Elemento unitario

En matemáticas , un elemento de un *-álgebra se llama unitario si es invertible y su elemento inverso es igual a su elemento adjunto. ^{[ 1 ]}

Dejar${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ser un *-álgebra con unidad${\displaystyle e}$. Un elemento${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$se llama unitario si${\displaystyle aa^{*}=a^{*}a=e}$. En otras palabras, si${\displaystyle a}$es invertible y${\displaystyle a^{-1}=a^{*}}$sostiene, entonces${\displaystyle a}$es unitario. ^{[ 1 ]}

El conjunto de elementos unitarios se denota por${\displaystyle {\mathcal {A}}_{U}}$o${\displaystyle U({\mathcal {A}})}$.

Un caso especial de particular importancia es el caso en el que${\displaystyle {\mathcal {A}}}$es un *-álgebra normada completa . Esta álgebra satisface la identidad C* (${\displaystyle \left\|a^{*}a\right\|=\left\|a\right\|^{2}\ \forall a\in {\mathcal {A}}}$) y se denomina álgebra C* .

• Dejar${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ser un álgebra C* unitaria y${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{N}}$un elemento normal . Entonces,${\displaystyle a}$es unitario si el espectro${\displaystyle \sigma (a)}$consta únicamente de elementos del grupo circular.${\displaystyle \mathbb {T} }$, es decir${\displaystyle \sigma (a)\subseteq \mathbb {T} =\{\lambda \in \mathbb {C} \mid |\lambda |=1\}}$. ^{[ 2 ]}

• La unidad${\displaystyle e}$es unitario. ^{[ 3 ]}

Dejar${\displaystyle {\mathcal {A}}}$Si se trata de un álgebra C* unitaria, entonces:

• Cada proyección , es decir, cada elemento${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$con${\displaystyle a=a^{*}=a^{2}}$, es unitario. Porque el espectro de una proyección consta de como máximo${\displaystyle 0}$y${\displaystyle 1}$, como se deduce del cálculo funcional continuo . ^{[ 4 ]}
• Si${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{N}}$es un elemento normal de un álgebra C*${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, entonces para cada función continua${\displaystyle f}$en el espectro${\displaystyle \sigma (a)}$El cálculo funcional continuo define un elemento unitario.${\displaystyle f(a)}$, si${\displaystyle f(\sigma (a))\subseteq \mathbb {T} }$. ^{[ 2 ]}

Dejar${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ser un álgebra * unitaria y${\displaystyle a,b\in {\mathcal {A}}_{U}}$. Entonces:

• El elemento${\displaystyle ab}$es unitario, ya que${\textstyle ((ab)^{*})^{-1}=(b^{*}a^{*})^{-1}=(a^{*})^{-1}(b^{*})^{-1}=ab}$. En particular,${\displaystyle {\mathcal {A}}_{U}}$forma un grupo multiplicativo . ^{[ 1 ]}
• El elemento${\displaystyle a}$es normal. ^{[ 3 ]}
• El elemento adjunto${\displaystyle a^{*}}$también es unitario, ya que${\displaystyle a=(a^{*})^{*}}$se cumple para la involución *. ^{[ 1 ]}
• Si${\displaystyle {\mathcal {A}}}$es un álgebra C*,${\displaystyle a}$tiene norma 1, es decir${\displaystyle \left\|a\right\|=1}$. ^{[ 5 ]}

• Matriz unitaria
• Operador unitario

• Blackadar, Bruce (2006). Álgebras de operadores. Teoría de las C*-álgebras y las álgebras de von Neumann . Berlín/Heidelberg: Springer. pp.  57, 63. ISBN 3-540-28486-9.
• Dixmier, Jacques (1977). Álgebras C* . Traducido por Jellett, Francis. Ámsterdam/Nueva York/Oxford: North-Holland. ISBN 0-7204-0762-1.Traducción al inglés de Les C*-algèbres et leurs représentations (en francés). Gauthier-Villars. 1969.
• Kadison, Richard V.; Ringrose, John R. (1983). Fundamentos de la teoría de las álgebras de operadores . Volumen 1: Teoría elemental . Nueva York/Londres: Academic Press. ISBN 0-12-393301-3.