operador lineal continuo

Supongamos que${\displaystyle F:X\to Y}$es un operador lineal entre dos espacios vectoriales topológicos (EVT). Los siguientes son equivalentes:

1. ${\displaystyle F}$es continuo.
2. ${\displaystyle F}$es continuo en algún punto${\displaystyle x\in X.}$
3. ${\displaystyle F}$es continua en el origen en${\displaystyle X.}$

Si${\displaystyle Y}$Si es localmente convexa, entonces esta lista puede ampliarse para incluir:

4. para cada seminorma continua${\displaystyle q}$en${\displaystyle Y,}$Existe una seminorma continua${\displaystyle p}$en${\displaystyle X}$de tal manera que${\displaystyle q\circ F\leq p.}$^{[ 1 ]}

Si${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$Si ambos son espacios localmente convexos de Hausdorff , entonces esta lista puede ampliarse para incluir:

5. ${\displaystyle F}$es débilmente continua y su transpuesta${\displaystyle {}^{t}F:Y^{\prime }\to X^{\prime }}$mapas subconjuntos equicontinuos de${\displaystyle Y^{\prime }}$a subconjuntos equicontinuos de${\displaystyle X^{\prime }.}$

Si${\displaystyle X}$Si se trata de un espacio secuencial (como un espacio pseudometrizable ), entonces esta lista puede ampliarse para incluir:

6. ${\displaystyle F}$es secuencialmente continua en algún punto (o equivalentemente, en cada) de su dominio.

Si${\displaystyle X}$Si es pseudometrizable o metrizable (como un espacio normado o de Banach ), entonces podemos agregar a esta lista:

7. ${\displaystyle F}$es un operador lineal acotado (es decir, mapea subconjuntos acotados de${\displaystyle X}$a subconjuntos limitados de${\displaystyle Y}$). ^{[ 2 ]}

Si${\displaystyle Y}$Si se trata de un espacio seminormable (como un espacio normado ), entonces esta lista puede ampliarse para incluir:

8. ${\displaystyle F}$asigna a algún vecindario de 0 un subconjunto acotado de${\displaystyle Y.}$^{[ 3 ]}

Si${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$son espacios normados o seminormados (con ambas seminormas denotadas por${\displaystyle \|\cdot \|}$) entonces esta lista puede ampliarse para incluir:

9. por cada${\displaystyle r>0}$existe algo${\displaystyle \delta >0}$de tal manera que$${\displaystyle {\text{ for all }}x,y\in X,{\text{ if }}\|x-y\|<\delta {\text{ then }}\|Fx-Fy\|<r.}$$

Si${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$son espacios localmente convexos de Hausdorff con${\displaystyle Y}$Si la lista es de dimensión finita, puede ampliarse para incluir:

10. el gráfico de${\displaystyle F}$está cerrado en${\displaystyle X\times Y.}$^{[ 4 ]}

Una aplicación lineal está " acotada en un entorno " (de algún punto) si y solo si está acotada localmente en cada punto de su dominio, en cuyo caso es necesariamente continua ^{[ 2 ]} (incluso si su dominio no es un espacio normado ) y, por lo tanto, también acotada (porque un operador lineal continuo es siempre un operador lineal acotado ). ^{[ 6 ]}

Para cualquier aplicación lineal, si está acotada en un entorno , entonces es continua, ^{[ 2 ] [ 7 ]} y si es continua, entonces está acotada . ^{[ 6 ]} Las afirmaciones recíprocas no son ciertas en general, pero sí lo son cuando el dominio de la aplicación lineal es un espacio normado . A continuación se presentan ejemplos y detalles adicionales.

Para resumir la discusión a continuación, para una aplicación lineal en un espacio normado (o seminormado), ser continua, ser acotada y ser acotada en un entorno son equivalentes . Una aplicación lineal cuyo dominio o codominio es normable (o seminormable) es continua si y solo si es acotada en un entorno. Y un operador lineal acotado con valores en un espacio localmente convexo será continuo si su dominio es (pseudo)metrizable ^{[ 2 ]} o bornológico ^{[ 6 ]} .

Garantizar que "continuo" implica "limitado a un vecindario".

