Topologías de operadores

En el campo matemático del análisis funcional existen varias topologías estándar que se dan al álgebra B( X ) de operadores lineales acotados en un espacio de Banach X .

Sea una sucesión de operadores lineales en el espacio de Banach . Consideremos la afirmación de que converge a algún operador en . Esto podría tener varios significados diferentes:${\displaystyle (T_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (T_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle T}$${\displaystyle X}$

• Si , es decir, la norma del operador de (el supremo de , donde recorre la bola unitaria en ) converge a , decimos que en la topología de operador uniforme .${\displaystyle \|T_{n}-T\|\to 0}$${\displaystyle T_{n}-T}$${\displaystyle \|T_{n}x-Tx\|_{X}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle T_{n}\to T}$
• Si para todo , entonces decimos en la topología de operador fuerte .${\displaystyle T_{n}x\to Tx}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle T_{n}\to T}$
• Finalmente, supongamos que para todo tenemos en la topología débil de . Esto significa que para todos los funcionales lineales continuos en . En este caso decimos que en la topología de operador débil .${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle T_{n}x\to Tx}$${\displaystyle X}$${\displaystyle F(T_{n}x)\to F(Tx)}$${\displaystyle F}$${\displaystyle X}$${\displaystyle T_{n}\to T}$

Existen muchas topologías que pueden definirse en B( X ) además de las utilizadas anteriormente; la mayoría se definen inicialmente solo cuando X = H es un espacio de Hilbert, aunque en muchos casos existen generalizaciones apropiadas. Las topologías que se enumeran a continuación son todas localmente convexas, lo que implica que están definidas por una familia de seminormas .

En análisis, una topología se denomina fuerte si posee muchos conjuntos abiertos y débil si posee pocos, de modo que los modos de convergencia correspondientes son, respectivamente, fuerte y débil. (En topología propiamente dicha, estos términos pueden tener el significado opuesto, por lo que fuerte y débil se reemplazan por, respectivamente, fino y grueso). El diagrama de la derecha resume las relaciones, con flechas que apuntan de fuerte a débil.

Si H es un espacio de Hilbert, el espacio lineal de operadores de espacio de Hilbert B( X ) tiene un predual (único) , que consiste en los operadores de clase traza, cuyo dual es B( X ) . La seminorma p _w ( x ) para w positivo en el predual se define como B( w , x ^* x ) ^1/2 .${\displaystyle B(H)_{*}}$

Si B es un espacio vectorial de aplicaciones lineales en el espacio vectorial A , entonces σ( A , B ) se define como la topología más débil en A tal que todos los elementos de B son continuos.

• La topología de norma , o topología uniforme , o topología de operador uniforme, se define mediante la norma usual || x || en B( H ) . Es más fuerte que todas las demás topologías que se describen a continuación.
• La topología débil (de espacio de Banach) es σ(B( H ), B( H ) ^* ) , es decir, la topología más débil tal que todos los elementos del dual B( H ) ^* son continuos. Es la topología débil en el espacio de Banach B( H ) . Es más fuerte que las topologías de operador ultradébil y débil. (Advertencia: la topología débil de espacio de Banach, la topología de operador débil y la topología ultradébil a veces se denominan simplemente topología débil, pero son diferentes).
• La topología de Mackey o topología de Arens-Mackey es la topología localmente convexa más fuerte en B( H ) tal que su dual es B( H ) _* , y también es la topología de convergencia uniforme en Bσ(B( H ) _* , subconjuntos convexos compactos de B( H ) * _. Es más fuerte que todas las topologías que se mencionan a continuación .
• La topología σ-fuerte ^* o ultrafuerte ^* es la topología más débil, más fuerte que la ultrafuerte, tal que la aplicación adjunta es continua. Se define por la familia de seminormas p w ₍ x ) y p w ₍ x * ⁾ para elementos positivos w de B( H ) _* . Es más fuerte que todas las topologías que se describen a continuación.
• La topología σ-fuerte , también conocida como topología ultrafuerte , topología más fuerte o topología de operador más fuerte, se define por la familia de seminormas p _w ( x ) para elementos positivos w de B( H ) _* . Es más fuerte que todas las topologías que se describen a continuación, excepto la topología fuerte ^* . Advertencia: a pesar de su nombre, es más débil que la topología de norma.
• La topología σ-débil , también ^conocida como topología ultradébil , topología de operador débil , topología débil o topología débil , o topología σ(B( H ), B( H ) _* ), se define por la familia de seminormas |( w , x )| para los elementos w de B( H ) _* . Es más fuerte que la topología de operador débil. (Advertencia: la topología de espacio de Banach débil, la topología de operador débil y la topología ultradébil a veces se denominan simplemente topología débil, pero son diferentes).
• La topología de operador fuerte ^* o topología fuerte ^* se define por las seminormas || x ( h )|| y || x ^* ( h )|| para h ∈ H . Es más fuerte que las topologías de operador fuerte y débil.
• La topología de operador fuerte (SOT) o topología fuerte se define por las seminormas || x ( h )|| para h ∈ H . Es más fuerte que la topología de operador débil.
• La topología de operador débil (WOT) o topología débil se define por las seminormas |( x ( h ₁ ), h ₂ )| para h ₁ , h ₂ ∈ H . (Advertencia: la topología de espacio de Banach débil, la topología de operador débil y la topología ultradébil a veces se denominan topología débil, pero son diferentes).

