Cálculo funcional continuo

En matemáticas , particularmente en teoría de operadores y teoría de álgebra C* , el cálculo funcional continuo es un cálculo funcional que permite la aplicación de una función continua a elementos normales de un álgebra C*.

En teoría avanzada, las aplicaciones de este cálculo funcional son tan naturales que a menudo ni siquiera se mencionan. No es exagerado decir que el cálculo funcional continuo marca la diferencia entre las C*-álgebras y las álgebras de Banach generales , en las que solo existe un cálculo funcional holomorfo .

Si se quiere extender el cálculo funcional natural para polinomios en el espectro de un elemento de un álgebra de Banach a un cálculo funcional para funciones continuas en el espectro, parece obvio aproximar una función continua por polinomios según el teorema de Stone-Weierstrass , insertar el elemento en estos polinomios y mostrar que esta secuencia de elementos converge a . Las funciones continuas en se aproximan por polinomios en y , es decir, por polinomios de la forma . Aquí, denota la conjugación compleja , que es una involución en los números complejos . ^[1] Para poder insertar en lugar de en este tipo de polinomio, se consideran *-álgebras de Banach , es decir, álgebras de Banach que también tienen una involución *, y se inserta en lugar de . Para obtener un homomorfismo , es necesaria una restricción a los elementos normales, es decir, elementos con , ya que el anillo polinomial es conmutativo . Si es una sucesión de polinomios que converge uniformemente a una función continua , debe asegurarse la convergencia de la sucesión en a un elemento . Un análisis detallado de este problema de convergencia muestra que es necesario recurrir a las C*-álgebras. Estas consideraciones conducen al llamado cálculo funcional continuo. ${\displaystyle \sigma(a)}$${\estilo de visualización a}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle C(\sigma (a))}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle \sigma (a)\subconjunto \mathbb {C} }$${\estilo de visualización z}$${\displaystyle {\overline {z}}}$${\textstyle p(z,{\overline {z}})=\sum _{k,l=0}^{N}c_{k,l}z^{k}{\overline {z}}^{l}\;\left(c_{k,l}\in \mathbb {C} \right)}$${\displaystyle {\overline {z}}}$${\estilo de visualización a}$${\estilo de visualización z}$${\displaystyle a^{*}}$${\displaystyle {\overline {z}}}$ ${\displaystyle {\mathbb {C} }[z,{\overline {z}}]\rightarrow {\mathcal {A}}}$${\displaystyle a^{*}a=aa^{*}}$${\displaystyle \mathbb {C} [z,{\overline {z}}]}$${\displaystyle (p_{n}(z,{\overline {z}}))_{n}}$${\displaystyle \sigma(a)}$${\estilo de visualización f}$${\displaystyle (p_{n}(a,a^{*}))_{n}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\estilo de visualización f(a)}$

Debido a la propiedad de *-homomorfismo, las siguientes reglas de cálculo se aplican a todas las funciones y escalares : ^[4]${\displaystyle f,g\en C(\sigma (a))}$ ${\displaystyle \lambda ,\mu \in \mathbb {C} }$

Por lo tanto, podemos imaginarnos insertando los elementos normales en funciones continuas; las operaciones algebraicas obvias se comportan como se espera.

El requisito de un elemento unitario no es una restricción significativa. Si es necesario, se puede añadir un elemento unitario , obteniéndose la C*-álgebra ampliada . Entonces, si y con , se sigue que y . ^[5]${\displaystyle {\mathcal {A}}_{1}}$${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$${\displaystyle f\en C(\sigma (a))}$${\displaystyle f(0)=0}$${\displaystyle 0\en \sigma (a)}$${\displaystyle f(a)\en {\mathcal {A}}\subconjunto {\mathcal {A}}_{1}}$

La existencia y unicidad del cálculo funcional continuo se demuestran por separado:

• Existencia: Puesto que el espectro de en la subálgebra C* generada por y es el mismo que en , basta con mostrar el enunciado para . ^[6] La construcción real es casi inmediata a partir de la representación de Gelfand : basta con suponer que es el álgebra C* de funciones continuas en algún espacio compacto y definir . ^[7]${\estilo de visualización a}$ $Estilo de visualización C*(a,e)$${\estilo de visualización a}$${\estilo de visualización e}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}=C^{*}(a,e)}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\estilo de visualización X}$${\displaystyle \Phi_{a}(f)=f\circ x}$

• Unicidad: Como y son fijos, ya está definido de forma única para todos los polinomios , ya que es un *-homomorfismo. Estos forman una subálgebra densa de por el teorema de Stone-Weierstrass. Por lo tanto, es único. ^[7]${\displaystyle \Phi _{a}({\boldsymbol {1}})}$${\displaystyle \Phi _{a}(\operatorname {Id} _{\sigma (a)})}$${\displaystyle \Phi_{a}}$${\textstyle p(z,{\overline {z}})=\sum _{k,l=0}^{N}c_{k,l}z^{k}{\overline {z}}^{l}\;\left(c_{k,l}\in \mathbb {C} \right)}$${\displaystyle \Phi_{a}}$${\displaystyle C(\sigma (a))}$${\displaystyle \Phi_{a}}$

En el análisis funcional, el cálculo funcional continuo para un operador normal es a menudo de interés, es decir, el caso donde es el C*-álgebra de operadores acotados en un espacio de Hilbert . En la literatura, el cálculo funcional continuo a menudo solo se demuestra para operadores autoadjuntos en este contexto. En este caso, la prueba no necesita la representación de Gelfand. ^[8]${\estilo de visualización T}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}(H)}$ ${\estilo de visualización H}$

El cálculo funcional continuo es un isomorfismo isométrico en la subálgebra C* generada por y , es decir: ^[7]${\displaystyle \Phi_{a}}$ $Estilo de visualización C*(a,e)$${\estilo de visualización a}$${\estilo de visualización e}$

• ${\displaystyle \left\|\Phi _{a}(f)\right\|=\left\|f\right\|_{\sigma (a)}}$para todos ; es por lo tanto continua.${\displaystyle f\en C(\sigma (a))}$${\displaystyle \Phi_{a}}$
• ${\displaystyle \Phi _{a}\left(C(\sigma (a))\right)=C^{*}(a,e)\subseteq {\mathcal {A}}}$

Dado que es un elemento normal de , la subálgebra C* generada por y es conmutativa. En particular, es normal y todos los elementos de un cálculo funcional conmutan. ^[9]${\estilo de visualización a}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\estilo de visualización a}$${\estilo de visualización e}$${\estilo de visualización f(a)}$

El cálculo funcional holomórfico se extiende mediante el cálculo funcional continuo de forma inequívoca . ^[10] Por lo tanto, para polinomios el cálculo funcional continuo corresponde al cálculo funcional natural para polinomios: para todos con . ^[3]${\displaystyle p(z,{\overline {z}})}$${\textstyle \Phi _{a}(p(z,{\overline {z}}))=p(a,a^{*})=\sum _{k,l=0}^{N}c_ {k,l}a^{k}(a^{*})^{l}}$${\textstyle p(z,{\overline {z}})=\sum _{k,l=0}^{N}c_{k,l}z^{k}{\overline {z}}^{ l}}$${\displaystyle c_{k,l}\in \mathbb {C} }$

Para una secuencia de funciones que converge uniformemente a una función , converge a . ^[11] Para una serie de potencias , que converge de manera absolutamente uniforme a , por lo tanto se cumple. ^[12]${\displaystyle f_{n}\en C(\sigma (a))}$${\displaystyle \sigma(a)}$${\displaystyle f\en C(\sigma (a))}$$Estilo de visualización f_{n}(a)$${\estilo de visualización f(a)}$ ${\textstyle f(z)=\sum _ {n=0}^{\infty }c_ {n}z^{n}}$ ${\displaystyle \sigma(a)}$${\textstyle f(a)=\sum _ {n=0}^{\infty }c_ {n}a^{n}}$