Se dice que un TVS es localmente acotado si existe un entorno que también es un conjunto acotado . ^{[ 8 ]} Por ejemplo, todo espacio normado o seminormado es un TVS localmente acotado, ya que la bola unitaria centrada en el origen es un entorno acotado del origen. Si${\displaystyle B}$Si es un entorno acotado del origen en un TVS (localmente acotado), entonces su imagen bajo cualquier aplicación lineal continua será un conjunto acotado (por lo tanto, esta aplicación está acotada en este entorno).${\displaystyle B}$). En consecuencia, una aplicación lineal de un TVS localmente acotado a cualquier otro TVS es continua si y solo si está acotada en un entorno . Además, cualquier TVS con esta propiedad debe ser un TVS localmente acotado. Explícitamente, si${\displaystyle X}$es un TVS tal que toda aplicación lineal continua (en cualquier TVS) cuyo dominio es${\displaystyle X}$está necesariamente delimitado por un vecindario, entonces${\displaystyle X}$debe ser un TVS localmente acotado (porque la función identidad${\displaystyle X\to X}$es siempre una aplicación lineal continua).

Cualquier aplicación lineal de un TVS a un TVS localmente acotado (como cualquier funcional lineal) es continua si y solo si está acotada en un entorno. ^{[ 8 ]} Por el contrario, si${\displaystyle Y}$es un TVS tal que toda aplicación lineal continua (desde cualquier TVS) con codominio${\displaystyle Y}$está necesariamente delimitado por un vecindario , entonces${\displaystyle Y}$debe ser un TVS localmente acotado. ^{[ 8 ]} En particular, un funcional lineal en un TVS arbitrario es continuo si y solo si está acotado en un entorno. ^{[ 8 ]}

Por lo tanto, cuando el dominio o el codominio de una aplicación lineal es normable o seminormable, la continuidad será equivalente a estar acotada en un entorno.

Garantizar que "limitado" implica "continuo"

Un operador lineal continuo es siempre un operador lineal acotado . ^{[ 6 ]} Pero, lo que es importante, en el contexto más general de un operador lineal entre espacios vectoriales topológicos arbitrarios, es posible que un operador lineal sea acotado pero no continuo.

Una aplicación lineal cuyo dominio es pseudometrizable (como cualquier espacio normado ) es acotada si y solo si es continua. ^{[ 2 ]} Lo mismo ocurre con una aplicación lineal de un espacio bornológico a un espacio localmente convexo . ^{[ 6 ]}

Garantizar que "limitado" implica "limitado a un vecindario".

En general, sin información adicional sobre el mapa lineal o su dominio o codominio, que el mapa esté "acotado" no es equivalente a que esté "acotado en un entorno". Si${\displaystyle F:X\to Y}$es un operador lineal acotado de un espacio normado${\displaystyle X}$en algunos televisores entonces${\displaystyle F:X\to Y}$es necesariamente continuo; esto se debe a que cualquier bola abierta${\displaystyle B}$centrado en el origen en${\displaystyle X}$es a la vez un subconjunto acotado (lo que implica que${\displaystyle F(B)}$está limitado ya que${\displaystyle F}$es una aplicación lineal acotada) y un entorno del origen en${\displaystyle X,}$de modo que${\displaystyle F}$por lo tanto, está delimitado por este vecindario.${\displaystyle B}$del origen, que (como se mencionó anteriormente) garantiza la continuidad.

Dejar${\displaystyle X}$sea ​​un espacio vectorial topológico (TVS) sobre el campo${\displaystyle \mathbb {F} }$(${\displaystyle X}$no es necesario que sea de Hausdorff o localmente convexa ) y sea${\displaystyle f:X\to \mathbb {F} }$sea ​​un funcional lineal en${\displaystyle X.}$ Los siguientes son equivalentes: ^{[ 1 ]}

