Relación simétrica

Una relación simétrica es un tipo de relación binaria . Formalmente, una relación binaria R sobre un conjunto X es simétrica si: ^[1]

\para todo a,b\en X(aRb\Leftrightarrow bRa),

donde la notación aRb significa que ( a , b ) ∈ R .

Un ejemplo es la relación "es igual a", porque si a = b es verdadera entonces b = a también es verdadera. Si R ^T representa el inverso de R , entonces R es simétrico si y sólo si R = R ^T . ^[2]

La simetría, junto con la reflexividad y la transitividad , son las tres propiedades definitorias de una relación de equivalencia . ^[1]

Ejemplos

En matemáticas

"es igual a" ( igualdad ) (mientras que "es menor que" no es simétrico)
"es comparable a", para elementos de un conjunto parcialmente ordenado
"... y... son impares":

Matemáticas fuera de la ley

"está casado con" (en la mayoría de los sistemas legales)
"es un hermano completamente biológico de"
"es un homófono de"
"es un compañero de trabajo de"
"es un compañero de equipo de"

Relación con las relaciones asimétricas y antisimétricas

Por definición, una relación no vacía no puede ser a la vez simétrica y asimétrica (si a está relacionada con b , entonces b no puede estar relacionada con a (de la misma manera)). Sin embargo, una relación no puede ser ni simétrica ni asimétrica, que es el caso de "es menor o igual que" y "se aprovecha de").

Simétrico y antisimétrico (donde la única forma en que a puede estar relacionado con b y b con a es si a = b ) son en realidad independientes entre sí, como lo muestran estos ejemplos.

Propiedades

Una relación simétrica y transitiva es siempre cuasireflexiva . ^[a]
Una forma de contar las relaciones simétricas en n elementos, es que en su representación matricial binaria el triángulo superior derecho determina la relación completamente, y puede darse de forma arbitraria, por lo que hay tantas relaciones simétricas como n × n matrices binarias de triángulos superiores, 2 ^{n ( n +1)/2} . ^[3]

Téngase en cuenta que S ( n , k ) se refiere a números de Stirling del segundo tipo .

Notas

^ Si xRy , yRx por simetría, por lo tanto xRx por transitividad. La prueba de xRy ⇒ yRy es similar.

Referencias

^ ab Biggs, Norman L. (2002). Matemáticas discretas . Oxford University Press. pág. 57. ISBN 978-0-19-871369-2.
^ "MAD3105 1.2". Departamento de Matemáticas de la Universidad Estatal de Florida . Universidad Estatal de Florida . Consultado el 30 de marzo de 2024 .
^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A006125". La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros . Fundación OEIS.

Véase también

Propiedad conmutativa – Propiedad de algunas operaciones matemáticas
Simetría en matemáticas
Simetría – Invariancia matemática bajo transformaciones

[3] Si xRy , yRx por simetría, por lo tanto xRx por transitividad. La prueba de xRy ⇒ yRy es similar.

[:0-1] Biggs, Norman L. (2002). Matemáticas discretas . Oxford University Press. pág. 57. ISBN 978-0-19-871369-2.

[Characterization_of_Symmetric_Relations-2] "MAD3105 1.2". Departamento de Matemáticas de la Universidad Estatal de Florida . Universidad Estatal de Florida . Consultado el 30 de marzo de 2024 .

[4] Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A006125". La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros . Fundación OEIS.