Si y , entonces se cumple para su composición . ^[5] Si son dos elementos normales con y es la función inversa de en ambos y , entonces , ya que . ^[13]${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}(\sigma (a))}$${\displaystyle g\in {\mathcal {C}}(\sigma (f(a)))}$${\displaystyle (g\circ f)(a)=g(f(a))}$${\displaystyle a,b\in {\mathcal {A}}_{N}}$${\displaystyle f(a)=f(b)}$${\displaystyle g}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \sigma (a)}$${\displaystyle \sigma (b)}$${\displaystyle a=b}$${\displaystyle a=(f\circ g)(a)=f(g(a))=f(g(b))=(f\circ g)(b)=b}$

El teorema de mapeo espectral se aplica: para todo . ^[7]${\displaystyle \sigma (f(a))=f(\sigma (a))}$${\displaystyle f\in C(\sigma (a))}$

Si se cumple para , entonces también se cumple para todos los , es decir, si conmuta con , entonces también con los elementos correspondientes del cálculo funcional continuo . ^[14]${\displaystyle ab=ba}$${\displaystyle b\in {\mathcal {A}}}$${\displaystyle f(a)b=bf(a)}$${\displaystyle f\in C(\sigma (a))}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle f(a)}$

Sea un *-homomorfismo unital entre C*-álgebras y . Entonces conmuta con el cálculo funcional continuo. Se cumple lo siguiente: para todo . En particular, el cálculo funcional continuo conmuta con la representación de Gelfand . ^[4]${\displaystyle \Psi \colon {\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \Psi }$${\displaystyle \Psi (f(a))=f(\Psi (a))}$${\displaystyle f\in C(\sigma (a))}$

Con el teorema de mapeo espectral, las funciones con ciertas propiedades pueden relacionarse directamente con ciertas propiedades de elementos de C*-álgebras: ^[15]

• ${\displaystyle f(a)}$es invertible si y sólo si no tiene cero en . ^[16] Entonces se cumple. ^[17]${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \sigma (a)}$${\textstyle f(a)^{-1}={\tfrac {1}{f}}(a)}$

• ${\displaystyle f(a)}$es autoadjunto si y sólo si tiene un valor real , es decir .${\displaystyle f}$${\displaystyle f(\sigma (a))\subseteq \mathbb {R} }$
• ${\displaystyle f(a)}$es positivo ( ) si y sólo si , es decir .${\displaystyle f(a)\geq 0}$${\displaystyle f\geq 0}$${\displaystyle f(\sigma (a))\subseteq [0,\infty )}$
• ${\displaystyle f(a)}$es unitario si todos los valores de se encuentran en el grupo del círculo , es decir .${\displaystyle f}$${\displaystyle f(\sigma (a))\subseteq \mathbb {T} =\{\lambda \in \mathbb {C} \mid \left\|\lambda \right\|=1\}}$
• ${\displaystyle f(a)}$es una proyección si solo toma los valores y , es decir .${\displaystyle f}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle f(\sigma (a))\subseteq \{0,1\}}$

Estos se basan en afirmaciones sobre el espectro de ciertos elementos, que se muestran en la sección Aplicaciones.

