Núcleo (álgebra lineal)

En matemáticas , el núcleo de una aplicación lineal , también conocido como espacio nulo , es la parte del dominio que se mapea al vector cero del codominio ; el núcleo es siempre un subespacio lineal del dominio. ^{[ 1 ]} Es decir, dada una aplicación lineal L : V → W entre dos espacios vectoriales V y W , el núcleo de L es el espacio vectorial de todos los elementos v de V tales que L ( v ) = 0 , donde 0 denota el vector cero en W , ^{[ 2 ]} o de forma más simbólica:  $${\displaystyle \ker(L)=\left\{\mathbf {v} \in V\mid L(\mathbf {v} )=\mathbf {0} \right\}=L^{-1}(\mathbf {0} ).}$$

El núcleo de L es un subespacio lineal del dominio V. ^{[ 3 ] [ 2 ]}

En el mapa lineal${\displaystyle L:V\to W,}$dos elementos de V tienen la misma imagen en W si y solo si su diferencia se encuentra en el núcleo de L , es decir,

$${\displaystyle L\left(\mathbf {v} _{1}\right)=L\left(\mathbf {v} _{2}\right)\quad \iff \quad L\left(\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2}\right)=\mathbf {0} .}$$

De esto se deduce, por el primer teorema de isomorfismo , que la imagen de L es isomorfa al cociente de V por el núcleo: $${\displaystyle \operatorname {im} (L)\cong V/\ker(L).}$$En el caso en que V sea de dimensión finita , esto implica el teorema de rango-nulidad : $${\displaystyle \dim(\ker L)+\dim(\operatorname {im} L)=\dim(V).}$$ donde el términoEl rango se refiere a la dimensión de la imagen deL,${\displaystyle \dim(\operatorname {estoy} L),}$mientrasLa nulidad se refiere a la dimensión del núcleo deL,${\displaystyle \dim(\ker L).}$^{[ 4 ]} Es decir, $${\displaystyle \operatorname {Rango} (L)=\dim(\operatorname {im} L)\qquad {\text{ y }}\qquad \operatorname {Nulidad} (L)=\dim(\ker L),}$$ de modo que el teorema de rango-nulidad pueda reformularse como $${\displaystyle \operatorname {Rango} (L)+\operatorname {Nulidad} (L)=\dim \left(\operatorname {dominio} L\right).}$$

Cuando V es un espacio con producto interno , el cociente${\displaystyle V/\ker(L)}$puede identificarse con el complemento ortogonal en V de${\displaystyle \ker(L)}$. Esta es la generalización a operadores lineales del espacio fila , o coimagen , de una matriz.

La noción de núcleo también tiene sentido para los homomorfismos de módulos , que son generalizaciones de espacios vectoriales donde los escalares son elementos de un anillo , en lugar de un cuerpo . El dominio de la aplicación es un módulo, y el núcleo constituye un submódulo . En este caso, los conceptos de rango y nulidad no son necesariamente aplicables.

Si V y W son espacios vectoriales topológicos tales que W es de dimensión finita, entonces un operador lineal L : V → W es continuo si y solo si el núcleo de L es un subespacio cerrado de V.

Consideremos un mapa lineal representado como una matriz A de m × n con coeficientes en un campo K (típicamente${\displaystyle \mathbb {R} }$o${\displaystyle \mathbb {C} }$), es decir, operando sobre vectores columna x con n componentes sobre K. El núcleo de esta aplicación lineal es el conjunto de soluciones de la ecuación A x = 0 , donde 0 se entiende como el vector cero . La dimensión del núcleo de A se llama nulidad de A. En notación de constructor de conjuntos , $${\displaystyle \operatorname {N} (A)=\operatorname {Null} (A)=\operatorname {ker} (A)=\left\{\mathbf {x} \in K^{n}\mid A\mathbf {x} =\mathbf {0} \right\}.}$$ La ecuación matricial es equivalente a un sistema homogéneo de ecuaciones lineales : $${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {0} \;\;\Leftrightarrow \;\;{\begin{alignedat}{7}a_{11}x_{1}&&\;+\;&&a_{12}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{1n}x_{n}&&\;=\;&&&0\\a_{21}x_{1}&&\;+\;&&a_{22}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{2n}x_{n}&&\;=\;&&&0\\&&&&&&&&&&\vdots \ \;&&&\\a_{m1}x_{1}&&\;+\;&&a_{m2}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{mn}x_{n}&&\;=\;&&&0{\text{.}}\\\end{alignedat}}}$$ Por lo tanto, el núcleo de A es el mismo que el conjunto solución de las ecuaciones homogéneas anteriores.

