Cálculo funcional holomorfo

En esta sección se asumirá que T es una matriz n  × n con entradas complejas. 

Si una función dada f es de cierto tipo especial, existen formas naturales de definir f ( T ). Por ejemplo, si

${\displaystyle p(z)=\sum _{i=0}^{m}a_{i}z^{i}}$

es un polinomio complejo , uno puede simplemente sustituir T por z y definir

${\displaystyle p(T)=\sum _{i=0}^{m}a_{i}T^{i}}$

donde T ⁰ = I , la matriz identidad . Este es el cálculo funcional polinomial . Es un homomorfismo del anillo de polinomios al anillo de matrices n × n .

Extendiendo ligeramente a partir de los polinomios, si f  : C → C es holomorfa en todas partes, es decir, una función entera , con serie de MacLaurin

${\displaystyle f(z)=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}z^{i},}$

La imitación del caso polinomial sugiere que definamos

${\displaystyle f(T)=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}T^{i}.}$

Dado que la serie de Maclaurin converge en todas partes, la serie anterior convergerá en una norma de operador elegida . Un ejemplo de esto es la exponencial de una matriz. Reemplazando z por T en la serie de Maclaurin de f ( z ) = e ^z se obtiene

${\displaystyle f(T)=e^{T}=I+T+{\frac {T^{2}}{2!}}+{\frac {T^{3}}{3!}}+\cdots .}$

El requisito de que la serie de Maclaurin de f converja en todas partes puede relajarse un poco. De lo anterior es evidente que todo lo que realmente se necesita es que el radio de convergencia de la serie de Maclaurin sea mayor que ǁ T ǁ, la norma del operador de T. Esto amplía un poco la familia de f para la cual f ( T ) puede definirse utilizando el enfoque anterior. Sin embargo, no es del todo satisfactorio. Por ejemplo, es un hecho de la teoría de matrices que todo T no singular tiene un logaritmo S en el sentido de que e ^S = T . Es deseable tener un cálculo funcional que permita definir, para un T no singular , ln( T ) tal que coincida con S . Esto no se puede hacer mediante series de potencias , por ejemplo la serie logarítmica.

${\displaystyle \ln(z+1)=z-{\frac {z^{2}}{2}}+{\frac {z^{3}}{3}}-\cdots ,}$

converge únicamente en el disco unitario abierto . Sustituir T por z en la serie no da una expresión bien definida para ln( T  + I ) para T + I invertible con ǁ T ǁ ≥ 1. Por lo tanto, se necesita un cálculo funcional más general.   

Se espera que una condición necesaria para que f ( T ) tenga sentido sea que f esté definida en el espectro de T. Por ejemplo, el teorema espectral para matrices normales establece que toda matriz normal es diagonalizable unitariamente. Esto lleva a una definición de f ( T ) cuando T es normal. Se presentan dificultades si f (λ) no está definida para algún valor propio λ de T.

Otras indicaciones también refuerzan la idea de que f ( T ) solo puede definirse si f está definida en el espectro de T. Si T no es invertible, entonces (recordando que T es una matriz nxn) 0 es un valor propio. Dado que el logaritmo natural no está definido en 0, cabría esperar que ln( T ) no pueda definirse de forma natural. Este es, en efecto, el caso. Como otro ejemplo, para

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{(z-2)(z-5)}}}$

La forma razonable de calcular f ( T ) parece ser

${\displaystyle f(T)=(T-2I)^{-1}(T-5I)^{-1}.\,}$

Sin embargo , esta expresión no está definida si los inversos del lado derecho no existen, es decir, si 2 o 5 son valores propios de T.

Para una matriz T dada , los autovalores de T determinan hasta qué punto se puede definir f ( T ); es decir, f (λ) debe estar definida para todos los autovalores λ de T. Para un operador acotado general, esta condición se traduce en " f debe estar definida en el espectro de T ". Esta suposición resulta ser una condición que permite que la aplicación del cálculo funcional, f → f ( T ), posea ciertas propiedades deseables.