En el caso especial que es el C*-álgebra de operadores acotados para un espacio de Hilbert , los vectores propios para el valor propio de un operador normal son también vectores propios para el valor propio del operador . Si , entonces también se cumple para todo . ^[18]${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}(H)}$${\displaystyle H}$ ${\displaystyle v\in H}$${\displaystyle \lambda \in \sigma (T)}$${\displaystyle T\in {\mathcal {B}}(H)}$${\displaystyle f(\lambda )\in \sigma (f(T))}$${\displaystyle f(T)}$${\displaystyle Tv=\lambda v}$${\displaystyle f(T)v=f(\lambda )v}$${\displaystyle f\in \sigma (T)}$

Las siguientes aplicaciones son ejemplos típicos y muy simples de las numerosas aplicaciones del cálculo funcional continuo:

Sea un álgebra C* y un elemento normal. Entonces se aplica lo siguiente al espectro : ^[15]${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{N}}$${\displaystyle \sigma (a)}$

• ${\displaystyle a}$es autoadjunto si y sólo si .${\displaystyle \sigma (a)\subseteq \mathbb {R} }$
• ${\displaystyle a}$es unitario si y sólo si .${\displaystyle \sigma (a)\subseteq \mathbb {T} =\{\lambda \in \mathbb {C} \mid \left\|\lambda \right\|=1\}}$
• ${\displaystyle a}$es una proyección si y sólo si .${\displaystyle \sigma (a)\subseteq \{0,1\}}$

Demostración. ^[3] El cálculo funcional continuo para el elemento normal es un *-homomorfismo con y por lo tanto es autoadjunto/unitario/una proyección si es también autoadjunto/unitario/una proyección. Exactamente entonces es autoadjunto si se cumple para todo , es decir, si es real. Exactamente entonces es unitario si se cumple para todo , por lo tanto . Exactamente entonces es una proyección si y solo si , es decir, para todo , es decir,${\displaystyle \Phi _{a}}$${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$${\displaystyle \Phi _{a}(\operatorname {Id} )=a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \operatorname {Id} \in C(\sigma (a))}$${\displaystyle \operatorname {Id} }$${\displaystyle z={\text{Id}}(z)={\overline {\text{Id}}}(z)={\overline {z}}}$${\displaystyle z\in \sigma (a)}$${\displaystyle \sigma (a)}$${\displaystyle {\text{Id}}}$${\displaystyle 1={\text{Id}}(z){\overline {\operatorname {Id} }}(z)=z{\overline {z}}=|z|^{2}}$${\displaystyle z\in \sigma (a)}$${\displaystyle \sigma (a)\subseteq \{\lambda \in \mathbb {C} \ |\ \left\|\lambda \right\|=1\}}$${\displaystyle {\text{Id}}}$${\displaystyle (\operatorname {Id} (z))^{2}=\operatorname {Id} }(z)={\overline {\operatorname {Id} (z)}}$${\displaystyle z^{2}=z={\overline {z}}}$${\displaystyle z\in \sigma (a)}$${\displaystyle \sigma (a)\subseteq \{0,1\}}$

Sea un elemento positivo de un C*-álgebra . Entonces para cada existe un elemento positivo determinado de manera única con , es decir, una raíz -ésima única . ^[19]${\displaystyle a}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle b\in {\mathcal {A}}_{+}}$${\displaystyle b^{n}=a}$${\displaystyle n}$

Demostración. Para cada , la función raíz es una función continua en . Si se define utilizando el cálculo funcional continuo, entonces se deduce de las propiedades del cálculo. Del teorema de mapeo espectral se deduce , es decir, es positivo. ^[19] Si es otro elemento positivo con , entonces se cumple, ya que la función raíz en los números reales positivos es una función inversa a la función . ^[13]${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle f_{n}\colon \mathbb {R} _{0}^{+}\to \mathbb {R} _{0}^{+},x\mapsto {\sqrt[{n}]{x}}}$${\displaystyle \sigma (a)\subseteq \mathbb {R} _{0}^{+}}$${\displaystyle b\;\colon =f_{n}(a)}$${\displaystyle b^{n}=(f_{n}(a))^{n}=(f_{n}^{n})(a)=\operatorname {Id} _{\sigma (a)}(a)=a}$${\displaystyle \sigma (b)=\sigma (f_{n}(a))=f_{n}(\sigma (a))\subseteq [0,\infty )}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c\in {\mathcal {A}}_{+}}$${\displaystyle c^{n}=a=b^{n}}$${\displaystyle c=f_{n}(c^{n})=f_{n}(b^{n})=b}$${\displaystyle z\mapsto z^{n}}$