A continuación se muestra una ilustración sencilla del cálculo del núcleo de una matriz (véase la sección «  Cálculo mediante eliminación gaussiana» , más adelante, para consultar métodos más adecuados para cálculos más complejos). La ilustración también aborda el espacio fila y su relación con el núcleo.

Consideremos la matriz $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&3&5\\-4&2&3\end{bmatrix}}.}$$ El núcleo de esta matriz consta de todos los vectores ( x , y , z ) ∈ R ³ para los cuales $${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&3&5\\-4&2&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}},}$$ que puede expresarse como un sistema homogéneo de ecuaciones lineales que involucran x , y y z : $${\displaystyle {\begin{aligned}2x+3y+5z&=0,\\-4x+2y+3z&=0.\end{aligned}}}$$

Las mismas ecuaciones lineales también se pueden escribir en forma matricial como: $${\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}2&3&5&0\\-4&2&3&0\end{array}}\right].}$$

Mediante la eliminación de Gauss-Jordan , la matriz se puede reducir a: $${\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}1&0&1/16&0\\0&1&13/8&0\end{array}}\right].}$$

Al reescribir la matriz en forma de ecuación, se obtiene: $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=-{\frac {1}{16}}z\\y&=-{\frac {13}{8}}z.\end{aligned}}}$$

Los elementos del núcleo pueden expresarse además en forma vectorial paramétrica , como sigue: $${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=c{\begin{bmatrix}-1/16\\-13/8\\1\end{bmatrix}}\quad ({\text{where }}c\in \mathbb {R} )}$$

Dado que c es una variable libre que abarca todos los números reales, esto se puede expresar igualmente bien como: $${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=c{\begin{bmatrix}-1\\-26\\16\end{bmatrix}}.}$$ El núcleo de A es precisamente el conjunto solución de estas ecuaciones (en este caso, una recta que pasa por el origen en R³ ). Aquí, el vector (−1,−26,16) ^T constituye una base del núcleo de A. Por lo tanto ^, la nulidad de A es 1, ya que está generado por un único vector.

Los siguientes productos escalares son cero: $${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&3&5\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-1\\-26\\16\end{bmatrix}}=0\quad \mathrm {and} \quad {\begin{bmatrix}-4&2&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-1\\-26\\16\end{bmatrix}}=0,}$$lo cual ilustra que los vectores en el núcleo de A son ortogonales a cada uno de los vectores fila de A.

Estos dos vectores fila (linealmente independientes) abarcan el espacio fila de A , un plano ortogonal al vector (−1,−26,16) ^T.

Con el rango 2 de A , la nulidad 1 de A y la dimensión 3 de A , tenemos una ilustración del teorema de rango-nulidad.

• Si L : R ^m → R ⁿ , entonces el núcleo de L es el conjunto solución de un sistema homogéneo de ecuaciones lineales . Como en la ilustración anterior, si L es el operador:$${\displaystyle L(x_{1},x_{2},x_{3})=(2x_{1}+3x_{2}+5x_{3},\;-4x_{1}+2x_{2}+3x_{3})}$$entonces el núcleo de L es el conjunto de soluciones de las ecuaciones$${\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x_{1}&\;+\;&3x_{2}&\;+\;&5x_{3}&\;=\;&0\\-4x_{1}&\;+\;&2x_{2}&\;+\;&3x_{3}&\;=\;&0\end{alignedat}}}$$
• Sea C [0,1] el espacio vectorial de todas las funciones continuas de valor real en el intervalo [0,1], y definamos L : C [0,1] → R mediante la regla$${\displaystyle L(f)=f(0.3).}$$Entonces, el núcleo de L consiste en todas las funciones f ∈ C [0,1] para las cuales f (0.3) = 0 .
• Sea C ^∞ ( R ) el espacio vectorial de todas las funciones infinitamente diferenciables R → R , y sea D : C ^∞ ( R ) → C ^∞ ( R ) el operador de diferenciación :$${\displaystyle D(f)={\frac {df}{dx}}.}$$Entonces, el núcleo de D consiste en todas las funciones en C ^∞ ( R ) cuyas derivadas son cero, es decir, el conjunto de todas las funciones constantes .
• Sea R ^∞ el producto directo de infinitas copias de R , y sea s : R ^∞ → R ^∞ el operador de desplazamiento.$${\displaystyle s(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},\ldots )=(x_{2},x_{3},x_{4},\ldots ).}$$Entonces, el núcleo de s es el subespacio unidimensional que consta de todos los vectores ( x ₁ , 0, 0, 0, ...) .
• Si V es un espacio con producto interno y W es un subespacio, el núcleo de la proyección ortogonal V → W es el complemento ortogonal de W en V.

