SOS polinomial

• Considerar${\displaystyle m=2}$y la forma${\displaystyle h(x)=x_{1}^{4}-x_{1}^{2}x_{2}^{2}+x_{2}^{4}}$de grado 4 en dos variables. Tenemos$${\displaystyle x^{\{m\}}={\begin{pmatrix}x_{1}^{2}\\x_{1}x_{2}\\x_{2}^{2}\end{pmatrix}}\!,~H+L(\alpha )={\begin{pmatrix}1&0&-\alpha _{1}\\0&-1+2\alpha _{1}&0\\-\alpha _{1}&0&1\end{pmatrix}}\!.}$$Dado que existe α tal que${\displaystyle H+L(\alpha )\geq 0}$, es decir${\displaystyle \alpha =1}$, de ello se deduce que h ( x ) es SOS.
• Considerar${\displaystyle m=2}$y la forma${\displaystyle h(x)=2x_{1}^{4}-5x_{1}^{3}x_{2}/2+x_{1}^{2}x_{2}x_{3}-2x_{1}x_{3}^{3}+5x_{2}^{4}+x_{3}^{4}}$de grado 4 en tres variables. Tenemos$${\displaystyle x^{\{m\}}={\begin{pmatrix}x_{1}^{2}\\x_{1}x_{2}\\x_{1}x_{3}\\x_{2}^{2}\\x_{2}x_{3}\\x_{3}^{2}\end{pmatrix}},~H+L(\alpha )={\begin{pmatrix}2&-5/4&0&-\alpha _{1}&-\alpha _{2}&-\alpha _{3}\\-5/4&2\alpha _{1}&1/2+\alpha _{2}&0&-\alpha _{4}&-\alpha _{5}\\0&1/2+\alpha _{2}&2\alpha _{3}&\alpha _{4}&\alpha _{5}&-1\\-\alpha _{1}&0&\alpha _{4}&5&0&-\alpha _{6}\\-\alpha _{2}&-\alpha _{4}&\alpha _{5}&0&2\alpha _{6}&0\\-\alpha _{3}&-\alpha _{5}&-1&-\alpha _{6}&0&1\end{pmatrix}}.}$$Desde${\displaystyle H+L(\alpha )\geq 0}$para${\displaystyle \alpha =(1.18,-0.43,0.73,1.13,-0.37,0.57)}$, de ello se deduce que h ( x ) es SOS.

Una forma matricial F ( x ) (es decir, una matriz cuyas entradas son formas) de dimensión r y grado 2 m en el vector real n -dimensional x es SOS si y solo si existen formas matriciales${\displaystyle G_{1}(x),\ldots ,G_{k}(x)}$de grado m tal que $${\displaystyle F(x)=\sum _{i=1}^{k}G_{i}(x)^{T}G_{i}(x).}$$

Consideremos el álgebra libre R ⟨ X ⟩ generada por las n letras no conmutativas X = ( X ₁ , ..., X _n ) y equipada con la involución ^T , tal que ^T fija R y X ₁ , ..., X _n e invierte las palabras formadas por X ₁ , ..., X _n . Consideramos polinomios no conmutativos hermíticos f , que son polinomios no conmutativos de la forma f = f ^T . Cuando se evalúa un polinomio no conmutativo hermítico f en cualquier n -tupla de matrices reales de cualquier tamaño r × r produce en una matriz semidefinida positiva , se dice que f es matricialmente positivo.

Un polinomio no conmutativo es SOS si existen polinomios no conmutativos.${\displaystyle h_{1},\ldots ,h_{k}}$de tal manera que $${\displaystyle f(X)=\sum _{i=1}^{k}h_{i}(X)^{T}h_{i}(X).}$$

Sorprendentemente, en el escenario no conmutativo, un polinomio no conmutativo es SOS si y solo si es matricialmente positivo. ^{[ 10 ]} Además, existen algoritmos disponibles para descomponer polinomios matricialmente positivos en sumas de cuadrados de polinomios no conmutativos. ^{[ 11 ]}

Un polinomio complejo${\displaystyle p(z_{1},\dots ,z_{n})}$en variables${\displaystyle z_{1},\dots ,z_{n}}$y sus conjugados${\displaystyle z_{1}^{*},\dots ,z_{n}^{*}}$Es hermitiana si solo toma valores reales, o equivalentemente si cada término tiene un número igual de variables conjugadas y no conjugadas. Es una suma de cuadrados hermitiana (HSOS) si hay polinomios complejos.${\displaystyle g_{1},\dots ,g_{k}}$, solo en las variables no conjugadas${\displaystyle z_{1},\dots ,z_{n}}$, de tal manera que$${\displaystyle p(z)=\sum _{i=1}^{k}g_{i}^{*}(z)g_{i}(z).}$$Una representación matricial cuadrada hermitiana de${\displaystyle p}$es una matriz${\displaystyle M}$de tal manera que${\displaystyle p(z)=(z^{\{m\}})^{*}Mz^{\{m\}}}$, dónde${\displaystyle (z^{\{m\}})^{*}}$es la transpuesta hermitiana del vector${\displaystyle z^{\{m\}}}$Como observó Putinar por primera vez, existe una elección de la matriz.${\displaystyle M}$poseer ciertas propiedades de simetría, que de hecho es única y puede escribirse explícitamente. Por lo tanto, probar si un polinomio hermitiano es HSOS de grado${\displaystyle m}$se puede hacer comprobando si una única matriz fija es semidefinida positiva. ^{[ 12 ]}