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Principio de acotación uniforme

En matemáticas , el principio de acotación uniforme o teorema de Banach-Steinhaus es uno de los resultados fundamentales del análisis funcional . Junto con el teorema de Hahn-Ba...

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En matemáticas , el principio de acotación uniforme o teorema de Banach-Steinhaus es uno de los resultados fundamentales del análisis funcional . Junto con el teorema de Hahn-Banach y el teorema de aplicación abierta , se considera una de las piedras angulares del campo. En su forma básica, afirma que para una familia de operadores lineales continuos (y, por lo tanto, operadores acotados ) cuyo dominio es un espacio de Banach , la acotación puntual es equivalente a la acotación uniforme en la norma del operador .

El teorema fue publicado por primera vez en 1927 por Stefan Banach y Hugo Steinhaus , pero también fue demostrado independientemente por Hans Hahn .

Teorema

Principio de acotación uniforme  —  Sea un espacio de Banach , un espacio vectorial normado y el espacio de todos los operadores lineales continuos de en . Supóngase que es una colección de operadores lineales continuos de a Si, para cada , entonces En el caso de que no sea el espacio vectorial trivial, entonces la semidesigualdad usada en el supremo del primer término en esta última cadena de igualdades (que tiene rango sobre la bola unitaria cerrada ) puede ser reemplazada por una igualdad propia (que tiene rango sobre la esfera unitaria cerrada ). incógnita {\estilo de visualización X} Y {\estilo de visualización Y} B ( incógnita , Y ) {\displaystyle B(X,Y)} incógnita {\estilo de visualización X} Y {\estilo de visualización Y} F {\estilo de visualización F} incógnita {\estilo de visualización X} Y . {\displaystyle Y.} incógnita ∈ incógnita {\displaystyle x\en X} sorber yo ∈ F " yo ( incógnita ) " Y < ∞ , {\displaystyle \sup_{T\in F}\|T(x)\|_{Y}<\infty ,} sorber yo ∈ F " yo " B ( incógnita , Y ) = sorber " incógnita " ≤ 1 yo ∈ F , " yo ( incógnita ) " Y < ∞ . {\displaystyle \sup_{T\inF}\|T\|_{B(X,Y)}=\sup_{\stackrel {T\inF,}{\|x\|\leq 1}}\|T(x)\|_{Y}<\infty .} incógnita {\estilo de visualización X} incógnita {\estilo de visualización x} incógnita {\estilo de visualización x}

La completitud de permite la siguiente prueba corta, utilizando el teorema de categoría de Baire . incógnita {\estilo de visualización X}

Prueba

Sea X un espacio de Banach. Supóngase que para cada incógnita ∈ incógnita , {\displaystyle x\en X,} sorber yo ∈ F " yo ( incógnita ) " Y < ∞ . {\displaystyle \sup_{T\in F}\|T(x)\|_{Y}<\infty .}

Para cada entero sea norte ∈ norte , {\displaystyle n\in \mathbb {N} ,} incógnita norte = { incógnita ∈ incógnita   :   sorber yo ∈ F " yo ( incógnita ) " Y ≤ norte } . {\displaystyle X_{n}=\left\{x\en X\ :\ \sup _{T\en F}\|T(x)\|_{Y}\leq n\right\}.}

Cada conjunto es un conjunto cerrado y por el supuesto, incógnita norte Estilo de visualización X_{n} ⋃ norte ∈ norte incógnita norte = incógnita ≠ ∅ . {\displaystyle \bigcup _{n\in \mathbb {N} }X_{n}=X\neq \varnothing .}

Por el teorema de la categoría de Baire para el espacio métrico completo no vacío existe algún tal que tiene interior no vacío ; es decir, existen y tales que incógnita , {\estilo de visualización X,} metro ∈ norte {\displaystyle m\in \mathbb {N}} incógnita metro Estilo de visualización X_ {m}} incógnita 0 ∈ incógnita metro {\displaystyle x_{0}\en X_{m}} mi > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} B mi ( incógnita 0 ) ¯   :=   { incógnita ∈ incógnita : " incógnita − incógnita 0 " ≤ mi }   ⊆   incógnita metro . {\displaystyle {\overline {B_{\varepsilon }(x_{0})}}~:=~\left\{x\in X\,:\,\|x-x_{0}\|\leq \varepsilon \right\}~\subseteq ~X_{m}.}