La base del núcleo de una matriz se puede calcular mediante la eliminación gaussiana .

Para ello, dada una matriz A de m × n , primero construimos la matriz aumentada por filas.${\displaystyle {\begin{bmatrix}A\\\hline I\end{bmatrix}},}$donde I es la matriz identidad n × n .

Calculando su forma escalonada de columna mediante eliminación gaussiana (o cualquier otro método adecuado), obtenemos una matriz${\displaystyle {\begin{bmatrix}B\\\hline C\end{bmatrix}}.}$Una base del núcleo de A consiste en las columnas no nulas de C tales que la columna correspondiente de B es una columna nula .

De hecho, el cálculo puede detenerse tan pronto como la matriz superior esté en forma escalonada por columnas: el resto del cálculo consiste en cambiar la base del espacio vectorial generado por las columnas cuya parte superior es cero.

Por ejemplo, supongamos que $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&0&-3&0&2&-8\\0&1&5&0&-1&4\\0&0&0&1&7&-9\\0&0&0&0&0&0\end{bmatrix}}.}$$ Entonces $${\displaystyle {\begin{bmatrix}A\\\hline I\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&-3&0&2&-8\\0&1&5&0&-1&4\\0&0&0&1&7&-9\\0&0&0&0&0&0\\\hline 1&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&1\end{bmatrix}}.}$$

Al colocar la parte superior en forma escalonada de columnas mediante operaciones de columna en toda la matriz se obtiene $${\displaystyle {\begin{bmatrix}B\\\hline C\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&0\\\hline 1&0&0&3&-2&8\\0&1&0&-5&1&-4\\0&0&0&1&0&0\\0&0&1&0&-7&9\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&1\end{bmatrix}}.}$$

Las últimas tres columnas de B son columnas cero. Por lo tanto, los tres últimos vectores de C , $${\displaystyle \left[\!\!{\begin{array}{r}3\\-5\\1\\0\\0\\0\end{array}}\right],\;\left[\!\!{\begin{array}{r}-2\\1\\0\\-7\\1\\0\end{array}}\right],\;\left[\!\!{\begin{array}{r}8\\-4\\0\\9\\0\\1\end{array}}\right]}$$ son una base del núcleo de A.

Prueba de que el método calcula el núcleo: Dado que las operaciones de columna corresponden a la postmultiplicación por matrices invertibles, el hecho de que${\displaystyle {\begin{bmatrix}A\\\hline I\end{bmatrix}}}$se reduce a${\displaystyle {\begin{bmatrix}B\\\hline C\end{bmatrix}}}$significa que existe una matriz invertible${\displaystyle P}$de tal manera que${\displaystyle {\begin{bmatrix}A\\\hline I\end{bmatrix}}P={\begin{bmatrix}B\\\hline C\end{bmatrix}},}$con${\displaystyle B}$en forma escalonada de columna. Por lo tanto${\displaystyle AP=B}$,${\displaystyle IP=C}$, y${\displaystyle AC=B}$. Un vector columna${\displaystyle \mathbf {v} }$pertenece al núcleo de${\displaystyle A}$(eso es${\displaystyle A\mathbf {v} =\mathbf {0} }$) si y solo si${\displaystyle B\mathbf {w} =\mathbf {0} ,}$dónde${\displaystyle \mathbf {w} =P^{-1}\mathbf {v} =C^{-1}\mathbf {v} }$. Como${\displaystyle B}$está en forma escalonada de columna,${\displaystyle B\mathbf {w} =\mathbf {0} }$, si y solo si las entradas no nulas de${\displaystyle \mathbf {w} }$corresponden a las columnas cero de${\displaystyle B}$. Multiplicando por${\displaystyle C}$, se puede deducir que este es el caso si y solo si${\displaystyle \mathbf {v} =C\mathbf {w} }$es una combinación lineal de las columnas correspondientes de${\displaystyle C}$.

El problema de calcular el núcleo en un ordenador depende de la naturaleza de los coeficientes.

• "Núcleo de una matriz" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Khan Academy , Introducción al espacio nulo de una matriz