Cf. integral de Bochner

Para una función continua g definida en un entorno abierto de Γ y que toma valores en L ( X ), la integral de contorno ∫ _Γ g se define de la misma manera que para el caso escalar. Se puede parametrizar cada γ _i ∈ Γ mediante un intervalo real [ a , b ], y la integral es el límite de las sumas de Riemann obtenidas a partir de particiones cada vez más finas de [ a , b ]. Las sumas de Riemann convergen en la topología de operador uniforme . Definimos

${\displaystyle \int _{\Gamma }g=\sum \nolimits _{i}\int _{\gamma _{i}}g.}$

En la definición del cálculo funcional, se supone que f es holomorfa en un entorno abierto de Γ. Se demostrará más adelante que la aplicación resolvente es holomorfa en el conjunto resolvente . Por lo tanto, la integral

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma }{\frac {f(\zeta )}{\zeta -T}}\,d\zeta }$

Tiene sentido.

La aplicación ζ → (ζ− T ) ⁻¹ se llama la aplicación resolvente de T . Está definida en el complemento de σ( T ), llamado conjunto resolvente de T y se denotará por ρ( T ).

Gran parte de la teoría clásica de funciones depende de las propiedades de la integral.

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma }{\frac {d\zeta }{\zeta -z}}.}$

El cálculo funcional holomorfo es similar en el sentido de que la función resolvente desempeña un papel crucial para obtener las propiedades requeridas de un buen cálculo funcional. Esta subsección describe las propiedades de la función resolvente que son esenciales en este contexto.

La discusión anterior ha demostrado que la integral tiene sentido, es decir, existe una colección Γ adecuada de curvas de Jordan para cada f y la integral converge en el sentido apropiado. Lo que no se ha demostrado es que la definición del cálculo funcional sea inequívoca, es decir, que no dependa de la elección de Γ. Este problema es el que intentaremos resolver ahora.

Hasta ahora no se ha aprovechado todo el potencial de esta suposición. Para la convergencia de la integral, solo se utilizó la continuidad. Para la buena definición, bastaba con que f fuera holomorfa en un conjunto abierto U que contuviera los contornos Γ ∪ Ω′, pero no necesariamente σ( T ). Esta suposición se aplicará en su totalidad para demostrar la propiedad de homomorfismo del cálculo funcional.

La linealidad del mapeo f ↦ f ( T ) se deduce de la convergencia de la integral y de que las operaciones lineales en un espacio de Banach son continuas.

Recuperamos el cálculo funcional polinomial cuando f ( z ) = Σ _{0 ≤ i ≤ m} a _i z ⁱ es un polinomio. Para demostrar esto, basta con mostrar que, para k ≥ 0 y f ( z ) = z ^k , es cierto que f ( T ) = T ^k , es decir

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma }{\frac {\zeta ^{k}}{\zeta -T}}\,d\zeta =T^{k}}$

para cualquier Γ adecuado que encierre σ( T ). Elija Γ como un círculo de radio mayor que la norma del operador de T . Como se indicó anteriormente, en dicho Γ, la aplicación resolvente admite una representación en serie de potencias

${\displaystyle (z-T)^{-1}={\frac {1}{z}}\sum _{n\geq 0}\left({\frac {T}{z}}\right)^{n}.}$

Sustituyendo da

${\displaystyle f(T)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma }\left(\sum _{n\geq 0}{\frac {T^{n}}{\zeta ^{n+1-k}}}\right)\,d\zeta }$

que es

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}T^{n}\cdot {\frac {1}{2\pi i}}\left(\int _{\Gamma }{\frac {d\zeta }{\zeta ^{n+1-k}}}\right)=\sum _{n\geq 0}T^{n}\cdot \delta _{nk}=T^{k}.}$

La δ es el símbolo de la delta de Kronecker.