Sea con y Entonces: tú ∈ incógnita {\displaystyle u\en X} " tú " ≤ 1 {\displaystyle \|u\|\leq 1} yo ∈ F . {\displaystyle T\en F.} " yo ( tú ) " Y = mi − 1 " yo ( incógnita 0 + mi tú ) − yo ( incógnita 0 ) " Y [ por linealidad de  yo ] ≤ mi − 1 ( " yo ( incógnita 0 + mi tú ) " Y + " yo ( incógnita 0 ) " Y ) ≤ mi − 1 ( metro + metro ) . [ desde    incógnita 0 + mi tú ,   incógnita 0 ∈ incógnita metro ] {\displaystyle {\begin{aligned}\|T(u)\|_{Y}&=\varepsilon ^{-1}\left\|T\left(x_{0}+\varepsilon u\right)-T\left(x_{0}\right)\right\|_{Y}&[{\text{by linearity of }}T]\\&\leq \varepsilon ^{-1}\left(\left\|T(x_{0}+\varepsilon u)\right\|_{Y}+\left\|T(x_{0})\right\|_{Y}\right)\\&\leq \varepsilon ^{-1}(m+m).&[{\text{since }}\ x_{0}+\varepsilon u,\ x_{0}\in X_{m}]\\\end{aligned}}}

Tomando el supremo sobre la bola unitaria de y sobre se sigue que u {\displaystyle u} X {\displaystyle X} T ∈ F {\displaystyle T\in F} sup T ∈ F ‖ T ‖ B ( X , Y )   ≤   2 ε − 1 m   <   ∞ . {\displaystyle \sup _{T\in F}\|T\|_{B(X,Y)}~\leq ~2\varepsilon ^{-1}m~<~\infty .}

También hay pruebas simples que no utilizan el teorema de Baire (Sokal 2011).

Corolarios

Corolario  :  si una secuencia de operadores acotados converge puntualmente, es decir, el límite de existe para todos , entonces estos límites puntuales definen un operador lineal acotado. ( T n ) {\displaystyle \left(T_{n}\right)} ( T n ( x ) ) {\displaystyle \left(T_{n}(x)\right)} x ∈ X , {\displaystyle x\in X,} T . {\displaystyle T.}

El corolario anterior no afirma que converge a en la norma del operador, es decir, de manera uniforme en conjuntos acotados. Sin embargo, dado que está acotado en la norma del operador y el operador límite es continuo, una estimación estándar de " " muestra que converge a de manera uniforme en conjuntos compactos . T n {\displaystyle T_{n}} T {\displaystyle T} { T n } {\displaystyle \left\{T_{n}\right\}} T {\displaystyle T} 3 ε {\displaystyle 3\varepsilon } T n {\displaystyle T_{n}} T {\displaystyle T}

Prueba

Esencialmente lo mismo que la prueba de que una secuencia convergente puntual de funciones equicontinuas en un conjunto compacto converge a una función continua.

Por el principio de acotación uniforme, sea un límite superior uniforme en las normas del operador. M = max { sup n ‖ T n ‖ , ‖ T ‖ } {\displaystyle M=\max\{\sup _{n}\|T_{n}\|,\|T\|\}}

Fije cualquier . Entonces, para cualquier , cubra finitamente (use compacidad) con un conjunto finito de bolas abiertas de radio K ⊂ X {\displaystyle K\subset X} ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} K {\displaystyle K} { B ( x i , r ) } i = 1 , . . . , N {\displaystyle \{B(x_{i},r)\}_{i=1,...,N}} r = ϵ M {\displaystyle r={\frac {\epsilon }{M}}}

Dado que puntualmente en cada uno de , para todos los grandes , para todos los . T n → T {\displaystyle T_{n}\to T} x 1 , . . . , x N {\displaystyle x_{1},...,x_{N}} n {\displaystyle n} ‖ T n ( x i ) − T ( x i ) ‖ ≤ ϵ {\displaystyle \|T_{n}(x_{i})-T(x_{i})\|\leq \epsilon } i = 1 , . . . , N {\displaystyle i=1,...,N}