1. ${\displaystyle f}$es continuo.
2. ${\displaystyle f}$es uniformemente continuo en${\displaystyle X.}$
3. ${\displaystyle f}$es continuo en algún punto de${\displaystyle X.}$
4. ${\displaystyle f}$es continua en el origen.
   • Por definición,${\displaystyle f}$Se dice que es continua en el origen si para cada bola abierta (o cerrada)${\displaystyle B_{r}}$de radio${\displaystyle r>0}$centrado en${\displaystyle 0}$en el codominio${\displaystyle \mathbb {F} ,}$existe algún vecindario${\displaystyle U}$del origen en${\displaystyle X}$de tal manera que${\displaystyle f(U)\subseteq B_{r}.}$
   • Si${\displaystyle B_{r}}$es una bola cerrada entonces la condición${\displaystyle f(U)\subseteq B_{r}}$se cumple si y solo si${\displaystyle \sup _{u\in U}|f(u)|\leq r.}$
     • Es importante que${\displaystyle B_{r}}$ser una bola cerrada en esta caracterización suprema . Suponiendo que${\displaystyle B_{r}}$en cambio es una bola abierta, entonces${\displaystyle \sup _{u\in U}|f(u)|<r}$es una condición suficiente pero no necesaria para${\displaystyle f(U)\subseteq B_{r}}$para ser cierto (considere por ejemplo cuando${\displaystyle f=\operatorname {Id} }$es el mapa de identidad en${\displaystyle X=\mathbb {F} }$y${\displaystyle U=B_{r}}$), mientras que la desigualdad no estricta${\displaystyle \sup _{u\in U}|f(u)|\leq r}$es en cambio una condición necesaria pero no suficiente para${\displaystyle f(U)\subseteq B_{r}}$para ser cierto (considere por ejemplo${\displaystyle X=\mathbb {R} ,f=\operatorname {Id} ,}$y el barrio cerrado${\displaystyle U=[-r,r]}$Esta es una de las varias razones por las que muchas definiciones que involucran funcionales lineales, como los conjuntos polares , por ejemplo, implican vecindarios cerrados (en lugar de abiertos) y no estrictos.${\displaystyle \,\leq \,}$(en lugar de estricto${\displaystyle \,<\,}$) desigualdades.
5. ${\displaystyle f}$está delimitado por un vecindario (de algún punto). Dicho de otra manera,${\displaystyle f}$es un dominio limitado localmente en algún punto .
   • Explícitamente, esto significa que existe algún vecindario.${\displaystyle U}$de algún momento${\displaystyle x\in X}$de tal manera que${\displaystyle f(U)}$es un subconjunto acotado de${\displaystyle \mathbb {F}$ ;} ^{[ 2 ]} es decir, de tal manera que${\textstyle \displaystyle \sup _{u\in U}|f(u)|<\infty .}$Este supremo sobre el vecindario${\displaystyle U}$es igual a${\displaystyle 0}$si y solo si${\displaystyle f=0.}$
   • Es importante destacar que el hecho de que un funcional lineal esté "acotado en un entorno" no equivale, en general, a ser un " funcional lineal acotado ", ya que (como se describió anteriormente) es posible que una aplicación lineal esté acotada pero no sea continua. Sin embargo, la continuidad y la acotación son equivalentes si el dominio es un espacio normado o seminormado ; es decir, para un funcional lineal en un espacio normado, estar "acotado" equivale a estar "acotado en un entorno".
6. ${\displaystyle f}$está delimitado por un vecindario del origen . Dicho de otro modo,${\displaystyle f}$es un límite local en el origen.
   • La igualdad${\displaystyle \sup _{x\in sU}|f(x)|=|s|\sup _{u\in U}|f(u)|}$Se cumple para todos los escalares.${\displaystyle s}$y cuando${\displaystyle s\neq 0}$entonces${\displaystyle sU}$será vecindario del origen. Entonces, en particular, si${\textstyle R:=\displaystyle \sup _{u\in U}|f(u)|}$es un número real positivo entonces para cada número real positivo${\displaystyle r>0,}$el conjunto${\displaystyle N_{r}:={\tfrac {r}{R}}U}$es un barrio del origen y${\displaystyle \displaystyle \sup _{n\in N_{r}}|f(n)|=r.}$Usando${\displaystyle r:=1}$demuestra la siguiente afirmación cuando${\displaystyle R\neq 0.}$
7. Existe algún vecindario${\displaystyle U}$del origen tal que${\displaystyle \sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1}$
   • Esta desigualdad se cumple si y solo si${\displaystyle \sup _{x\in rU}|f(x)|\leq r}$para cada real${\displaystyle r>0,}$lo que demuestra que los múltiplos escalares positivos${\displaystyle \{rU:r>0\}}$de este único vecindario${\displaystyle U}$satisfará la definición de continuidad en el origen dada en (4) anterior.
   • Por definición del conjunto${\displaystyle U^{\circ },}$que se denomina polar (absoluta) de${\displaystyle U,}$la desigualdad${\displaystyle \sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1}$se cumple si y solo si${\displaystyle f\in U^{\circ }.}$Los conjuntos polares, y por lo tanto también esta desigualdad en particular, desempeñan un papel importante en la teoría de la dualidad .
8. ${\displaystyle f}$es localmente acotado en cada punto de su dominio.
9. El núcleo de${\displaystyle f}$está cerrado en${\displaystyle X.}$^{[ 2 ]}
10. Cualquiera${\displaystyle f=0}$o bien el núcleo de${\displaystyle f}$no es denso en${\displaystyle X.}$^{[ 2 ]}
11. Existe una seminorma continua${\displaystyle p}$en${\displaystyle X}$de tal manera que${\displaystyle |f|\leq p.}$
    • En particular,${\displaystyle f}$es continua si y solo si la seminorma${\displaystyle p:=|f|}$es un continuo.
12. El gráfico de${\displaystyle f}$está cerrado. ^{[ 9 ]}
13. ${\displaystyle \operatorname {Re} f}$es continuo, donde${\displaystyle \operatorname {Re} f}$denota la parte real de${\displaystyle f.}$

