Función de Lyapunov

En la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO), las funciones de Lyapunov , llamadas así por Aleksandr Lyapunov , son funciones escalares que pueden usarse para demostrar la estabilidad de un equilibrio de una EDO. Las funciones de Lyapunov (también llamadas segundo método de Lyapunov para la estabilidad) son importantes para la teoría de estabilidad de sistemas dinámicos y la teoría de control . Un concepto similar aparece en la teoría de cadenas de Markov generales en el espacio de estados , generalmente bajo el nombre de funciones de Foster-Lyapunov.

Para ciertas clases de EDO, la existencia de funciones de Lyapunov es una condición necesaria y suficiente para la estabilidad. Si bien no existe una técnica general para construir funciones de Lyapunov para EDO, en muchos casos específicos se conoce la construcción de funciones de Lyapunov. Por ejemplo, las funciones cuadráticas son suficientes para sistemas con un estado, la solución de una desigualdad matricial lineal particular proporciona funciones de Lyapunov para sistemas lineales y las leyes de conservación a menudo se pueden usar para construir funciones de Lyapunov para sistemas físicos .

Una función de Lyapunov para un sistema dinámico autónomo

${\displaystyle {\begin{cases}g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}&\\{\dot {y}}=g(y)\end{cases}}}$

con un punto de equilibrio en es una función escalar que es continua, tiene derivadas primeras continuas, es estrictamente positiva para y para la cual la derivada respecto al tiempo no es positiva (estas condiciones se requieren en alguna región que contenga el origen). La condición (más fuerte) que es estrictamente positiva para a veces se enuncia como es localmente definida positiva o es localmente definida negativa . ${\displaystyle y=0}$ ${\displaystyle V:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle y\neq 0}$${\displaystyle {\dot {V}}=\nabla {V}\cdot g}$${\displaystyle -\nabla {V}\cdot g}$${\displaystyle y\neq 0}$${\displaystyle -\nabla {V}\cdot g}$${\displaystyle \nabla {V}\cdot g}$

Las funciones de Lyapunov surgen en el estudio de los puntos de equilibrio de los sistemas dinámicos. En un sistema dinámico autónomo arbitrario , pueden escribirse como ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$

${\displaystyle {\dot {y}}=g(y)}$

para un poco de suavidad${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}.}$

Un punto de equilibrio es un punto tal que Dado un punto de equilibrio, siempre existe una transformación de coordenadas tal que: ${\displaystyle y^{*}}$${\displaystyle g\left(y^{*}\right)=0.}$${\displaystyle y^{*},}$${\displaystyle x=yy^{*},}$

${\displaystyle {\begin{cases}{\punto {x}}={\punto {y}}=g(y)=g\left(x+y^{*}\right)=f(x)\\f(0)=0\end{cases}}}$

Por lo tanto, al estudiar los puntos de equilibrio, es suficiente suponer que el punto de equilibrio se encuentra en . ${\estilo de visualización 0}$

Por la regla de la cadena, para cualquier función, la derivada temporal de la función evaluada a lo largo de una solución del sistema dinámico es ${\displaystyle H:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ,}$

${\displaystyle {\dot {H}}={\frac {d}{dt}}H(x(t))={\frac {\partial H}{\partial x}}\cdot {\frac {dx}{dt}}=\nabla H\cdot {\dot {x}}=\nabla H\cdot f(x).}$

Una función se define como una función localmente positiva definida (en el sentido de sistemas dinámicos) si y existe un entorno del origen, , tal que: ${\estilo de visualización H}$${\displaystyle H(0)=0}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

${\displaystyle H(x)>0\quad \para todo x\en {\mathcal {B}}\setminus \{0\}.}$

Sea un punto de equilibrio del sistema autónomo ${\displaystyle x^{*}=0}$

${\displaystyle {\punto {x}}=f(x).}$

y use la notación para denotar la derivada temporal de la función candidata a Lyapunov : ${\displaystyle {\punto {V}}(x)}$${\estilo de visualización V}$

${\displaystyle {\dot {V}}(x)={\frac {d}{dt}}V(x(t))={\frac {\partial V}{\partial x}}\cdot {\frac {dx}{dt}}=\nabla V\cdot {\dot {x}}=\nabla V\cdot f(x).}$

Si el punto de equilibrio está aislado, la función candidata de Lyapunov es localmente definida positiva y la derivada temporal de la función candidata de Lyapunov es localmente definida negativa: ${\estilo de visualización V}$

${\displaystyle {\dot {V}}(x)<0\quad \para todo x\en {\mathcal {B}}(0)\setminus \{0\},}$

Para algún vecindario de origen, entonces se demuestra que el equilibrio es localmente asintóticamente estable. ${\displaystyle {\mathcal {B}}(0)}$

Si es una función de Lyapunov, entonces el equilibrio es estable según el principio de Lyapunov . La inversa también es cierta y fue demostrada por José Luis Massera . ${\estilo de visualización V}$

Si la función candidata de Lyapunov es globalmente definida positiva, radialmente ilimitada , el equilibrio está aislado y la derivada temporal de la función candidata de Lyapunov es globalmente definida negativa: ${\estilo de visualización V}$

${\displaystyle {\dot {V}}(x)<0\quad \para todo x\en \mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\},}$

Entonces se demuestra que el equilibrio es globalmente asintóticamente estable .

La función candidata de Lyapunov es radialmente ilimitada si ${\estilo de visualización V(x)}$

${\displaystyle \|x\|\to \infty \Rightarrow V(x)\to \infty .}$

(Esto también se conoce como coercitividad normativa).

Considere la siguiente ecuación diferencial en : ${\displaystyle \mathbb {R}}$

${\displaystyle {\punto {x}}=-x.}$

Teniendo en cuenta que siempre es positivo alrededor del origen, es un candidato natural a ser una función de Lyapunov que nos ayude a estudiar . Así que sigamos con . Entonces, $Estilo de visualización x^{2}}$${\estilo de visualización x}$${\displaystyle V(x)=x^{2}}$${\displaystyle \mathbb {R}}$

${\displaystyle {\dot {V}}(x)=V'(x){\dot {x}}=2x\cdot (-x)=-2x^{2}<0.}$

Esto demuestra correctamente que la ecuación diferencial anterior es asintóticamente estable respecto del origen. Nótese que, utilizando el mismo candidato de Lyapunov, se puede demostrar que el equilibrio también es globalmente asintóticamente estable. ${\estilo de visualización x,}$

• Estabilidad de Lyapunov
• Ecuaciones diferenciales ordinarias
• Función de control-Lyapunov
• Función de Chetaev
• Teorema de Foster
• Optimización de Lyapunov

• Weisstein, Eric W. "Función de Lyapunov". MathWorld .
• Khalil, HK (1996). Sistemas no lineales . Prentice Hall Upper Saddle River, NJ.
• La Salle, Joseph; Lefschetz, Solomon (1961). Estabilidad por el método directo de Liapunov: con aplicaciones . Nueva York: Academic Press.
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• Ejemplo de determinación de la estabilidad de la solución de equilibrio de un sistema de EDO con función de Lyapunov