Subálgebra

En matemáticas , una subálgebra es un subconjunto de un álgebra , cerrado en todas sus operaciones y que lleva consigo las operaciones inducidas.

" Álgebra ", cuando se refiere a una estructura, a menudo significa un espacio vectorial o un módulo equipado con una operación bilineal adicional. Las álgebras en el álgebra universal son mucho más generales: son una generalización común de todas las estructuras algebraicas . "Subálgebra" puede referirse a cualquiera de los dos casos.

Una subálgebra de un álgebra sobre un anillo o cuerpo conmutativo es un subespacio vectorial que está cerrado bajo la multiplicación de vectores. La restricción de la multiplicación del álgebra la convierte en un álgebra sobre el mismo anillo o cuerpo. Esta noción también se aplica a la mayoría de las especializaciones, donde la multiplicación debe satisfacer propiedades adicionales, por ejemplo, a las álgebras asociativas o a las álgebras de Lie . Solo para las álgebras unitarias existe una noción más fuerte, la de subálgebra unitaria , para la cual también se requiere que la unidad de la subálgebra sea la unidad del álgebra mayor.

Las matrices 2×2 sobre los números reales R forman un álgebra unital de cuatro dimensiones M(2, R ) de la manera obvia. Las matrices 2×2 para las que todas las entradas son cero, excepto la primera en la diagonal, forman un subálgebra. También es unital, pero no es un subálgebra unital.

El elemento identidad de M(2, R ) es la matriz identidad I , por lo que las subálgebras unitarias contienen la línea de matrices diagonales { x I : x en R }. Para subálgebras bidimensionales, considere

${\displaystyle E^{2}={\begin{pmatrix}a&c\\b&-a\end{pmatrix}}^{2}={\begin{pmatrix}a^{2}+bc&0\\0&bc+a^{2}\end{pmatrix}}=pI\ \ {\text{donde}}\ \ p=a^{2}+bc.}$

Cuando p = 0, entonces E es nilpotente y la subálgebra { x I + y E : x, y en R } es una copia del plano de números duales . Cuando p es negativo, tome q = 1/√− p , de modo que ( q E) ² = − I, y la subálgebra { x I + y ( q E) : x, y en R } es una copia del plano complejo . Finalmente, cuando p es positivo, tome q = 1/√ p , de modo que ( q E) ² = I, y la subálgebra { x I + y ( q E) : x, y en R } es una copia del plano de números complejos desdoblados .

En álgebra universal , una subálgebra de un álgebra A es un subconjunto S de A que también tiene la estructura de un álgebra del mismo tipo cuando las operaciones algebraicas están restringidas a S. Si los axiomas de un tipo de estructura algebraica se describen mediante leyes ecuacionales , como suele ser el caso en álgebra universal, entonces lo único que se necesita comprobar es que S esté cerrado bajo las operaciones.

Algunos autores consideran álgebras con funciones parciales . Existen diversas formas de definir subálgebras para estas. Otra generalización de las álgebras es permitir relaciones. Estas álgebras más generales suelen denominarse estructuras y se estudian en la teoría de modelos y en la informática teórica . Para las estructuras con relaciones existen nociones de subestructuras débiles y de subestructuras inducidas .

Por ejemplo, la signatura estándar para grupos en álgebra universal es (•, ⁻¹ , 1) . (Se necesitan inversión y unidad para obtener las nociones correctas de homomorfismo y para que las leyes de grupo se puedan expresar como ecuaciones). Por lo tanto, un subgrupo de un grupo G es un subconjunto S de G tal que:

• la identidad e de G pertenece a S (por lo que S está cerrado bajo la operación de constante de identidad);
• siempre que x pertenece a S , también lo pertenece x ⁻¹ (de modo que S está cerrado bajo la operación inversa);
• siempre que x e y pertenecen a S , también lo hace x • y (de modo que S está cerrado bajo la operación de multiplicación del grupo).

• Bourbaki, Nicolas (1989), Elementos de matemáticas, Álgebra I , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-64243-5
• Burris, Stanley N.; Sankappanavar, HP (1981), Un curso de álgebra universal, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag