Funcional lineal positivo

En matemáticas , más específicamente en análisis funcional , un funcional lineal positivo en un espacio vectorial ordenado${\displaystyle (V,\leq )}$es un funcional lineal${\displaystyle f}$en${\displaystyle V}$de modo que para todos los elementos positivos${\displaystyle v\in V,}$eso es${\displaystyle v\geq 0,}$sostiene que $${\displaystyle f(v)\geq 0.}$$

En otras palabras, se garantiza que un funcional lineal positivo tome valores no negativos para elementos positivos. La importancia de los funcionales lineales positivos radica en resultados como el teorema de representación de Riesz-Markov-Kakutani .

Cuando${\displaystyle V}$es un espacio vectorial complejo , se supone que para todo${\displaystyle v\geq 0,}$${\displaystyle f(v)}$es real. Como en el caso cuando${\displaystyle V}$es un álgebra C* con su subespacio parcialmente ordenado de elementos autoadjuntos, a veces se coloca un orden parcial solo en un subespacio${\displaystyle W\subseteq V,}$y la orden parcial no se extiende a todos${\displaystyle V,}$en cuyo caso los elementos positivos de${\displaystyle V}$son los elementos positivos de${\displaystyle W,}$por abuso de notación. Esto implica que para un álgebra C*, un funcional lineal positivo envía cualquier${\displaystyle x\in V}$igual a${\displaystyle s^{\ast }s}$para algunos${\displaystyle s\in V}$a un número real, que es igual a su conjugado complejo, y por lo tanto todos los funcionales lineales positivos conservan la autoadjuntividad de tal${\displaystyle x.}$Esta propiedad se explota en la construcción GNS para relacionar funcionales lineales positivos en un álgebra C* con productos internos .

Existe una clase relativamente grande de espacios vectoriales topológicos ordenados en los que toda forma lineal positiva es necesariamente continua. ^{[ 1 ]} Esto incluye todos los retículos vectoriales topológicos que son secuencialmente completos . ^{[ 1 ]}

Teorema Sea${\displaystyle X}$Sea un espacio vectorial topológico ordenado con cono positivo.${\displaystyle C\subsetequ X}$y dejar${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$denotamos la familia de todos los subconjuntos acotados de${\displaystyle X.}$ Entonces, cada una de las siguientes condiciones es suficiente para garantizar que todo funcional lineal positivo en${\displaystyle X}$es continuo:

1. ${\displaystyle C}$tiene interior topológico no vacío (en${\displaystyle X}$). ^{[ 1 ]}
2. ${\displaystyle X}$es completo y métrico y${\displaystyle X=CC.}$^{[ 1 ]}
3. ${\displaystyle X}$es bornológico y${\displaystyle C}$es un estricto semi-completo${\displaystyle {\mathcal {B}}}$-cono en${\displaystyle X.}$^{[ 1 ]}
4. ${\displaystyle X}$es el límite inductivo de una familia${\displaystyle \left(X_{\alpha }\right)_{\alpha \in A}}$de espacios de Fréchet ordenados con respecto a una familia de aplicaciones lineales positivas donde${\displaystyle X_{\alpha }=C_{\alpha }-C_{\alpha }}$a pesar de${\displaystyle \alpha \in A,}$dónde${\displaystyle C_{\alpha }}$es el cono positivo de${\displaystyle X_{\alpha }.}$^{[ 1 ]}

El siguiente teorema se debe a H. Bauer e independientemente a Namioka. ^{[ 1 ]}

Teorema : ^{[ 1 ]} Sea${\displaystyle X}$sea ​​un espacio vectorial topológico ordenado (TVS) con cono positivo${\displaystyle C,}$dejar${\displaystyle M}$sea ​​un subespacio vectorial de${\displaystyle E,}$y dejar${\displaystyle f}$ser una forma lineal en${\displaystyle M.}$Entonces${\displaystyle f}$tiene una extensión a una forma lineal positiva continua en${\displaystyle X}$si y solo si existe algún vecindario convexo${\displaystyle U}$de${\displaystyle 0}$en${\displaystyle X}$de tal manera que${\displaystyle \operatorname {Re} f}$está delimitado arriba en${\displaystyle M\cap (UC).}$

Corolario : ^{[ 1 ]} Sea${\displaystyle X}$sea ​​un espacio vectorial topológico ordenado con cono positivo${\displaystyle C,}$dejar${\displaystyle M}$sea ​​un subespacio vectorial de${\displaystyle E.}$Si${\displaystyle C\cap M}$contiene un punto interior de${\displaystyle C}$entonces toda forma lineal positiva continua en${\displaystyle M}$tiene una extensión a una forma lineal positiva continua en${\displaystyle X.}$

Corolario : ^{[ 1 ]} Sea${\displaystyle X}$sea ​​un espacio vectorial ordenado con cono positivo${\displaystyle C,}$dejar${\displaystyle M}$sea ​​un subespacio vectorial de${\displaystyle E,}$y dejar${\displaystyle f}$ser una forma lineal en${\displaystyle M.}$Entonces${\displaystyle f}$tiene una extensión a una forma lineal positiva en${\displaystyle X}$si y solo si existe algún subconjunto absorbente convexo${\displaystyle W}$en${\displaystyle X}$que contiene el origen de${\displaystyle X}$de tal manera que${\displaystyle \operatorname {Re} f}$está delimitado arriba en${\displaystyle M\cap (WC).}$

Prueba: Basta con dotar${\displaystyle X}$con la topología localmente convexa más fina que hace${\displaystyle W}$en un barrio de${\displaystyle 0\in X.}$

Consideremos, como ejemplo,${\displaystyle V,}$El álgebra C* de matrices cuadradas complejas tiene como elementos positivos las matrices definidas positivas . La función traza definida en esta álgebra C* es un funcional positivo, ya que los valores propios de cualquier matriz definida positiva son positivos, y por lo tanto su traza es positiva.

Consideremos el espacio de Riesz.${\displaystyle \mathrm {C} _ {\mathrm {c} }(X)}$de todas las funciones continuas de valores complejos con soporte compacto en un espacio de Hausdorff localmente compacto${\displaystyle X.}$Consideremos una medida regular de Borel.${\displaystyle \mu }$en${\displaystyle X,}$y un funcional${\displaystyle \psi }$definido por$${\displaystyle \psi (f)=\int _{X}f(x)d\mu (x)\quad {\text{ para todo }}f\in \mathrm {C} _{\mathrm {c} }(X).}$$Entonces, este funcional es positivo (la integral de cualquier función positiva es un número positivo). Además, cualquier funcional positivo en este espacio tiene esta forma, como se deduce del teorema de representación de Riesz-Markov-Kakutani .

Dejar${\displaystyle M}$ser un álgebra C* (más generalmente, un sistema de operadores en un álgebra C*)${\displaystyle A}$) con identidad${\displaystyle 1.}$Dejar${\displaystyle M^{+}}$denotamos el conjunto de elementos positivos en${\displaystyle M.}$

Un funcional lineal${\displaystyle \rho }$en${\displaystyle M}$Se dice que es positivo si${\displaystyle \rho (a)\geq 0,}$a pesar de${\displaystyle a\in M^{+}.}$

Teorema. Un funcional lineal${\displaystyle \rho }$en${\displaystyle M}$es positivo si y solo si${\displaystyle \rho }$está delimitado y${\displaystyle \|\rho \|=\rho (1).}$^{[ 2 ]}

Dado un espacio${\displaystyle C}$, un sistema de precios puede verse como una función continua, positiva y lineal en${\displaystyle C}$.

• Elemento positivo : Agrupar con un orden parcial compatible. Páginas que muestran descripciones breves de los destinos de redirección. 
• Operador lineal positivo : concepto en análisis funcional. 

• Kadison, Richard , Fundamentos de la teoría de las álgebras de operadores, vol. I  : Teoría elemental , American Mathematical Society. ISBN 978-0821808191.
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (Segunda  edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666OCLC 144216834​​ 
• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . Vol.  8 (Segunda  edición). Nueva York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0OCLC 840278135​​ 
• Trèves, François (2006) [1967]. Espacios vectoriales topológicos, distribuciones y núcleos . Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1OCLC 853623322 .​