Parametrix

En matemáticas , y específicamente en el campo de las ecuaciones diferenciales parciales (EDP), una parametrix es una aproximación a una solución fundamental de una EDP, y es esencialmente una inversa aproximada de un operador diferencial.

A menudo, construir una parametría para un operador diferencial es más sencillo que construir una solución fundamental, y para muchos propósitos resulta casi igual de eficaz. En ocasiones, es posible construir una solución fundamental a partir de una parametría mejorándola iterativamente.

Es útil repasar cuál es una solución fundamental para un operador diferencial P ( D ) con coeficientes constantes: es una distribución u en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$de tal manera que

${\displaystyle P(D){u(x)}=\delta (x)~,}$

en el sentido débil , donde δ es la distribución delta de Dirac .

De manera similar, una parametría para un operador diferencial de coeficiente variable P ( x,D ) es una distribución u tal que

${\displaystyle P(x,D){u(x)}=\delta (x)+\omega (x)~,}$

donde ω es alguna función C ^∞ con soporte compacto.

La parametriza es un concepto útil en el estudio de operadores diferenciales elípticos y, más generalmente, de operadores pseudodiferenciales hipoelípticos con coeficiente variable, ya que para tales operadores sobre dominios apropiados se puede demostrar que existe una parametriza, que se puede construir con relativa facilidad ^{[ 1 ]} y que es una función suave lejos del origen. ^{[ 2 ]}

Habiendo encontrado la expresión analítica de la parametriza, es posible calcular la solución de la ecuación diferencial parcial elíptica bastante general asociada resolviendo una ecuación integral de Fredholm asociada : además, la estructura misma de la parametriza revela propiedades de la solución del problema sin siquiera calcularla, como su suavidad ^{[ 3 ]} y otras propiedades cualitativas.

De forma más general, si L es cualquier operador pseudodiferencial de orden p , entonces otro operador pseudodiferencial L ⁺ de orden –p se denomina parametriza para L si los operadores

${\displaystyle L\circ L^{+}-I,\quad L^{+}\circ LI}$

son ambos operadores pseudodiferenciales de orden negativo. Los operadores L y L ⁺ admitirán extensiones continuas a aplicaciones entre los espacios de Sobolev H ^s y H ^{s + k} .

En una variedad compacta, las diferencias anteriores son operadores compactos . En este caso, el operador original L define un operador de Fredholm entre los espacios de Sobolev. ^{[ 4 ]}

Jacques Hadamard descubrió una construcción explícita de una parametriza para operadores diferenciales parciales de segundo orden basada en desarrollos de series de potencias . Esta parametriza se puede aplicar al operador de Laplace , a la ecuación de ondas y a la ecuación del calor .

En el caso de la ecuación del calor o la ecuación de onda, donde existe un parámetro de tiempo t distinguido , el método de Hadamard consiste en tomar la solución fundamental del operador diferencial de coeficientes constantes, obtenida al congelar los coeficientes en un punto fijo, y buscar una solución general como producto de esta solución, a medida que varía el punto, por una serie de potencias formal en t . El término constante es 1 y los coeficientes superiores son funciones determinadas recursivamente como integrales en una sola variable.

En general, la serie de potencias no convergerá, sino que proporcionará únicamente una expansión asintótica de la solución exacta. Una truncación adecuada de la serie de potencias genera entonces una parametrix. ^{[ 5 ] [ 6 ]}

A menudo se puede utilizar una parametrix suficientemente buena para construir una solución fundamental exacta mediante un procedimiento iterativo convergente como sigue ( Berger, Gauduchon y Mazet 1971 ) .

Si L es un elemento de un anillo con multiplicación * tal que

${\displaystyle L*P=1+R}$

para alguna inversa derecha aproximada P y un término de resto "suficientemente pequeño" R entonces, al menos formalmente,

${\displaystyle L*P*(1-R+R*RR*R*R+\cdots )=1}$

Entonces, si la serie infinita tiene sentido, L tiene un inverso derecho.

${\displaystyle P-P*R+P*R*R-P*R*R*R+\cdots }$.

Si L es un operador pseudodiferencial y P es una parametriza, esto da una inversa derecha de L , en otras palabras, una solución fundamental, siempre que R sea "lo suficientemente pequeño", lo que en la práctica significa que debe ser un operador de suavizado suficientemente bueno.

Si P y R están representados por funciones, entonces la multiplicación * de operadores pseudodiferenciales corresponde a la convolución de funciones, por lo que los términos de la suma infinita que da la solución fundamental de L implican la convolución de P con copias de R.

• Bejancu, A. (2001) [1994], "Método Parametrix" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
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