Luego, por desigualdad triangular, encontramos para todos los grandes , . n {\displaystyle n} ∀ x ∈ K , ‖ T n ( x ) − T ( x ) ‖ ≤ 3 ϵ {\displaystyle \forall x\in K,\|T_{n}(x)-T(x)\|\leq 3\epsilon }

Corolario  :  Cualquier subconjunto débilmente acotado en un espacio normado está acotado. S ⊆ Y {\displaystyle S\subseteq Y} Y {\displaystyle Y}

De hecho, los elementos de definen una familia puntualmente acotada de formas lineales continuas en el espacio de Banach que es el espacio dual continuo de Por el principio de acotación uniforme, las normas de los elementos de como funcionales en es decir, las normas en el segundo dual están acotadas. Pero para cada la norma en el segundo dual coincide con la norma en por una consecuencia del teorema de Hahn-Banach . S {\displaystyle S} X := Y ′ , {\displaystyle X:=Y',} Y . {\displaystyle Y.} S , {\displaystyle S,} X , {\displaystyle X,} Y ″ , {\displaystyle Y'',} s ∈ S , {\displaystyle s\in S,} Y , {\displaystyle Y,}

Sea α los operadores continuos de a dotados de la norma de operador . Si la colección no está acotada en entonces el principio de acotación uniforme implica: L ( X , Y ) {\displaystyle L(X,Y)} X {\displaystyle X} Y , {\displaystyle Y,} F {\displaystyle F} L ( X , Y ) , {\displaystyle L(X,Y),} R = { x ∈ X   :   sup T ∈ F ‖ T x ‖ Y = ∞ } ≠ ∅ . {\displaystyle R=\left\{x\in X\ :\ \sup \nolimits _{T\in F}\|Tx\|_{Y}=\infty \right\}\neq \varnothing .}

De hecho, es denso en El complemento de en es la unión numerable de conjuntos cerrados Por el argumento utilizado para demostrar el teorema, cada uno no es denso en ninguna parte , es decir, el subconjunto es de primera categoría . Por lo tanto es el complemento de un subconjunto de primera categoría en un espacio de Baire. Por definición de un espacio de Baire, tales conjuntos (llamados conjuntos comeagre o residuales ) son densos. Tal razonamiento conduce al principio de condensación de singularidades , que puede formularse de la siguiente manera: R {\displaystyle R} X . {\displaystyle X.} R {\displaystyle R} X {\displaystyle X} ⋃ X n . {\textstyle \bigcup X_{n}.} X n {\displaystyle X_{n}} ⋃ X n {\textstyle \bigcup X_{n}} R {\displaystyle R}

Teorema  —  Sea un espacio de Banach, una secuencia de espacios vectoriales normados, y para cada sea una familia ilimitada en Entonces el conjunto es un conjunto residual y, por lo tanto, denso en X {\displaystyle X} ( Y n ) {\displaystyle \left(Y_{n}\right)} n , {\displaystyle n,} F n {\displaystyle F_{n}} L ( X , Y n ) . {\displaystyle L\left(X,Y_{n}\right).} R := { x ∈ X   :    for all  n ∈ N , sup T ∈ F n ‖ T x ‖ Y n = ∞ } {\displaystyle R:=\left\{x\in X\ :\ {\text{ for all }}n\in \mathbb {N} ,\sup _{T\in F_{n}}\|Tx\|_{Y_{n}}=\infty \right\}} X . {\displaystyle X.}

Prueba

El complemento de es la unión numerable de conjuntos de primera categoría. Por lo tanto, su conjunto residual es denso. R {\displaystyle R} ⋃ n , m { x ∈ X   :   sup T ∈ F n ‖ T x ‖ Y n ≤ m } {\displaystyle \bigcup _{n,m}\left\{x\in X\ :\ \sup _{T\in F_{n}}\|Tx\|_{Y_{n}}\leq m\right\}} R {\displaystyle R}

Ejemplo: convergencia puntual de series de Fourier

Sea el círculo y sea el espacio de Banach de funciones continuas en con la norma uniforme . Utilizando el principio de acotación uniforme, se puede demostrar que existe un elemento en para el cual la serie de Fourier no converge puntualmente. T {\displaystyle \mathbb {T} } C ( T ) {\displaystyle C(\mathbb {T} )} T , {\displaystyle \mathbb {T} ,} C ( T ) {\displaystyle C(\mathbb {T} )}

