formalismo resolvente

En matemáticas , el formalismo resolvente es una técnica para aplicar conceptos del análisis complejo al estudio del espectro de operadores en espacios de Banach y espacios más generales. La justificación formal de estas manipulaciones se encuentra en el marco del cálculo funcional holomorfo .

La resolvente captura las propiedades espectrales de un operador en la estructura analítica del funcional . Dado un operador A , la resolvente puede definirse como

${\displaystyle R(z;A)=(A-zI)^{-1}~.}$

Entre otros usos, la resolvente puede utilizarse para resolver las ecuaciones integrales de Fredholm no homogéneas ; un enfoque comúnmente utilizado es una solución en serie, la serie de Liouville-Neumann .

La resolvente de A se puede utilizar para obtener directamente información sobre la descomposición espectral de A. Por ejemplo, supongamos que λ es un valor propio aislado en el espectro de A. Es decir, supongamos que existe una curva cerrada simple.${\displaystyle C_{\lambda }}$ en el plano complejo que separa λ del resto del espectro de A. Entonces el residuo

${\displaystyle -{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C_{\lambda }}(A-zI)^{-1}~dz}$

define un operador de proyección sobre el espacio propio λ de A. El teorema de Hille-Yosida relaciona la resolvente mediante una transformada de Laplace con una integral sobre el grupo uniparamétrico de transformaciones generado por A. ^{[ 1 ]} Así, por ejemplo, si A es una matriz antihermítica , entonces U ( t ) = exp( tA ) es un grupo uniparamétrico de operadores unitarios. Siempre que${\displaystyle |z|>\|A\|}$La resolvente de A en z puede expresarse como la transformada de Laplace.

${\displaystyle R(z;A)=\int _{0}^{\infty }e^{-zt}U(t)~dt,}$

donde la integral se toma a lo largo del rayo.${\displaystyle \arg t=-\arg \lambda }$. ^{[ 2 ]}

El primer uso importante del operador resolvente como serie en A (cf. serie de Liouville-Neumann ) fue realizado por Ivar Fredholm , en un artículo fundamental de 1903 en Acta Mathematica que ayudó a establecer la teoría moderna de operadores .

El nombre de la resolución fue propuesto por David Hilbert .

Para todo z, w en ρ ( A ) , el conjunto resolvente de un operador A , tenemos que se cumple la primera identidad resolvente (también llamada identidad de Hilbert): ^{[ 3 ]}

${\displaystyle R(z;A)-R(w;A)=(zw)R(z;A)R(w;A)\,.}$

(Nótese que Dunford y Schwartz , citados, definen la resolvente como ( zI −A ) ⁻¹ , en cambio, por lo que la fórmula anterior difiere en signo de la suya).

La segunda identidad resolvente es una generalización de la primera identidad resolvente, anterior, útil para comparar las resolventes de dos operadores distintos. Dados los operadores A y B , ambos definidos en el mismo espacio lineal, y z en ρ ( A )  ∩ ρ ( B ),  se cumple la siguiente identidad, ^{[ 4 ]}

${\displaystyle R(z;A)-R(z;B)=R(z;A)(BA)R(z;B)\,.}$

Una demostración en una sola línea es la siguiente:

${\displaystyle (A-zI)^{-1}-(B-zI)^{-1}=(A-zI)^{-1}((B-zI)-(A-zI))(B-zI)^{-1}=(A-zI)^{-1}(BA)(B-zI)^{-1}\,.}$

Al estudiar un operador cerrado no acotado A : H → H en un espacio de Hilbert H , si existe${\displaystyle z\in \rho (A)}$de tal manera que${\displaystyle R(z;A)}$es un operador compacto , decimos que A tiene resolvente compacto. El espectro${\displaystyle \sigma (A)}$de tal A es un subconjunto discreto de${\displaystyle \mathbb {C} }$. Si además A es autoadjunto , entonces${\displaystyle \sigma (A)\subset \mathbb {R} }$y existe una base ortonormal${\displaystyle \{v_{i}\}_{i\in \mathbb {N} }}$de autovectores de A con autovalores${\displaystyle \{\lambda _{i}\}_{i\in \mathbb {N} }}$respectivamente. Además,${\displaystyle \{\lambda _{i}\}}$no tiene un punto de acumulación finito . ^{[ 5 ]}

• Conjunto de solventes
• Teorema de Stone sobre grupos unitarios uniparamétricos
• Cálculo funcional holomorfo
• Teoría espectral
• Operador compacto
• Transformación de Laplace
• teoría de Fredholm
• Serie Liouville-Neumann
• Descomposición del espectro (análisis funcional)
• Principio de absorción límite

• Dunford, Nelson ; Schwartz, Jacob T. (1988), Operadores lineales, Parte I Teoría general , Hoboken, NJ: Wiley-Interscience, ISBN 0-471-60848-3
• Fredholm, Erik I. (1903), "Sur une classe d'equations fonctionnelles" (PDF) , Acta Mathematica , 27 : 365– 390, doi : 10.1007/bf02421317
• Hille, Einar ; Phillips, Ralph S. (1957), Análisis funcional y semigrupos , Providence: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1031-6{{citation}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda ) .
• Kato, Tosio (1980), Teoría de perturbaciones para operadores lineales (2.ª  ed.), Nueva York, NY: Springer-Verlag, ISBN 0-387-07558-5.
• Taylor, Michael E. (1996), Ecuaciones diferenciales parciales I , Nueva York, NY: Springer-Verlag, ISBN 7-5062-4252-4