Limitación local

En matemáticas , una función está acotada localmente si está acotada en cada uno de sus puntos. Una familia de funciones está acotada localmente si para cualquier punto de su dominio todas las funciones están acotadas en ese punto y por el mismo número.

Una función de valor real o de valor complejo definida en algún espacio topológico se denomina${\estilo de visualización f}$ ${\estilo de visualización X}$funcional localmente acotado si para cualquierexiste unentornodetal quesea unconjunto acotado. Es decir, para algún númerouno tiene ${\displaystyle x_{0}\en X}$ ${\estilo de visualización A}$$estilo de visualización x_{0}}$${\displaystyle f(A)}$${\estilo de visualización M>0}$$${\displaystyle |f(x)|\leq M\quad {\text{ para todo }}x\en A.}$$

En otras palabras, para cada uno se puede encontrar una constante, dependiendo de cuál es mayor que todos los valores de la función en el entorno de Compare esto con una función acotada , para la cual la constante no depende de Obviamente, si una función está acotada, entonces está acotada localmente. Lo inverso no es cierto en general (ver más abajo). ${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización x,}$${\estilo de visualización x.}$${\estilo de visualización x.}$

Esta definición se puede extender al caso cuando toma valores en algún espacio métrico . Entonces la desigualdad anterior debe reemplazarse por donde es algún punto en el espacio métrico. La elección de no afecta la definición; elegir una diferente aumentará como máximo la constante para la cual esta desigualdad es verdadera. ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle (Y,d).}$$${\displaystyle d(f(x),y)\leq M\quad {\text{ para todo }}x\in A,}$$${\displaystyle y\en Y}$${\estilo de visualización y}$${\estilo de visualización y}$${\estilo de visualización r}$

• La función definida por está acotada, porque para todo Por lo tanto, también está acotada localmente.${\displaystyle f:\mathbb {R} \a \mathbb {R} }$$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{2}+1}}}$$${\displaystyle 0\leq f(x)\leq 1}$${\estilo de visualización x.}$

• La función definida por no está acotada, ya que se vuelve arbitrariamente grande. Sin embargo, está acotada localmente porque para cada en el entorno donde${\displaystyle f:\mathbb {R} \a \mathbb {R} }$$${\displaystyle f(x)=2x+3}$$${\estilo de visualización a,}$ ${\displaystyle |f(x)|\leq M}$${\displaystyle (a-1,a+1),}$${\displaystyle M=2|a|+5.}$

• La función definida por no está acotada ni localmente acotada. En cualquier entorno de 0, esta función toma valores de magnitud arbitrariamente grande.${\displaystyle f:\mathbb {R} \a \mathbb {R} }$$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{x}},&{\mbox{si }}x\neq 0,\\0,&{\mbox{si }}x=0\end{cases}}}$$

• Cualquier función continua está localmente acotada. Aquí hay una prueba para funciones de una variable real. Sea continua donde y demostraremos que está localmente acotada en para todo Tomando ε = 1 en la definición de continuidad, existe tal que para todo con . Ahora bien, por la desigualdad triangular , lo que significa que está localmente acotada en (tomando y la vecindad ). Este argumento se generaliza fácilmente a cuando el dominio de es cualquier espacio topológico.${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }$${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ,}$${\estilo de visualización f}$${\estilo de visualización a}$${\displaystyle a\en U}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle |f(x)-f(a)|<1}$${\displaystyle x\en U}$${\displaystyle |xa|<\delta}$${\displaystyle |f(x)|=|f(x)-f(a)+f(a)|\leq |f(x)-f(a)|+|f(a)|<1+|f(a)|,}$${\estilo de visualización f}$${\estilo de visualización a}$${\displaystyle M=1+|f(a)|}$${\displaystyle (a-\delta ,a+\delta )}$${\estilo de visualización f}$

• Sin embargo, el recíproco del resultado anterior no es cierto; es decir, una función discontinua puede estar acotada localmente. Por ejemplo, considere la función dada por y para todos Entonces es discontinua en 0 pero está acotada localmente; es localmente constante excepto en cero, donde podemos tomar y la vecindad , por ejemplo.${\displaystyle f:\mathbb {R} \a \mathbb {R} }$${\displaystyle f(0)=1}$${\displaystyle f(x)=0}$${\displaystyle x\neq 0.}$${\estilo de visualización f}$${\estilo de visualización f}$${\estilo de visualización M=1}$${\estilo de visualización (-1,1),}$