Para su serie de Fourier se define por y la suma parcial simétrica N es donde es el núcleo de Dirichlet -ésimo . Fije y considere la convergencia de La funcional definida por está acotada. La norma de en el dual de es la norma de la medida con signo, es decir f ∈ C ( T ) , {\displaystyle f\in C(\mathbb {T} ),} ∑ k ∈ Z f ^ ( k ) e i k x = ∑ k ∈ Z 1 2 π ( ∫ 0 2 π f ( t ) e − i k t d t ) e i k x , {\displaystyle \sum _{k\in \mathbb {Z} }{\hat {f}}(k)e^{ikx}=\sum _{k\in \mathbb {Z} }{\frac {1}{2\pi }}\left(\int _{0}^{2\pi }f(t)e^{-ikt}dt\right)e^{ikx},} S N ( f ) ( x ) = ∑ k = − N N f ^ ( k ) e i k x = 1 2 π ∫ 0 2 π f ( t ) D N ( x − t ) d t , {\displaystyle S_{N}(f)(x)=\sum _{k=-N}^{N}{\hat {f}}(k)e^{ikx}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(t)D_{N}(x-t)\,dt,} D N {\displaystyle D_{N}} N {\displaystyle N} x ∈ T {\displaystyle x\in \mathbb {T} } { S N ( f ) ( x ) } . {\displaystyle \left\{S_{N}(f)(x)\right\}.} φ N , x : C ( T ) → C {\displaystyle \varphi _{N,x}:C(\mathbb {T} )\to \mathbb {C} } φ N , x ( f ) = S N ( f ) ( x ) , f ∈ C ( T ) , {\displaystyle \varphi _{N,x}(f)=S_{N}(f)(x),\qquad f\in C(\mathbb {T} ),} φ N , x , {\displaystyle \varphi _{N,x},} C ( T ) , {\displaystyle C(\mathbb {T} ),} ( 2 ( 2 π ) − 1 D N ( x − t ) d t , {\displaystyle (2(2\pi )^{-1}D_{N}(x-t)dt,} ‖ φ N , x ‖ = 1 2 π ∫ 0 2 π | D N ( x − t ) | d t = 1 2 π ∫ 0 2 π | D N ( s ) | d s = ‖ D N ‖ L 1 ( T ) . {\displaystyle \left\|\varphi _{N,x}\right\|={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\left|D_{N}(x-t)\right|\,dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\left|D_{N}(s)\right|\,ds=\left\|D_{N}\right\|_{L^{1}(\mathbb {T} )}.}

Se puede comprobar que 1 2 π ∫ 0 2 π | D N ( t ) | d t ≥ 1 2 π ∫ 0 2 π | sin ⁡ ( ( N + 1 2 ) t ) | t / 2 d t → ∞ . {\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }|D_{N}(t)|\,dt\geq {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }{\frac {\left|\sin \left((N+{\tfrac {1}{2}})t\right)\right|}{t/2}}\,dt\to \infty .}

Por lo tanto, la colección no está acotada en el dual de Por lo tanto, por el principio de acotación uniforme, para cualquier conjunto de funciones continuas cuya serie de Fourier diverge en es denso en ( φ N , x ) {\displaystyle \left(\varphi _{N,x}\right)} C ( T ) ∗ , {\displaystyle C(\mathbb {T} )^{\ast },} C ( T ) . {\displaystyle C(\mathbb {T} ).} x ∈ T , {\displaystyle x\in \mathbb {T} ,} x {\displaystyle x} C ( T ) . {\displaystyle C(\mathbb {T} ).}

Se puede llegar a más conclusiones aplicando el principio de condensación de singularidades. Sea una sucesión densa en Definamos de forma similar a la anterior. El principio de condensación de singularidades dice entonces que el conjunto de funciones continuas cuya serie de Fourier diverge en cada es denso en (sin embargo, la serie de Fourier de una función continua converge a para casi cada por el teorema de Carleson ). ( x m ) {\displaystyle \left(x_{m}\right)} T . {\displaystyle \mathbb {T} .} φ N , x m {\displaystyle \varphi _{N,x_{m}}} x m {\displaystyle x_{m}} C ( T ) {\displaystyle C(\mathbb {T} )} f {\displaystyle f} f ( x ) {\displaystyle f(x)} x ∈ T , {\displaystyle x\in \mathbb {T} ,}

