núcleo de Bergman

En el estudio matemático de varias variables complejas , el núcleo de Bergman , llamado así en honor a Stefan Bergman , es el núcleo reproductor para el espacio de Hilbert ( RKHS ) de todas las funciones holomorfas de cuadrado integrable en un dominio D en C ⁿ . 

En detalle, sea L ² ( D ) el espacio de Hilbert de funciones de cuadrado integrable en D , y sea L ^{2, h} ( D ) el subespacio que consta de funciones holomorfas en L ² ( D ): es decir,

${\displaystyle L^{2,h}(D)=L^{2}(D)\cap H(D)}$

donde H ( D ) es el espacio de funciones holomorfas en D . Entonces L ^{2, h} ( D ) es un espacio de Hilbert: es un subespacio lineal cerrado de L ² ( D ), y por lo tanto completo en sí mismo. Esto se deduce de la estimación fundamental, que para una función holomorfa de cuadrado integrable ƒ en D

para cada subconjunto compacto K de D. Por lo tanto, la convergencia de una secuencia de funciones holomorfas en L ² ( D ) implica también convergencia compacta , y por lo tanto la función límite también es holomorfa.

Otra consecuencia de ( 1 ) es que, para cada z ∈ D , la evaluación  

${\displaystyle \operatorname {ev} _{z}:f\mapsto f(z)}$

es un funcional lineal continuo en L ^{2, h} ( D ). Por el teorema de representación de Riesz , este funcional puede representarse como el producto interno con un elemento de L ^{2, h} ( D ), lo que significa que

${\displaystyle \operatorname {ev} _{z}f=\int _{D}f(\zeta ){\overline {\eta _{z}(\zeta )}}\,d\mu (\zeta ).}$

El núcleo de Bergman K se define por

${\displaystyle K(z,\zeta )={\overline {\eta _{z}(\zeta )}}.}$

El núcleo K ( z , ζ ) es holomorfo en z y antiholomorfo en ζ , y satisface

${\displaystyle f(z)=\int _{D}K(z,\zeta )f(\zeta )\,d\mu (\zeta ).}$

Una observación clave sobre esta imagen es que L ^{2, h} ( D ) puede identificarse con el espacio de ${\displaystyle L^{2}}$formas holomorfas (n,0) en D, mediante multiplicación por ${\displaystyle dz^{1}\wedge \cdots \wedge dz^{n}}$. Desde el${\displaystyle L^{2}}$El producto interno en este espacio es manifiestamente invariante bajo biholomorfismos de D, por lo que el núcleo de Bergman y la métrica de Bergman asociada son automáticamente invariantes bajo el grupo de automorfismos del dominio.

El núcleo de Bergman para el disco unitario D es la función $${\displaystyle K(z,\zeta )={\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{(1-z{\bar {\zeta }})^{2}}}.}$$

• Métrica de Bergman
• Espacio Bergman
• núcleo de Szegő

• Krantz, Steven G. (2002), Teoría de funciones de varias variables complejas , Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-2724-6.
• Chirka, EM (2001) [1994], "Función del núcleo de Bergman" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press.