Acotación uniforme

Dejar

${\displaystyle {\mathcal {F}}=\{f_{i}:X\to \mathbb {K} ,i\in I\}}$

ser una familia de funciones indexadas por${\displaystyle I}$, dónde${\displaystyle X}$es un conjunto arbitrario y${\displaystyle \mathbb {K} }$es o bien el conjunto de reales${\displaystyle \mathbb {R} }$o números complejos${\displaystyle \mathbb {C} }$. Nosotros llamamos${\displaystyle {\mathcal {F}}}$uniformemente acotado si existe un número real${\displaystyle M>0}$de tal manera que

${\displaystyle |f_{i}(x)|\leq M\ ,\qquad \forall i\in I\ ,\quad \forall x\in X.}$

Otra forma de expresarlo sería la siguiente:

${\displaystyle \exists M>0:\quad \sup \limits _{i\in I}\sup \limits _{x\in X}|f_{i}(x)|\leq M.}$

En general, dejemos${\displaystyle Y}$ser un espacio métrico con métrica${\displaystyle d}$, entonces el conjunto

${\displaystyle {\mathcal {F}}=\{f_{i}:X\to Y,i\in I\}}$

Se denomina uniformemente acotada si existe un elemento${\displaystyle a\in Y}$y${\displaystyle M\in \mathbb {R} ^{+}}$de tal manera que

${\displaystyle d(f_{i}(x),a)\leq M\qquad \forall i\in I\quad \forall x\in X.}$

Otra forma de expresarlo sería la siguiente:

${\displaystyle \exists a\in Y\,,\exists M\in \mathbb {R} ^{+}:\quad \sup \limits _{i\in I}\sup \limits _{x\in X}d(f_{i}(x),a)\leq M.}$