Generalizaciones

En un espacio vectorial topológico (TVS), "subconjunto acotado" se refiere específicamente a la noción de un subconjunto acotado de von Neumann . Si resulta ser también un espacio normado o semirregulado , digamos con (semi)norma , entonces un subconjunto es (von Neumann) acotado si y solo si es normado , lo que por definición significa X , {\displaystyle X,} X {\displaystyle X} ‖ ⋅ ‖ , {\displaystyle \|\cdot \|,} B {\displaystyle B} sup b ∈ B ‖ b ‖ < ∞ . {\textstyle \sup _{b\in B}\|b\|<\infty .}

Espacios en barril

Los intentos de encontrar clases de espacios vectoriales topológicos localmente convexos en los que se cumpla el principio de acotación uniforme condujeron finalmente a espacios en forma de barril . Es decir, la configuración menos restrictiva para el principio de acotación uniforme es un espacio en forma de barril, donde se cumple la siguiente versión generalizada del teorema (Bourbaki 1987, Teorema III.2.1):

Teorema  :  Dado un espacio en barril y un espacio localmente convexo , entonces cualquier familia de aplicaciones lineales continuas puntualmente acotadas de a es equicontinua (e incluso uniformemente equicontinua ). X {\displaystyle X} Y , {\displaystyle Y,} X {\displaystyle X} Y {\displaystyle Y}

Alternativamente, la afirmación también es válida siempre que sea un espacio de Baire y sea un espacio localmente convexo. [1] X {\displaystyle X} Y {\displaystyle Y}

Acotación uniforme en espacios vectoriales topológicos

Se dice que una familia de subconjuntos de un espacio vectorial topológico está uniformemente acotada en si existe algún subconjunto acotado de tal que lo que sucede si y solo si es un subconjunto acotado de ; si es un espacio normado , entonces esto sucede si y solo si existe algún real tal que En particular, si es una familia de funciones de a y si entonces la familia está uniformemente acotada en si y solo si existe algún subconjunto acotado de tal que lo que sucede si y solo si es un subconjunto acotado de B {\displaystyle {\mathcal {B}}} Y {\displaystyle Y} Y , {\displaystyle Y,} D {\displaystyle D} Y {\displaystyle Y} B ⊆ D  for every  B ∈ B , {\displaystyle B\subseteq D\quad {\text{ for every }}B\in {\mathcal {B}},} ⋃ B ∈ B B {\displaystyle \bigcup _{B\in {\mathcal {B}}}B} Y {\displaystyle Y} Y {\displaystyle Y} M ≥ 0 {\displaystyle M\geq 0} sup B ∈ B b ∈ B ‖ b ‖ ≤ M . {\textstyle \sup _{\stackrel {b\in B}{B\in {\mathcal {B}}}}\|b\|\leq M.} H {\displaystyle H} X {\displaystyle X} Y {\displaystyle Y} C ⊆ X {\displaystyle C\subseteq X} { h ( C ) : h ∈ H } {\displaystyle \{h(C):h\in H\}} Y {\displaystyle Y} D {\displaystyle D} Y {\displaystyle Y} h ( C ) ⊆ D  for all  h ∈ H , {\displaystyle h(C)\subseteq D{\text{ for all }}h\in H,} H ( C ) := ⋃ h ∈ H h ( C ) {\textstyle H(C):=\bigcup _{h\in H}h(C)} Y . {\displaystyle Y.}

Proposición [2]  —  Sea un conjunto de operadores lineales continuos entre dos espacios vectoriales topológicos y y sea cualquier subconjunto acotado de Entonces la familia de conjuntos está uniformemente acotada en si se cumple alguna de las siguientes condiciones: H ⊆ L ( X , Y ) {\displaystyle H\subseteq L(X,Y)} X {\displaystyle X} Y {\displaystyle Y} C ⊆ X {\displaystyle C\subseteq X} X . {\displaystyle X.} { h ( C ) : h ∈ H } {\displaystyle \{h(C):h\in H\}} Y {\displaystyle Y}