Para cualesquiera f ₁ y f ₂ que satisfagan las suposiciones apropiadas, la propiedad de homomorfismo establece:

${\displaystyle f_{1}(T)f_{2}(T)=(f_{1}\cdot f_{2})(T).\,}$

Esbozamos un argumento que invoca la primera fórmula resolvente y las suposiciones impuestas a f . Primero elegimos las curvas de Jordan de tal manera que Γ ₁ se encuentre dentro de Γ _2. La razón de esto quedará clara más adelante. Comencemos calculando directamente

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{1}(T)f_{2}(T)&=\left({\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma _{1}}{\frac {f_{1}(\zeta )}{\zeta -T}}d\zeta \right)\left({\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma _{2}}{\frac {f_{2}(\omega )}{\omega -T}}\,d\omega \right)\\&={\frac {1}{(2\pi i)^{2}}}\int _{\Gamma _{1}}\int _{\Gamma _{2}}{\frac {f_{1}(\zeta )f_{2}(\omega )}{(\zeta -T)(\omega -T)}}\;d\omega \,d\zeta \\&={\frac {1}{(2\pi i)^{2}}}\int _{\Gamma _{1}}\int _{\Gamma _{2}}f_{1}(\zeta )f_{2}(\omega )\left({\frac {(\zeta -T)^{-1}-(\omega -T)^{-1}}{\omega -\zeta }}\right)d\omega \,d\zeta &&{\text{First Resolvent Formula}}\\&={\frac {1}{(2\pi i)^{2}}}\left\{\left(\int _{\Gamma _{1}}{\frac {f_{1}(\zeta )}{\zeta -T}}\left[\int _{\Gamma _{2}}{\frac {f_{2}(\omega )}{\omega -\zeta }}d\omega \right]d\zeta \right)-\left(\int _{\Gamma _{2}}{\frac {f_{2}(\omega )}{\omega -T}}\left[\int _{\Gamma _{1}}{\frac {f_{1}(\zeta )}{\omega -\zeta }}d\zeta \right]d\omega \right)\right\}\\&={\frac {1}{(2\pi i)^{2}}}\int _{\Gamma _{1}}{\frac {f_{1}(\zeta )}{\zeta -T}}\left[\int _{\Gamma _{2}}{\frac {f_{2}(\omega )}{\omega -\zeta }}d\omega \right]d\zeta \end{aligned}}}$

La última línea se deduce del hecho de que ω ∈ Γ ₂ está fuera de Γ ₁ y f ₁ es holomorfa en algún entorno abierto de σ( T ) y, por lo tanto, el segundo término se anula. Por consiguiente, tenemos:

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{1}(T)f_{2}(T)&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma _{1}}{\frac {f_{1}(\zeta )}{\zeta -T}}\left[{\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma _{2}}{\frac {f_{2}(\omega )}{\omega -\zeta }}d\omega \right]d\zeta \\&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma _{1}}{\frac {f_{1}(\zeta )}{\zeta -T}}\left[f_{2}(\zeta )\right]d\zeta &&{\text{Cauchy's Integral Formula}}\\&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma _{1}}{\frac {f_{1}(\zeta )f_{2}(\zeta )}{\zeta -T}}d\zeta \\&=(f_{1}\cdot f_{2})(T)\end{aligned}}}$

Sea G ⊂ C un conjunto abierto con σ( T ) ⊂ G . Supongamos que una sucesión { f _k } de funciones holomorfas en G converge uniformemente en subconjuntos compactos de G (esto a veces se denomina convergencia compacta ). Entonces { f _k ( T )} es convergente en L ( X ):

Supongamos, para simplificar, que Γ consta de una sola curva de Jordan. Estimamos

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\|f_{k}(T)-f_{l}(T)\right\|&={\frac {1}{2\pi }}\left\|\int _{\Gamma }{\frac {(f_{k}-f_{l})(\zeta )}{\zeta -T}}d\zeta \right\|\\&\leq {\frac {1}{2\pi }}\int _{\Gamma }\left|(f_{k}-f_{l})(\zeta )\right|\cdot \left\|(\zeta -T)^{-1}\right\|d\zeta \end{aligned}}}$

Al combinar la suposición de convergencia uniforme y varias consideraciones de continuidad, vemos que lo anterior tiende a 0 cuando k , l → ∞. Por lo tanto, { f _k ( T )} es de Cauchy, por lo tanto convergente.

