que consiste en el conjunto de todos los pares ordenados ( x ₁ , x ₂ ) donde x _i ∈ H _i , i = 1, 2 , y el producto interno definido por $${\displaystyle {\bigl \langle }(x_{1},x_{2}),(y_{1},y_{2}){\bigr \rangle }_{H_{1}\oplus H_{2}}=\left\langle x_{1},y_{1}\right\rangle _{H_{1}}+\left\langle x_{2},y_{2}\right\rangle _{H_{2}}\,.}$$

De manera más general, si H _i es una familia de espacios de Hilbert indexados por i ∈ I , entonces la suma directa de los H _i , denotada $${\displaystyle \bigoplus _{i\in I}H_{i}}$$ consta del conjunto de todas las familias indexadas $${\displaystyle x=(x_{i}\in H_{i}\mid i\in I)\in \prod _{i\in I}H_{i}}$$ en el producto cartesiano de los H _i tal que $${\displaystyle \sum _{i\in I}\|x_{i}\|^{2}<\infty \,.}$$

El producto interno se define por $${\displaystyle \langle x,y\rangle =\sum _{i\in I}\left\langle x_{i},y_{i}\right\rangle _{H_{i}}\,.}$$

Cada uno de los H _i se incluye como un subespacio cerrado en la suma directa de todos los H _i . Además, los H _i son ortogonales por pares. Recíprocamente, si existe un sistema de subespacios cerrados, V _i , i ∈ I , en un espacio de Hilbert H , que son ortogonales por pares y cuyo espacio lineal generado es denso en H , entonces H es canónicamente isomorfo a la suma directa de V _i . En este caso, H se denomina suma directa interna de los V _i . Una suma directa (interna o externa) también está equipada con una familia de proyecciones ortogonales E _i sobre el i -ésimo sumando directo H _i . Estas proyecciones son operadores acotados, autoadjuntos e idempotentes que satisfacen la condición de ortogonalidad. $${\displaystyle E_{i}E_{j}=0,\quad i\neq j\,.}$$

El teorema espectral para operadores autoadjuntos compactos en un espacio de Hilbert H establece que H se descompone en la suma directa ortogonal de los autoespacios de un operador, y también proporciona una descomposición explícita del operador como una suma de proyecciones sobre los autoespacios. La suma directa de espacios de Hilbert también aparece en mecánica cuántica como el espacio de Fock de un sistema que contiene un número variable de partículas, donde cada espacio de Hilbert en la suma directa corresponde a un grado de libertad adicional para el sistema mecánico cuántico. En teoría de la representación , el teorema de Peter-Weyl garantiza que cualquier representación unitaria de un grupo compacto en un espacio de Hilbert se descompone como la suma directa de representaciones de dimensión finita. ^{[ 132 ] [ 133 ]}

Si${\displaystyle x_{1},y_{1}\in H_{1}}$y${\displaystyle x_{2},y_{2}\in H_{2}}$, entonces se define un producto interno sobre el producto tensorial (ordinario) de la siguiente manera. Sobre tensores simples , sea $${\displaystyle \langle x_{1}\otimes x_{2},\,y_{1}\otimes y_{2}\rangle =\langle x_{1},y_{1}\rangle \,\langle x_{2},y_{2}\rangle \,.}$$

Esta fórmula se extiende luego por sesquilinealidad a un producto interno en${\displaystyle H_{1}\otimes H_{2}}$. El producto tensorial hilbertiano de${\displaystyle H_{1}}$y${\displaystyle H_{2}}$, a veces denotado por${\displaystyle H_{1}\mathbin {\widehat {\otimes }} H_{2}}$, es el espacio de Hilbert obtenido al completar${\displaystyle H_{1}\otimes H_{2}}$para la métrica asociada a este producto interno. ^{[ 134 ]}

Un ejemplo lo proporciona el espacio de Hilbert.${\displaystyle L^{2}([0,1]).}$El producto tensorial hilbertiano de dos copias de${\displaystyle L^{2}([0,1])}$es isométricamente y linealmente isomorfo al espacio${\displaystyle L^{2}([0,1]^{2})}$de funciones de cuadrado integrable en el cuadrado${\displaystyle [0,1]^{2}.}$Este isomorfismo envía un tensor simple${\displaystyle f_{1}\otimes f_{2}}$a la función $${\displaystyle (s,t)\mapsto f_{1}(s)\,f_{2}(t)}$$ en la plaza.

Este ejemplo es típico en el siguiente sentido. ^{[ 135 ]} Asociado a cada producto tensorial simple${\displaystyle x_{1}\otimes x_{2}}$es el operador de rango uno de${\displaystyle H_{1}^{\ast }}$a${\displaystyle H_{2}}$que mapea un dado${\displaystyle x^{\ast }\in H_{1}^{\ast }}$como $${\displaystyle x^{*}\mapsto x^{*}(x_{1})x_{2}\,.}$$

Este mapeo definido en tensores simples se extiende a una identificación lineal entre${\displaystyle H_{1}\otimes H_{2}}$y el espacio de operadores de rango finito de${\displaystyle H_{1}^{\ast }}$a${\displaystyle H_{2}}$Esto se extiende a una isometría lineal del producto tensorial de Hilbert.${\displaystyle H_{1}\mathbin {\widehat {\otimes }} H_{2}}$con el espacio de Hilbert${\displaystyle \operatorname {HS} (H_{1}^{\ast },H_{2})}$de operadores de Hilbert-Schmidt de${\displaystyle H_{1}^{\ast }}$a${\displaystyle H_{2}}$.

La identificación de operadores con espacios de producto tensorial se generaliza a otras normas tensoriales. Por ejemplo, el producto tensorial inyectivo.${\displaystyle H_{1}\mathbin {\widehat {\otimes }} _{\varepsilon }H_{2}}$puede identificarse isométricamente con los operadores compactos de${\displaystyle H_{1}^{\ast }}$a${\displaystyle H_{2}}$, mientras que el producto tensorial proyectivo${\displaystyle H_{1}\mathbin {\widehat {\otimes }} _{\pi }H_{2}}$, puede identificarse isométricamente con los operadores de clase de traza de${\displaystyle H_{1}^{\ast }}$a${\displaystyle H_{2}}$, ambos hechos están implícitos en la satisfacción de la propiedad de aproximación por espacios de Hilbert. ^{[ 136 ]}