  1. H {\displaystyle H} es equicontinuo.
  2. C {\displaystyle C} es un subespacio de Hausdorff compacto convexo de y para cada órbita es un subconjunto acotado de X {\displaystyle X} c ∈ C , {\displaystyle c\in C,} H ( c ) := { h ( c ) : h ∈ H } {\displaystyle H(c):=\{h(c):h\in H\}} Y . {\displaystyle Y.}

Generalizaciones que involucran subconjuntos no magros

Aunque en la siguiente versión del principio uniformemente acotado se utiliza la noción de conjunto no magro , no se supone que el dominio sea un espacio de Baire . X {\displaystyle X}

Teorema [2]  —  Sea un conjunto de operadores lineales continuos entre dos espacios vectoriales topológicos y (no necesariamente Hausdorff o localmente convexos). Para cada denote la órbita de por y sea el conjunto de todos cuya órbita es un subconjunto acotado de Si es de la segunda categoría (es decir, no exiguo) en entonces y es equicontinuo. H ⊆ L ( X , Y ) {\displaystyle H\subseteq L(X,Y)} X {\displaystyle X} Y {\displaystyle Y} x ∈ X , {\displaystyle x\in X,} x {\displaystyle x} H ( x ) := { h ( x ) : h ∈ H } {\displaystyle H(x):=\{h(x):h\in H\}} B {\displaystyle B} x ∈ X {\displaystyle x\in X} H ( x ) {\displaystyle H(x)} Y . {\displaystyle Y.} B {\displaystyle B} X {\displaystyle X} B = X {\displaystyle B=X} H {\displaystyle H}

Todo subespacio vectorial propio de un TVS tiene un interior vacío en [3] Así, en particular, todo subespacio vectorial propio que esté cerrado no es denso en ninguna parte y, por lo tanto, de la primera categoría (escaso) en (y lo mismo es cierto también para todos sus subconjuntos). En consecuencia, cualquier subespacio vectorial de un TVS que sea de la segunda categoría (no escaso) en debe ser un subconjunto denso de (ya que, de lo contrario, su clausura en sería un subespacio vectorial propio cerrado de y, por lo tanto, de la primera categoría). [3] X {\displaystyle X} X . {\displaystyle X.} X {\displaystyle X} X {\displaystyle X} X {\displaystyle X} X {\displaystyle X} X {\displaystyle X} X {\displaystyle X} X {\displaystyle X}

Prueba [2]