En resumen, hemos demostrado que el cálculo funcional holomorfo, f → f ( T ), tiene las siguientes propiedades:

1. Extiende el cálculo funcional polinomial.
2. Es un homomorfismo de álgebra del álgebra de funciones holomorfas definidas en un entorno de σ( T ) a L ( X ).
3. Conserva la convergencia uniforme en conjuntos compactos.

Se puede demostrar que un cálculo que satisface las propiedades anteriores es único.

Observamos que todo lo discutido hasta ahora se mantiene textualmente si la familia de operadores acotados L ( X ) se reemplaza por un álgebra de Banach A . El cálculo funcional se puede definir exactamente de la misma manera para un elemento en A .

Se sabe que el teorema de mapeo espectral se cumple para el cálculo funcional polinomial: para cualquier polinomio p , σ ( p ( T )) = p ( σ ( T )). Esto se puede extender al cálculo holomorfo. Para demostrar que f ( σ ( T )) ⊂ σ ( f ( T )), sea μ un número complejo cualquiera. Por un resultado del análisis complejo, existe una función g holomorfa en un entorno de σ ( T ) tal que

${\displaystyle f(z)-f(\mu )=(z-\mu )g(z).\,}$

Según la propiedad de homomorfismo, f ( T )  − f ( μ ) = ( T − μ ) g ( T ). Por lo tanto, μ ∈ σ ( T ) implica f ( μ ) ∈ σ ( f ( T )).   

Para la otra inclusión, si μ no está en f ( σ ( T )), entonces el cálculo funcional es aplicable a

${\displaystyle g(z)={\frac {1}{f(z)-\mu }}.}$

Entonces g ( T )( f ( T ) − μ ) = I . Por lo tanto, μ no está en σ ( f ( T )).

La idea subyacente es la siguiente. Supongamos que K es un subconjunto de σ ( T ) y que U y V son entornos disjuntos de K y σ ( T )  \ K respectivamente. Definimos e ( z ) = 1 si z ∈ U y e ( z ) = 0 si z ∈ V. Entonces e es una función holomorfa con [ e ( z )] ^² = e ( z ) y, por lo tanto, para un contorno adecuado Γ que se encuentra en U ∪ V y que encierra a σ( T ), el operador lineal 

${\displaystyle e(T)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma }{\frac {e(z)}{z-T}}\,dz}$

será una proyección acotada que conmuta con T y proporciona una gran cantidad de información útil.

Resulta que este escenario es posible si y solo si K es a la vez abierto y cerrado en la topología del subespacio en σ ( T ). Además, el conjunto V puede ignorarse con seguridad ya que e es cero en él y, por lo tanto, no contribuye a la integral. La proyección e ( T ) se llama proyección espectral de T en K y se denota por P ( K ; T ). Así, cada subconjunto K de σ ( T ) que es a la vez abierto y cerrado en la topología del subespacio tiene una proyección espectral asociada dada por

${\displaystyle P(K;T)={\frac {1}{2\pi i}}\int \nolimits _{\Gamma }{\frac {dz}{z-T}}}$

donde Γ es un contorno que encierra a K pero ningún otro punto de σ( T ).

Dado que P = P ( K ; T ) es acotado y conmuta con T, permite que T se exprese en la forma U ⊕ V donde U = T | _PX y V = T | _{(1− P ) X} . Tanto PX como (1  − P ) X son subespacios invariantes de T; además, σ ( U ) = K y σ ( V ) = σ ( T ) \ K . Una propiedad clave es la ortogonalidad mutua. Si L es otro conjunto abierto y cerrado en la topología de subespacios en σ ( T ) entonces P ( K ; T ) P ( L ; T ) = P ( L ; T ) P ( K ; T ) = P ( K ∩ L ; T ) que es cero siempre que K y L sean disjuntos.   