Los funcionales lineales continuos en B( H ) para las topologías débil, fuerte y fuerte ^{* (operador) son los mismos, y son las combinaciones lineales finitas de los funcionales lineales (x} h ₁ , h ₂ ) para h ₁ , h ₂ ∈ H . Los funcionales lineales continuos en B( H ) para las topologías ultradébil, ultrafuerte, ultrafuerte ^* y Arens-Mackey son los mismos, y son los elementos del predual B( H ) _* .

Por definición, los funcionales lineales continuos en la topología de norma son los mismos que en la topología de espacio de Banach débil. Este espacio dual es bastante grande y contiene muchos elementos anómalos.

En conjuntos acotados en norma de B( H ) , las topologías débil (de operador) y ultradébil coinciden. Esto se puede observar, por ejemplo, mediante el teorema de Banach-Alaoglu . Por la misma razón, la topología ultrafuerte es igual a la topología fuerte en cualquier subconjunto acotado en norma de B( H ) . Lo mismo ocurre con la topología de Arens-Mackey, la topología ultrafuerte ^* y la topología fuerte ^{* .}

En espacios localmente convexos, el cierre de conjuntos convexos se puede caracterizar mediante funcionales lineales continuos. Por lo tanto, para un subconjunto convexo K de B( H ) , las condiciones para que K sea cerrado en las topologías ultrafuerte ^* , ultrafuerte y ultradébil son todas equivalentes y también son equivalentes a las condiciones para que, para todo r > 0 , K tenga una intersección cerrada con la bola cerrada de radio r en las topologías fuerte ^* , fuerte o débil (de operador).

La topología de norma es metrizable y las demás no; de hecho, no son primeramente numerables . Sin embargo, cuando H es separable, todas las topologías anteriores son metrizables al restringirlas a la bola unitaria (o a cualquier subconjunto acotado por la norma).

Las topologías más utilizadas son la norma, la topología de operador fuerte y la topología de operador débil. La topología de operador débil es útil para argumentos de compacidad, ya que la bola unitaria es compacta según el teorema de Banach-Alaoglu . La topología de norma es fundamental porque convierte B( H ) en un espacio de Banach, pero es demasiado fuerte para muchos propósitos; por ejemplo, B( H ) no es separable en esta topología. La topología de operador fuerte podría ser la más utilizada.

Las topologías ultradébiles y ultrafuertes se comportan mejor que las topologías de operadores débiles y fuertes, pero sus definiciones son más complejas, por lo que generalmente no se utilizan a menos que sus mejores propiedades sean realmente necesarias. Por ejemplo, el espacio dual de B( H ) en la topología de operador débil o fuerte es demasiado pequeño para tener mucho contenido analítico.

La función adjunta no es continua en las topologías de operador fuerte y ultrafuerte, mientras que las topologías fuerte* y ultrafuerte* son modificaciones que hacen que la función adjunta sea continua. No se utilizan con mucha frecuencia.

La topología de Arens-Mackey y la topología del espacio de Banach débil se utilizan con relativa poca frecuencia.

En resumen, las tres topologías esenciales en B( H ) son la norma, la ultrafuerte y la ultradébil. Las topologías de operadores débil y fuerte se utilizan ampliamente como aproximaciones convenientes a las topologías ultradébil y ultrafuerte. Las demás topologías son relativamente desconocidas.

• Operador acotado : un tipo de transformación lineal. 
• Operador lineal continuo : función entre espacios vectoriales topológicos 
• Espacio de Hilbert : un tipo de espacio vectorial en matemáticas. 
• Lista de topologías – Lista de topologías concretas y espacios topológicos 
• Modos de convergencia – Propiedad de una sucesión o serie 
• Norma (matemáticas) – Longitud en un espacio vectorial 
• Topologías en espacios de aplicaciones lineales
• Topología vaga
• Convergencia débil (espacio de Hilbert) – Tipo de convergencia en espacios de Hilbert 

• Análisis funcional , por Reed y Simon, ISBN 0-12-585050-6
• Teoría de las álgebras de operadores I , por M. Takesaki (especialmente el capítulo II.2) ISBN 3-540-42248-X