Elemento positivo

En matemáticas , un elemento de un *-álgebra se llama positivo si es la suma de elementos de la forma . ^[1]${\displaystyle a^{*}a}$

Sea una *-álgebra. Un elemento se llama positivo si hay un número finito de elementos , por lo que se cumple. ^[1] Esto también se denota por . ^[2]${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$${\displaystyle a_{k}\in {\mathcal {A}}\;(k=1,2,\ldots ,n)}$${\textstyle a=\sum _ {k=1}^{n}a_ {k}^{*}a_ {k}}$ ${\displaystyle a\geq 0}$

El conjunto de elementos positivos se denota por .${\displaystyle {\mathcal {A}}_{+}}$

Un caso especial de particular importancia es el caso donde es un *-álgebra normada completa , que satisface la C*-identidad ( ), que se llama un C*-álgebra . ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle \left\|a^{*}a\right\|=\left\|a\right\|^{2}\ \para todo a\en {\mathcal {A}}}$

• El elemento unidad de un *-álgebra unital es positivo.${\estilo de visualización e}$
• Para cada elemento , los elementos y son positivos por definición. ^[1]${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$${\displaystyle a^{*}a}$${\estilo de visualización aa^{*}}$

En el caso de que sea un C*-álgebra, se cumple lo siguiente: ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

• Sea un elemento normal , entonces para cada función positiva que sea continua en el espectro del cálculo funcional continuo se define un elemento positivo . ^[3]${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{N}}$ ${\displaystyle f\geq 0}$${\estilo de visualización a}$${\estilo de visualización f(a)}$
• Toda proyección , es decir, todo elemento para el que se cumple , es positiva. Para el espectro de un elemento idempotente de este tipo , se cumple , como se puede ver a partir del cálculo funcional continuo. ^[3]${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$${\displaystyle a=a^{*}=a^{2}}$${\displaystyle \sigma(a)}$${\displaystyle \sigma(a)\subseteq \{0,1\}}$

Sea una C*-álgebra y . Entonces las siguientes son equivalentes: ^[4]${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$

• Porque el espectro se cumple y es un elemento normal.${\displaystyle \sigma (a)\subseteq [0,\infty )}$${\estilo de visualización a}$
• Existe un elemento , tal que .${\displaystyle b\in {\mathcal {A}}}$${\displaystyle a=bb^{*}}$
• Existe un elemento autoadjunto (único) tal que .${\displaystyle c\in {\mathcal {A}}_{sa}}$${\displaystyle a=c^{2}}$

Si es una *-álgebra unitaria con elemento unidad , entonces además las siguientes afirmaciones son equivalentes: ^[5]${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\estilo de visualización e}$

• ${\displaystyle \izquierda\|te-a\derecha\|\leq t}$para cada y es un elemento autoadjunto.${\displaystyle t\geq \izquierda\|a\derecha\|}$${\estilo de visualización a}$
• ${\displaystyle \izquierda\|te-a\derecha\|\leq t}$Para algunos es un elemento autoadjunto.${\displaystyle t\geq \izquierda\|a\derecha\|}$${\estilo de visualización a}$

Sea una *-álgebra. Entonces: ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

• Si es un elemento positivo, entonces es autoadjunto. ^[6]${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{+}}$${\estilo de visualización a}$
• El conjunto de elementos positivos es un cono convexo en el espacio vectorial real de los elementos autoadjuntos . Esto significa que se cumple para todos y . ^[6]${\displaystyle {\mathcal {A}}_{+}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}_{sa}}$${\displaystyle \alpha a,a+b\in {\mathcal {A}}_{+}}$${\displaystyle a,b\in {\mathcal {A}}}$${\displaystyle \alpha \in [0,\infty )}$
• Si es un elemento positivo, entonces también es positivo para cada elemento . ^[7]${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{+}}$$Estilo de visualización b^{*}ab$${\displaystyle b\in {\mathcal {A}}}$
• Para el intervalo lineal de lo siguiente se cumple: y . ^[8]${\displaystyle {\mathcal {A}}_{+}}$${\displaystyle \langle {\mathcal {A}}_{+}\rangle ={\mathcal {A}}^{2}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}_{+}-{\mathcal {A}}_{+}={\mathcal {A}}_{sa}\cap {\mathcal {A}}^{2}}$

Sea una C*-álgebra. Entonces: ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

