Desigualdad matricial lineal

En optimización convexa , una desigualdad matricial lineal ( LMI ) es una expresión de la forma

${\displaystyle \operatorname {LMI} (y):=A_{0}+y_{1}A_{1}+y_{2}A_{2}+\cdots +y_{m}A_{m}\succeq 0\,}$

dónde

• ${\displaystyle y=[y_{i}\,,~i\!=\!1,\dots ,m]}$es un vector real,
• ${\displaystyle A_{0},A_{1},A_{2},\dots ,A_{m}}$son${\displaystyle n\times n}$matrices simétricas${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}}$,
• ${\displaystyle B\succeq 0}$es una desigualdad generalizada que significa${\displaystyle B}$es una matriz semidefinida positiva que pertenece al cono semidefinido positivo${\displaystyle \mathbb {S} _{+}}$en el subespacio de matrices simétricas${\displaystyle \mathbb {S} }$.

Esta desigualdad matricial lineal especifica una restricción convexa sobre ${\displaystyle y}$.

Existen métodos numéricos eficientes para determinar la factibilidad de una LMI ( por ejemplo , si existe un vector y tal que LMI( y )  ≥  0), o para resolver un problema de optimización convexa con restricciones LMI. Muchos problemas de optimización en teoría de control , identificación de sistemas y procesamiento de señales pueden formularse utilizando LMI. Además, las LMI encuentran aplicación en la suma de cuadrados de polinomios . El programa semidefinido primal y dual prototípico consiste en la minimización de una función lineal real sujeta, respectivamente, a los conos convexos primal y dual que rigen esta LMI.

Un avance fundamental en la optimización convexa fue la introducción de los métodos de punto interior . Estos métodos se desarrollaron en una serie de artículos y cobraron verdadero interés en el contexto de los problemas LMI en el trabajo de Yurii Nesterov y Arkadi Nemirovski .

• Programación semidefinida
• Espectraedro
• El lema de Finsler

• Y. Nesterov y A. Nemirovsky, Métodos polinomiales de punto interior en programación convexa. SIAM, 1994.

• S. Boyd, L. El Ghaoui, E. Feron y V. Balakrishnan, Desigualdades matriciales lineales en la teoría de sistemas y control (libro en formato PDF)
• C. Scherer y S. Weiland, Desigualdades matriciales lineales en el control