Si es un elemento autoadjunto, entonces al menos para cada impar hay un elemento autoadjunto determinado de forma única con . ^[20]${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{sa}}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle b\in {\mathcal {A}}_{sa}}$${\displaystyle b^{n}=a}$

De manera similar, para un elemento positivo de un C*-álgebra , cada uno define un elemento positivo determinado de manera única de , tal que se cumple para todo . Si es invertible, esto también se puede extender a valores negativos de . ^[19]${\displaystyle a}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle \alpha \geq 0}$${\displaystyle a^{\alpha }}$${\displaystyle C^{*}(a)}$${\displaystyle a^{\alpha }a^{\beta }=a^{\alpha +\beta }}$${\displaystyle \alpha ,\beta \geq 0}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \alpha }$

Si , entonces el elemento es positivo, de modo que el valor absoluto puede definirse mediante el cálculo funcional continuo , ya que es continuo en los números reales positivos. ^[21]${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$${\displaystyle a^{*}a}$${\displaystyle |a|={\sqrt {a^{*}a}}}$

Sea un elemento autoadjunto de un C*-álgebra , entonces existen elementos positivos , tales que con se cumple. Los elementos y también se denominan partes positiva y negativa . ^[22] Además, se cumple. ^[23]${\displaystyle a}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle a_{+},a_{-}\in {\mathcal {A}}_{+}}$${\displaystyle a=a_{+}-a_{-}}$${\displaystyle a_{+}a_{-}=a_{-}a_{+}=0}$${\displaystyle a_{+}}$${\displaystyle a_{-}}$${\displaystyle |a|=a_{+}+a_{-}}$

Demostración. Las funciones y son funciones continuas en con y . Supongamos que y . De acuerdo con el teorema de mapeo espectral, y son elementos positivos para los cuales y se cumple. ^[22] Además, , tal que se cumple. ^[23]${\displaystyle f_{+}(z)=\max(z,0)}$${\displaystyle f_{-}(z)=-\min(z,0)}$${\displaystyle \sigma (a)\subseteq \mathbb {R} }$${\displaystyle \operatorname {Id} (z)=z=f_{+}(z)-f_{-}(z)}$${\displaystyle f_{+}(z)f_{-}(z)=f_{-}(z)f_{+}(z)=0}$${\displaystyle a_{+}=f_{+}(a)}$${\displaystyle a_{-}=f_{-}(a)}$${\displaystyle a_{+}}$${\displaystyle a_{-}}$${\displaystyle a=\operatorname {Id} (a)=(f_{+}-f_{-})(a)=f_{+}(a)-f_{-}(a)=a_{+}-a_{-}}$${\displaystyle a_{+}a_{-}=f_{+}(a)f_{-}(a)=(f_{+}f_{-})(a)=0=(f_{-}f_{+})(a)=f_{-}(a)f_{+}(a)=a_{-}a_{+}}$ ${\textstyle f_{+}(z)+f_{-}(z)=|z|={\sqrt {z^{*}z}}={\sqrt {z^{2}}}}$${\textstyle a_{+}+a_{-}=f_{+}(a)+f_{-}(a)=|a|={\sqrt {a^{*}a}}={\sqrt {a^{2}}}}$

Si es un elemento autoadjunto de un C*-álgebra con elemento unidad , entonces es unitario, donde denota la unidad imaginaria . Por el contrario, si es un elemento unitario, con la restricción de que el espectro es un subconjunto propio del círculo unidad, es decir , existe un elemento autoadjunto con . ^[24]${\displaystyle a}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle e}$${\displaystyle u=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} a}}$${\displaystyle \mathrm {i} }$${\displaystyle u\in {\mathcal {A}}_{U}}$${\displaystyle \sigma (u)\subsetneq \mathbb {T} }$${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{sa}}$${\displaystyle u=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} a}}$