Prueba de que es equicontinua: H {\displaystyle H}

Sean vecindades balanceadas del origen en que satisfacen Se debe demostrar que existe una vecindad del origen en tal que para cada Sea que es un subconjunto cerrado de (porque es una intersección de subconjuntos cerrados) que para cada también satisface y ( como se mostrará, el conjunto es de hecho una vecindad del origen en porque el interior topológico de en no está vacío). Si entonces estar acotado en implica que existe algún entero tal que entonces si entonces Como era arbitrario, Esto demuestra que Porque es de la segunda categoría en lo mismo debe ser cierto de al menos uno de los conjuntos para algún La función definida por es un homeomorfismo ( sobreyectivo ) , por lo que el conjunto es necesariamente de la segunda categoría en Porque es cerrado y de la segunda categoría en su interior topológico en no está vacío. Elegir Porque la función definida por es un homeomorfismo, el conjunto es una vecindad de en lo que implica que lo mismo es cierto de su superconjunto Y por lo tanto para cada Esto demuestra que es equicontinuo. QED W , V ⊆ Y {\displaystyle W,V\subseteq Y} Y {\displaystyle Y} V ¯ + V ¯ ⊆ W . {\displaystyle {\overline {V}}+{\overline {V}}\subseteq W.} N ⊆ X {\displaystyle N\subseteq X} X {\displaystyle X} h ( N ) ⊆ W {\displaystyle h(N)\subseteq W} h ∈ H . {\displaystyle h\in H.} C   :=   ⋂ h ∈ H h − 1 ( V ¯ ) , {\displaystyle C~:=~\bigcap _{h\in H}h^{-1}\left({\overline {V}}\right),} X {\displaystyle X} h ∈ H , {\displaystyle h\in H,} h ( C ) ⊆ V ¯ {\displaystyle h(C)\subseteq {\overline {V}}} h ( C − C )   =   h ( C ) − h ( C )   ⊆   V ¯ − V ¯   =   V ¯ + V ¯   ⊆   W {\displaystyle h(C-C)~=~h(C)-h(C)~\subseteq ~{\overline {V}}-{\overline {V}}~=~{\overline {V}}+{\overline {V}}~\subseteq ~W} C − C {\displaystyle C-C} X {\displaystyle X} C {\displaystyle C} X {\displaystyle X} b ∈ B {\displaystyle b\in B} H ( b ) {\displaystyle H(b)} Y {\displaystyle Y} n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } H ( b ) ⊆ n V {\displaystyle H(b)\subseteq nV} h ∈ H , {\displaystyle h\in H,} b   ∈   h − 1 ( n V )   =   n h − 1 ( V ) . {\displaystyle b~\in ~h^{-1}\left(nV\right)~=~nh^{-1}(V).} h ∈ H {\displaystyle h\in H} b   ∈   ⋂ h ∈ H n h − 1 ( V )   =   n ⋂ h ∈ H h − 1 ( V )   ⊆   n C . {\displaystyle b~\in ~\bigcap _{h\in H}nh^{-1}(V)~=~n\bigcap _{h\in H}h^{-1}(V)~\subseteq ~nC.} B   ⊆   ⋃ n ∈ N n C . {\displaystyle B~\subseteq ~\bigcup _{n\in \mathbb {N} }nC.} B {\displaystyle B} X , {\displaystyle X,} n C {\displaystyle nC} n ∈ N . {\displaystyle n\in \mathbb {N} .} X → X {\displaystyle X\to X} x ↦ 1 n x {\textstyle x\mapsto {\frac {1}{n}}x} 1 n ( n C ) = C {\textstyle {\frac {1}{n}}(nC)=C} X . {\displaystyle X.} C {\displaystyle C} X , {\displaystyle X,} X {\displaystyle X} c ∈ Int X ⁡ C . {\displaystyle c\in \operatorname {Int} _{X}C.} X → X {\displaystyle X\to X} x ↦ c − x {\displaystyle x\mapsto c-x} N   :=   c − Int X ⁡ C   =   Int X ⁡ ( c − C ) {\displaystyle N~:=~c-\operatorname {Int} _{X}C~=~\operatorname {Int} _{X}(c-C)} 0 = c − c {\displaystyle 0=c-c} X , {\displaystyle X,} C − C . {\displaystyle C-C.} h ∈ H , {\displaystyle h\in H,} h ( N )   ⊆   h ( c − C )   =   h ( c ) − h ( C )   ⊆   V ¯ − V ¯   ⊆   W . {\displaystyle h(N)~\subseteq ~h(c-C)~=~h(c)-h(C)~\subseteq ~{\overline {V}}-{\overline {V}}~\subseteq ~W.} H {\displaystyle H}

Prueba de que : B = X {\displaystyle B=X}

Debido a que es equicontinuo, si está acotado en entonces está uniformemente acotado en En particular, para cualquier porque es un subconjunto acotado de es un subconjunto uniformemente acotado de Por lo tanto QED H {\displaystyle H} S ⊆ X {\displaystyle S\subseteq X} X {\displaystyle X} H ( S ) {\displaystyle H(S)} Y . {\displaystyle Y.} x ∈ X , {\displaystyle x\in X,} S := { x } {\displaystyle S:=\{x\}} X , {\displaystyle X,} H ( { x } ) = H ( x ) {\displaystyle H(\{x\})=H(x)} Y . {\displaystyle Y.} B = X . {\displaystyle B=X.}

Secuencias de aplicaciones lineales continuas

El siguiente teorema establece condiciones para que el límite puntual de una secuencia de mapas lineales continuos sea en sí mismo continuo.