• Utilizando el cálculo funcional continuo, para cada y existe un determinado de forma única que satisface , es decir, una raíz -ésima única . En particular, existe una raíz cuadrada para cada elemento positivo. Dado que para cada el elemento es positivo, esto permite la definición de un valor absoluto único : . ^[9]${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{+}}$${\displaystyle n\in \mathbb {N}}$${\displaystyle b\in {\mathcal {A}}_{+}}$$Estilo de visualización b^{n}=a$${\estilo de visualización n}$${\displaystyle b\in {\mathcal {A}}}$$Estilo de visualización b^{*}b$${\textstyle |b|=(b^{*}b)^{\frac {1}{2}}}$
• Para cada número real existe un elemento positivo para el cual se cumple para todo . La aplicación es continua. Los valores negativos para también son posibles para elementos invertibles . ^[7]${\displaystyle \alpha \geq 0}$${\displaystyle a^{\alpha }\in {\mathcal {A}}_{+}}$${\displaystyle a^{\alpha }a^{\beta }=a^{\alpha +\beta }}$${\displaystyle \beta \en [0,\infty )}$${\displaystyle \alpha \mapsto a^{\alpha }}$${\estilo de visualización \alpha}$ ${\estilo de visualización a}$
• Los productos de elementos positivos conmutativos también son positivos. Por lo tanto, si se cumple para , entonces . ^[5]${\displaystyle ab=ba}$${\displaystyle a,b\in {\mathcal {A}}_{+}}$${\displaystyle ab\in {\mathcal {A}}_{+}}$
• Cada elemento puede representarse de forma única como una combinación lineal de cuatro elementos positivos. Para ello, primero se descompone en las partes reales e imaginarias autoadjuntas y estas se descomponen luego en partes positivas y negativas utilizando el cálculo funcional continuo . ^[10] Porque se cumple que , ya que . ^[8]${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$${\estilo de visualización a}$${\displaystyle {\mathcal {A}}_{sa}={\mathcal {A}}_{+}-{\mathcal {A}}_{+}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}^{2}={\mathcal {A}}}$
• Si tanto y son positivos se cumple. ^[5]${\estilo de visualización a}$${\estilo de visualización -a}$${\displaystyle a=0}$
• Si es una C*-subálgebra de , entonces . ^[5]${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}_{+}={\mathcal {B}}\cap {\mathcal {A}}_{+}}$
• Si es otra C*-álgebra y es un *-homomorfismo de a , entonces se cumple. ^[11]${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\estilo de visualización \Phi}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \Phi({\mathcal {A}}_{+})=\Phi({\mathcal {A}})\cap {\mathcal {B}}_{+}}$
• Si son elementos positivos para los cuales , conmutan y se cumplen. Dichos elementos se denominan ortogonales y se escriben . ^[12]${\displaystyle a,b\in {\mathcal {A}}_{+}}$${\displaystyle ab=0}$${\displaystyle \izquierda\|a+b\derecha\|=\max(\izquierda\|a\derecha\|,\izquierda\|b\derecha\|)}$${\estilo de visualización a\bot b}$

Sea una *-álgebra. La propiedad de ser un elemento positivo define un orden parcial invariante de traslación en el conjunto de elementos autoadjuntos . Si se cumple para , se escribe o . ^[13]${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{sa}}$${\displaystyle ba\in {\mathcal {A}}_{+}}$${\displaystyle a,b\in {\mathcal {A}}}$${\estilo de visualización a\leq b}$${\displaystyle b\geq a}$

Este orden parcial cumple las propiedades y para todos con y . ^[8]${\displaystyle ta\leq tb}$${\displaystyle a+c\leq b+c}$${\displaystyle a,b,c\in {\mathcal {A}}_{sa}}$${\estilo de visualización a\leq b}$${\displaystyle t\in [0,\infty )}$

Si es un C*-álgebra, el orden parcial también tiene las siguientes propiedades para : ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle a,b\in {\mathcal {A}}}$

• Si se cumple, entonces es cierto para cada . Para cada que conmuta con y se cumple. ^[14]${\estilo de visualización a\leq b}$${\displaystyle c^{*}ac\leq c^{*}bc}$${\displaystyle c\in {\mathcal {A}}}$${\displaystyle c\in {\mathcal {A}}_{+}}$${\estilo de visualización a}$${\estilo de visualización b}$$Estilo de visualización ac\leq bc$
• Si se cumple, entonces . ^[15]${\displaystyle -b\leq a\leq b}$${\displaystyle \izquierda\|a\derecha\|\leq \izquierda\|b\derecha\|}$
• Si se cumple, entonces se cumple para todos los números reales . ^[16]${\displaystyle 0\leq a\leq b}$${\textstyle a^{\alpha }\leq b^{\alpha }}$${\displaystyle 0<\alpha \leq 1}$
• Si es invertible y se cumple, entonces es invertible y para las inversas se cumple. ^[15]${\estilo de visualización a}$${\displaystyle 0\leq a\leq b}$${\estilo de visualización b}$$estilo de visualización b-1$

• Matriz no negativa
• Operador positivo (espacio de Hilbert)