Demostración. ^[24] Es con , ya que es autoadjunto, se sigue que , ie es una función en el espectro de . Como , utilizando el cálculo funcional se sigue, ie es unitario. Como para el otro enunciado hay un , tal que la función es una función continua de valor real en el espectro para , tal que es un elemento autoadjunto que satisface .${\displaystyle u=f(a)}$${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C} ,\ x\mapsto \mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \sigma (a)\subset \mathbb {R} }$${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$${\displaystyle f\cdot {\overline {f}}={\overline {f}}\cdot f=1}$${\displaystyle uu^{*}=u^{*}u=e}$${\displaystyle u}$${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {T} }$${\displaystyle \sigma (u)\subseteq \{\mathrm {e} ^{\mathrm {i} z}\mid z_{0}\leq z\leq z_{0}+2\pi \}}$${\displaystyle f(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} z})=z}$${\displaystyle \sigma (u)}$${\displaystyle z_{0}\leq z\leq z_{0}+2\pi }$${\displaystyle a=f(u)}$${\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathrm {i} a}=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} f(u)}=u}$

Sea una C*-álgebra unital y un elemento normal. Sea el espectro formado por subconjuntos cerrados disjuntos por pares para todos los , es decir . Entonces existen proyecciones que tienen las siguientes propiedades para todos los : ^[25]${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{N}}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \sigma _{k}\subset \mathbb {C} }$${\displaystyle 1\leq k\leq n}$${\displaystyle \sigma (a)=\sigma _{1}\sqcup \cdots \sqcup \sigma _{n}}$${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n}\in {\mathcal {A}}}$${\displaystyle 1\leq j,k\leq n}$

• Para el espectro, se mantiene.${\displaystyle \sigma (p_{k})=\sigma _{k}}$
• Las proyecciones conmutan con , es decir .${\displaystyle a}$${\displaystyle p_{k}a=ap_{k}}$
• Las proyecciones son ortogonales , es decir .${\displaystyle p_{j}p_{k}=\delta _{jk}p_{k}}$
• La suma de las proyecciones es el elemento unitario, es decir .${\textstyle \sum _{k=1}^{n}p_{k}=e}$

En particular, hay una descomposición para la cual se cumple para todo .${\textstyle a=\sum _{k=1}^{n}a_{k}}$${\displaystyle \sigma (a_{k})=\sigma _{k}}$${\displaystyle 1\leq k\leq n}$

Demostración. ^[25] Como todas son cerradas, las funciones características son continuas en . Ahora sea definida usando la funcional continua. Como las son disjuntas por pares, y se cumple y por lo tanto satisfacen las propiedades reclamadas, como se puede ver a partir de las propiedades de la ecuación funcional continua. Para el último enunciado, sea .${\displaystyle \sigma _{k}}$ ${\displaystyle \chi _{\sigma _{k}}}$${\displaystyle \sigma (a)}$${\displaystyle p_{k}:=\chi _{\sigma _{k}}(a)}$${\displaystyle \sigma _{k}}$${\displaystyle \chi _{\sigma _{j}}\chi _{\sigma _{k}}=\delta _{jk}\chi _{\sigma _{k}}}$${\textstyle \sum _{k=1}^{n}\chi _{\sigma _{k}}=\chi _{\cup _{k=1}^{n}\sigma _{k}}=\chi _{\sigma (a)}={\textbf {1}}}$${\displaystyle p_{k}}$${\displaystyle a_{k}=ap_{k}=\operatorname {Id} (a)\cdot \chi _{\sigma _{k}}(a)=(\operatorname {Id} \cdot \chi _{\sigma _{k}})(a)}$

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• Cálculo funcional continuo en PlanetMath