Teorema [4]  —  Supóngase que es una secuencia de aplicaciones lineales continuas entre dos espacios vectoriales topológicos y h 1 , h 2 , … {\displaystyle h_{1},h_{2},\ldots } X {\displaystyle X} Y . {\displaystyle Y.}

  1. Si el conjunto de todos para los cuales es una secuencia de Cauchy en es de la segunda categoría en entonces C {\displaystyle C} x ∈ X {\displaystyle x\in X} h 1 ( x ) , h 2 ( x ) , … {\displaystyle h_{1}(x),h_{2}(x),\ldots } Y {\displaystyle Y} X , {\displaystyle X,} C = X . {\displaystyle C=X.}
  2. Si el conjunto de todos en el que existe el límite en es de la segunda categoría en y si es un espacio vectorial topológico metrizable completo (como un espacio de Fréchet o un F-espacio ), entonces y es una función lineal continua. L {\displaystyle L} x ∈ X {\displaystyle x\in X} h ( x ) := lim n → ∞ h n ( x ) {\displaystyle h(x):=\lim _{n\to \infty }h_{n}(x)} Y {\displaystyle Y} X {\displaystyle X} Y {\displaystyle Y} L = X {\displaystyle L=X} h : X → Y {\displaystyle h:X\to Y}

Teorema [3]  —  Si es una secuencia de aplicaciones lineales continuas de un F-espacio en un espacio vectorial topológico de Hausdorff tal que para cada límite existe en entonces es una aplicación lineal continua y las aplicaciones son equicontinuas. h 1 , h 2 , … {\displaystyle h_{1},h_{2},\ldots } X {\displaystyle X} Y {\displaystyle Y} x ∈ X , {\displaystyle x\in X,} h ( x )   :=   lim n → ∞ h n ( x ) {\displaystyle h(x)~:=~\lim _{n\to \infty }h_{n}(x)} Y , {\displaystyle Y,} h : X → Y {\displaystyle h:X\to Y} h , h 1 , h 2 , … {\displaystyle h,h_{1},h_{2},\ldots }

Si además el dominio es un espacio de Banach y el codominio es un espacio normado entonces ‖ h ‖ ≤ lim inf n → ∞ ‖ h n ‖ < ∞ . {\displaystyle \|h\|\leq \liminf _{n\to \infty }\left\|h_{n}\right\|<\infty .}

Dominio metrizable completo

Dieudonné (1970) demuestra una forma más débil de este teorema con espacios de Fréchet en lugar de los espacios de Banach habituales.

Teorema [2]  —  Sea un conjunto de operadores lineales continuos de un espacio vectorial topológico metrizable completo (tal como un espacio de Fréchet o un F-espacio ) en un espacio vectorial topológico de Hausdorff. Si para cada la órbita es un subconjunto acotado de entonces es equicontinuo. H ⊆ L ( X , Y ) {\displaystyle H\subseteq L(X,Y)} X {\displaystyle X} Y . {\displaystyle Y.} x ∈ X , {\displaystyle x\in X,} H ( x ) := { h ( x ) : h ∈ H } {\displaystyle H(x):=\{h(x):h\in H\}} Y {\displaystyle Y} H {\displaystyle H}

Así, en particular, si también es un espacio normado y si entonces es equicontinuo. Y {\displaystyle Y} sup h ∈ H ‖ h ( x ) ‖ < ∞  for every  x ∈ X , {\displaystyle \sup _{h\in H}\|h(x)\|<\infty \quad {\text{ for every }}x\in X,} H {\displaystyle H}

Véase también

Notas

Citas

  1. ^ Stern 2001.
  2. ^ abcd Rudin 1991, págs. 42-47.
  3. ^ abc Rudin 1991, pág. 46.
  4. ^ Rudin 1991, págs. 45-46.

Bibliografía

  • Banach, Stefan ; Steinhaus, Hugo (1927), "Sur le principe de la condensation de singularités" (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 9 : 50–61, doi : 10.4064/fm-9-1-50-61. (en francés)
  • Banach, Stefan (1932). Théorie des Opérations Linéaires [ Teoría de las operaciones lineales ] (PDF) . Monografie Matematyczne (en francés). vol. 1. Varsovia: Subwencji Funduszu Kultury Narodowej. Zbl  0005.20901. Archivado desde el original (PDF) el 11 de enero de 2014 . Consultado el 11 de julio de 2020 .
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