Las proyecciones espectrales tienen numerosas aplicaciones. Cualquier punto aislado de σ( T ) es a la vez abierto y cerrado en la topología del subespacio y, por lo tanto, tiene una proyección espectral asociada. Cuando X tiene dimensión finita, σ( T ) consta de puntos aislados y las proyecciones espectrales resultantes dan lugar a una variante de la forma normal de Jordan en la que se consolidan todos los bloques de Jordan correspondientes al mismo autovalor. En otras palabras, hay exactamente un bloque por cada autovalor distinto. La siguiente sección analiza esta descomposición con mayor detalle.

A veces, las proyecciones espectrales heredan propiedades de sus operadores padres. Por ejemplo, si T es una matriz positiva con radio espectral r, entonces el teorema de Perron-Frobenius afirma que r ∈ σ ( T ). La proyección espectral asociada P = P ( r ; T ) también es positiva y, por ortogonalidad mutua, ninguna otra proyección espectral puede tener una fila o columna positiva. De hecho, TP = rP y ( T / r ) ⁿ → P cuando n → ∞, por lo que esta proyección P (que se llama proyección de Perron) se aproxima a ( T / r ) ⁿ cuando n aumenta, y cada una de sus columnas es un vector propio de T . 

En términos más generales, si T es un operador compacto, entonces todos los puntos no nulos en σ( T ) están aislados, por lo que cualquier subconjunto finito de ellos puede usarse para descomponer T. La proyección espectral asociada siempre tiene rango finito. Aquellos operadores en L ( X ) con características espectrales similares se conocen como operadores de Riesz . Muchas clases de operadores de Riesz (incluidos los operadores compactos) son ideales en L ( X ) y constituyen un campo de investigación extenso. Sin embargo, si X es un espacio de Hilbert, existe exactamente un ideal cerrado situado entre los operadores de Riesz y aquellos de rango finito.

Gran parte de la discusión anterior puede enmarcarse en el contexto más general de un álgebra de Banach compleja . En este caso, las proyecciones espectrales se denominan idempotentes espectrales, ya que es posible que ya no exista un espacio sobre el cual proyectar.

Si el espectro σ ( T ) no es conexo, X puede descomponerse en subespacios invariantes de T utilizando el cálculo funcional. Sea σ ( T ) una unión disjunta.

${\displaystyle \sigma (T)=\bigcup _{i=1}^{m}F_{i}.}$

Definimos e _i como 1 en algún vecindario que contiene solo el componente F _i y 0 en cualquier otro lugar. Por la propiedad de homomorfismo, e _i ( T ) es una proyección para todo i . De hecho, es simplemente la proyección espectral P ( F _i ; T ) descrita anteriormente. La relación e _i ( T ) T = T e _i ( T ) significa que el rango de cada e _i ( T ), denotado por X _i , es un subespacio invariante de T . Dado que

${\displaystyle \sum _{i}e_{i}(T)=I,\,}$

X puede expresarse en términos de estos subespacios complementarios:

${\displaystyle X=\sum _{i}X_{i}.\,}$

De manera similar, si T _i es T restringido a X _i , entonces

${\displaystyle T=\sum _{i}T_{i}.\,}$

Consideremos la suma directa

${\displaystyle X'=\bigoplus _{i}X_{i}.}$

Con la norma

${\displaystyle \left\|\bigoplus _{i}x_{i}\right\|=\sum _{i}\|x_{i}\|,}$

X' es un espacio de Banach. La aplicación R : X' → X definida por

${\displaystyle R\left(\bigoplus _{i}x_{i}\right)=\sum _{i}x_{i}}$

es un isomorfismo de espacio de Banach, y vemos que

${\displaystyle RTR^{-1}=\bigoplus _{i}T_{i}.}$

Esto puede verse como una diagonalización por bloques de T.

Cuando X es de dimensión finita, σ ( T ) = { λ _i } es un conjunto finito de puntos en el plano complejo. Elija e _i igual a 1 en un disco abierto que contenga solo λ _i del espectro. La matriz diagonal por bloques correspondiente

${\displaystyle \bigoplus _{i}T_{i}}$

es la forma canónica de Jordan de T.

Un cálculo funcional holomorfo puede definirse de manera similar para operadores cerrados no acotados con un conjunto resolvente no vacío.