Un conjunto (también llamado familia ) U de funciones de valor real o de valor complejo definidas en algún espacio topológico se denomina acotado localmente si para cualquier existe un vecindario de y un número positivo tal que para todos y En otras palabras, todas las funciones de la familia deben estar acotadas localmente, y alrededor de cada punto deben estar acotadas por la misma constante. ${\estilo de visualización X}$${\displaystyle x_{0}\en X}$ ${\estilo de visualización A}$$estilo de visualización x_{0}}$${\estilo de visualización M>0}$$${\displaystyle |f(x)|\leq M}$$${\displaystyle x\in A}$${\displaystyle f\in U.}$

Esta definición también puede extenderse al caso en que las funciones de la familia U toman valores en algún espacio métrico, reemplazando nuevamente el valor absoluto con la función de distancia.

• La familia de funciones donde está localmente acotada. De hecho, si es un número real, se puede elegir que la vecindad sea el intervalo . Entonces, para todos en este intervalo y para todos los que se tienen con Además, la familia está uniformemente acotada , porque ni la vecindad ni la constante dependen del índice.${\displaystyle f_{n}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ $${\displaystyle f_{n}(x)={\frac {x}{n}}}$$${\displaystyle n=1,2,\ldots }$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \left(x_{0}-a,x_{0}+1\right).}$${\displaystyle x}$${\displaystyle n\geq 1}$$${\displaystyle |f_{n}(x)|\leq M}$$${\displaystyle M=1+|x_{0}|.}$${\displaystyle A}$${\displaystyle M}$${\displaystyle n.}$

• La familia de funciones está localmente acotada, si es mayor que cero. Para cualquiera se puede elegir que el entorno sea él mismo. Entonces tenemos con Nótese que el valor de no depende de la elección de x ₀ o su entorno. Esta familia no solo está localmente acotada, sino que también está uniformemente acotada.${\displaystyle f_{n}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ $${\displaystyle f_{n}(x)={\frac {1}{x^{2}+n^{2}}}}$$${\displaystyle n}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbb {R} }$$${\displaystyle |f_{n}(x)|\leq M}$$${\displaystyle M=1.}$${\displaystyle M}$${\displaystyle A.}$

• La familia de funciones no está acotada localmente. De hecho, para cualquier valor no se puede acotar ya que tiende al infinito.${\displaystyle f_{n}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ $${\displaystyle f_{n}(x)=x+n}$$${\displaystyle x}$${\displaystyle f_{n}(x)}$${\displaystyle n}$

La acotación local también puede referirse a una propiedad de los espacios vectoriales topológicos o de funciones de un espacio topológico en un espacio vectorial topológico (TVS).

Un subconjunto de un espacio vectorial topológico (TVS) se denomina acotado si para cada entorno del origen en existe un número real tal que A${\displaystyle B\subseteq X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle s>0}$$${\displaystyle B\subseteq tU\quad {\text{ for all }}t>s.}$$Un TVS acotado localmente es un TVS que posee un entorno acotado del origen. Segúnel criterio de normabilidad de Kolmogorov, esto es cierto para un espacio localmente convexo si y solo si la topología del TVS es inducida por algunaseminorma. En particular, todo TVS acotado localmente espseudometrizable.

Sea una función entre espacios vectoriales topológicos se dice que es una función localmente acotada si cada punto de tiene un vecindario cuya imagen debajo está acotada. ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$

El siguiente teorema relaciona la acotación local de funciones con la acotación local de espacios vectoriales topológicos:

Teorema. Un espacio vectorial topológico está acotado localmente si y solo si el mapa identidad está acotado localmente.${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {id} _{X}:X\to X}$

• Espacio bornológico  : espacio donde los operadores acotados son continuos
• Operador acotado  : transformación lineal entre espacios vectoriales topológicos
• Conjunto acotado (espacio vectorial topológico)  : generalización de la acotación

• Entrada de PlanetMath para Locally Bounded
• Entrada de nLab para la categoría localmente limitada