Disco de unidad

En matemáticas , el disco unitario abierto (o disco ) alrededor de P (donde P es un punto dado en el plano ), es el conjunto de puntos cuya distancia a P es menor que 1:

D_{1}(P)=\{Q:\vert PQ\vert <1\}.\,

El disco unitario cerrado alrededor de P es el conjunto de puntos cuya distancia a P es menor o igual a uno:

{\bar {D}}_{1}(P)=\{Q:|PQ|\leq 1\}.\,

Los discos unitarios son casos especiales de discos y bolas unitarias ; como tales, contienen el interior del círculo unitario y, en el caso del disco unitario cerrado, el propio círculo unitario.

Sin más especificaciones, el término disco de unidad se utiliza para el disco de unidad abierto sobre el origen , $D_{1}(0)$ , con respecto a la métrica euclidiana estándar . Es el interior de un círculo de radio 1, centrado en el origen. Este conjunto se puede identificar con el conjunto de todos los números complejos de valor absoluto menor que uno. Cuando se considera como un subconjunto del plano complejo ( C ), el disco unitario abierto se suele denotar $\mathbb {D} =\{z\in \mathbb {C$ . A diferencia del grupo de círculos con notación similar $\mathbb {T}$ , el disco unitario (abierto) no es un grupo multiplicativo .

El disco unitario abierto, el plano y el semiplano superior.

La función

f(z)={\frac {z}{1-|z|^{2}}}

es un ejemplo de una función analítica real y biyectiva del disco unitario abierto al plano; su función inversa también es analítica. Considerado como una variedad analítica bidimensional real , el disco unitario abierto es, por lo tanto, isomorfo a todo el plano. En particular, el disco unitario abierto es homeomorfo a todo el plano.

Sin embargo, no existe una aplicación biyectiva conforme entre el disco unitario abierto y el plano. Considerado como una superficie de Riemann , el disco unitario abierto es, por lo tanto, diferente del plano complejo .

Existen aplicaciones biyectivas conformes entre el disco unitario abierto y el semiplano superior abierto . Por lo tanto, considerado como una superficie de Riemann, el disco unitario abierto es isomorfo ("biholomorfo" o "conformemente equivalente") al semiplano superior, y ambos términos se utilizan a menudo indistintamente.

De forma mucho más general, el teorema de la aplicación de Riemann establece que todo subconjunto abierto simplemente conexo del plano complejo que sea diferente del propio plano complejo admite una aplicación conforme y biyectiva al disco unitario abierto.

Una aplicación conforme biyectiva del disco unitario abierto al semiplano superior abierto es la transformación de Möbius.

g(z)=i{\frac {1+z}{1-z}}

que es la inversa de la transformada de Cayley .

Geométricamente, se puede imaginar que el eje real se dobla y se contrae de manera que el semiplano superior se convierte en el interior del disco y el eje real forma la circunferencia del disco, salvo un punto en la parte superior, el "punto en el infinito". También se puede construir una aplicación conforme biyectiva del disco unitario abierto al semiplano superior abierto como la composición de dos proyecciones estereográficas : primero, el disco unitario se proyecta estereográficamente hacia arriba sobre la semiesfera superior unitaria, tomando el "polo sur" de la esfera unitaria como centro de proyección, y luego esta semiesfera se proyecta lateralmente sobre un semiplano vertical que toca la esfera, tomando el punto de la semiesfera opuesto al punto de contacto como centro de proyección.

El disco unitario y el semiplano superior no son intercambiables como dominios para los espacios de Hardy . A esta diferencia contribuye el hecho de que el círculo unitario tiene una medida de Lebesgue finita (unidimensional), mientras que la recta real no.

Plano hiperbólico

El disco unitario abierto constituye el conjunto de puntos del modelo de disco de Poincaré del plano hiperbólico. Los arcos circulares perpendiculares al círculo unitario forman las "líneas" de este modelo. El círculo unitario es el absoluto de Cayley que determina una métrica en el disco mediante el uso de la razón antagónica, al estilo de la métrica de Cayley-Klein . En el lenguaje de la geometría diferencial, los arcos circulares perpendiculares al círculo unitario son geodésicas que muestran la distancia más corta entre puntos del modelo. El modelo incluye movimientos que se expresan mediante el grupo unitario especial SU(1,1) . El modelo de disco se puede transformar en el modelo de semiplano de Poincaré mediante la transformación g mencionada anteriormente.

Tanto el disco de Poincaré como el semiplano de Poincaré son modelos conformes del plano hiperbólico, lo que significa que los ángulos entre curvas que se intersecan se conservan mediante movimientos de sus grupos de isometría.

Otro modelo de espacio hiperbólico también se basa en el disco unitario abierto: el modelo de Beltrami-Klein . No es conforme , pero tiene la propiedad de que las geodésicas son líneas rectas.

Discos de unidad con respecto a otras métricas

También se consideran los discos unitarios con respecto a otras métricas . Por ejemplo, con la métrica de taxi y la métrica de Chebyshev, los discos parecen cuadrados (aunque las topologías subyacentes son las mismas que la euclidiana).

El área del disco unitario euclidiano es π y su perímetro es 2π. En contraste, el perímetro (en relación con la métrica del taxi) del disco unitario en la geometría del taxi es 8. En 1932, Stanisław Gołąb demostró que en las métricas que surgen de una norma , el perímetro del disco unitario puede tomar cualquier valor entre 6 y 8, y que estos valores extremos se obtienen si y solo si el disco unitario es un hexágono regular o un paralelogramo , respectivamente.