Si${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$Si se trata de espacios vectoriales complejos, esta lista puede ampliarse para incluir:

14. La parte imaginaria${\displaystyle \operatorname {Im} f}$de${\displaystyle f}$es continuo.

Si el dominio${\displaystyle X}$Si se trata de un espacio secuencial , esta lista puede ampliarse para incluir:

15. ${\displaystyle f}$es secuencialmente continua en algún (o equivalentemente, en cada) punto de su dominio. ^{[ 2 ]}

Si el dominio${\displaystyle X}$Si un espacio es metrizable o pseudometrizable (por ejemplo, un espacio de Fréchet o un espacio normado ), entonces esta lista puede ampliarse para incluir:

16. ${\displaystyle f}$es un operador lineal acotado (es decir, asigna subconjuntos acotados de su dominio a subconjuntos acotados de su codominio). ^{[ 2 ]}

Si el dominio${\displaystyle X}$es un espacio bornológico (por ejemplo, un TVS pseudometrizable ) y${\displaystyle Y}$Si es localmente convexa, entonces esta lista puede ampliarse para incluir:

17. ${\displaystyle f}$es un operador lineal acotado . ^{[ 2 ]}
18. ${\displaystyle f}$es secuencialmente continua en algún (o equivalentemente, en cada) punto de su dominio. ^{[ 10 ]}
19. ${\displaystyle f}$es secuencialmente continua en el origen.

y si además${\displaystyle X}$es un espacio vectorial sobre los números reales (lo que en particular, implica que${\displaystyle f}$es de valor real) entonces esta lista puede ampliarse para incluir:

20. Existe una seminorma continua${\displaystyle p}$en${\displaystyle X}$de tal manera que${\displaystyle f\leq p.}$^{[ 1 ]}
21. Para algunos de verdad${\displaystyle r,}$el semiespacio${\displaystyle \{x\in X:f(x)\leq r\}}$Está cerrado.
22. Para cualquier real${\displaystyle r,}$el semiespacio${\displaystyle \{x\in X:f(x)\leq r\}}$está cerrado. ^{[ 11 ]}

Si${\displaystyle X}$es complejo entonces o los tres de${\displaystyle f,}$${\displaystyle \operatorname {Re} f,}$y${\displaystyle \operatorname {Im} f}$son continuas (respectivamente, acotadas ), o bien las tres son discontinuas (respectivamente, no acotadas).

Si${\displaystyle X}$es un espacio normalizado complejo y${\displaystyle f}$es un funcional lineal en${\displaystyle X,}$entonces${\displaystyle \|f\|=\|\operatorname {Re} f\|}$^{[ 14 ]} (donde, en particular, un lado es infinito si y solo si el otro lado es infinito).

Todo funcional lineal continuo no trivial en un TVS${\displaystyle X}$es un mapa abierto . ^{[ 1 ]} Si${\displaystyle f}$es un funcional lineal en un espacio vectorial real${\displaystyle X}$y si${\displaystyle p}$es una semirroma en${\displaystyle X,}$entonces${\displaystyle |f|\leq p}$si y solo si${\displaystyle f\leq p.}$^{[ 1 ]}

Si${\displaystyle f:X\to \mathbb {F} }$es un funcional lineal y${\displaystyle U\subseteq X}$es un subconjunto no vacío, entonces definiendo los conjuntos $${\displaystyle f(U):=\{f(u):u\in U\}\quad {\text{ and }}\quad |f(U)|:=\{|f(u)|:u\in U\},}$$ el supremo${\displaystyle \,\sup _{u\in U}|f(u)|\,}$se puede escribir de forma más concisa como${\displaystyle \,\sup |f(U)|\,}$porque $${\displaystyle \sup |f(U)|~=~\sup\{|f(u)|:u\in U\}~=~\sup _{u\in U}|f(u)|.}$$ Si${\displaystyle s}$entonces es un escalar $${\displaystyle \sup |f(sU)|~=~|s|\sup |f(U)|}$$ para que si${\displaystyle r>0}$es un número real y${\displaystyle B_{\leq r}:=\{c\in \mathbb {F}$ :|c|\leq r\}} es la bola cerrada de radio${\displaystyle r}$Centrado en el origen, entonces lo siguiente es equivalente:

1. ${\textstyle f(U)\subseteq B_{\leq 1}}$
2. ${\textstyle \sup |f(U)|\leq 1}$
3. ${\textstyle \sup |f(rU)|\leq r}$
4. ${\textstyle f(rU)\subseteq B_{\leq r}.}$