Cantidad conservada

Una cantidad conservada es una propiedad o valor que permanece constante a lo largo del tiempo en un sistema , incluso cuando se producen cambios en el mismo. En matemáticas , una cantidad conservada de un sistema dinámico se define formalmente como una función de las variables dependientes , cuyo valor permanece constante a lo largo de cada trayectoria del sistema. ^{[ 1 ]}

No todos los sistemas tienen cantidades conservadas, y las cantidades conservadas no son únicas, ya que siempre se puede producir otra cantidad de este tipo aplicando una función adecuada , como por ejemplo sumando una constante, a una cantidad conservada.

Dado que muchas leyes de la física expresan algún tipo de conservación , las cantidades conservadas suelen existir en los modelos matemáticos de sistemas físicos . Por ejemplo, cualquier modelo de mecánica clásica tendrá la energía mecánica como una cantidad conservada siempre que las fuerzas involucradas sean conservativas .

Para un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=\mathbf {f} (\mathbf {r} ,t)}$

donde en negrita se indican cantidades vectoriales , una función escalar H ( r ) es una cantidad conservada del sistema si, para todo tiempo y condiciones iniciales en algún dominio específico,

${\displaystyle {\frac {dH}{dt}}=0}$

Tenga en cuenta que al utilizar la regla de la cadena multivariada ,

${\displaystyle {\frac {dH}{dt}}=\nabla H\cdot {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=\nabla H\cdot \mathbf {f} (\mathbf {r} ,t)}$

para que la definición pueda escribirse como

${\displaystyle \nabla H\cdot \mathbf {f} (\mathbf {r} ,t)=0}$

que contiene información específica del sistema y puede ser útil para encontrar cantidades conservadas o para determinar si existe o no una cantidad conservada.

Para un sistema definido por el hamiltoniano${\displaystyle {\mathcal {H}}}$, una función f de las coordenadas generalizadas q y los momentos generalizados p tiene evolución temporal

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}=\{f,{\mathcal {H}}\}+{\frac {\partial f}{\partial t}}}$

y por lo tanto se conserva si y solo si${\textstyle \{f,{\mathcal {H}}\}+{\frac {\partial f}{\partial t}}=0}$. Aquí${\displaystyle \{f,{\mathcal {H}}\}}$denota el corchete de Poisson .

Supongamos que un sistema está definido por el lagrangiano L con coordenadas generalizadas q . Si L no tiene dependencia temporal explícita (por lo tanto,${\textstyle {\frac {\partial L}{\partial t}}=0}$), entonces la energía E definida por

${\displaystyle E=\sum _{i}\left[{\dot {q}}_{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right]-L}$

se conserva.

Además, si${\textstyle {\frac {\partial L}{\partial q}}=0}$, entonces se dice que q es una coordenada cíclica y el momento generalizado p se define por

${\displaystyle p={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}}$

se conserva. Esto se puede derivar utilizando las ecuaciones de Euler-Lagrange .

• Sistema conservador
• función de Lyapunov
• Sistema hamiltoniano
• Derecho de conservación
• Teorema de Noether
• Carga (física)
• Invariante (física)