Residuo (análisis complejo)

En matemáticas , más específicamente en análisis complejo , el residuo de una función en un punto de su dominio es un número complejo proporcional a la integral de contorno de una función meromorfa a lo largo de una trayectoria que encierra una de sus singularidades . (De forma más general, los residuos se pueden calcular para cualquier función que sea ${\displaystyle f:\mathbb {C} \smallsetminus \{a_{k}\}_{k}\rightarrow \mathbb {C} }$holomorfa excepto en los puntos discretos ,${\displaystyle \{a_{k}\}_{k}}$ que pueden incluir singularidades esenciales ) . Los residuos suelen calcularse fácilmente y, una vez conocidos, permiten determinar integrales de contorno generales mediante el teorema de los residuos .

El residuo de una función meromorfa en una singularidad aislada ⁠ ⁠ , a menudo denotada ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ o ⁠ ⁠ , es el único valor ⁠ ⁠ tal que ⁠ ⁠ tiene una antiderivada analítica en un disco perforado ⁠ ⁠ . ${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \textstyle \operatorname {Res} (f,a)}$${\displaystyle \textstyle \operatorname {Res} _ {a}(f)}$${\displaystyle {1}}$${\displaystyle \textstyle \mathop {\operatorname {res} } _ {z=a}f(z)}$${\displaystyle R}$${\displaystyle f(z)-R/(za)}$${\displaystyle 0<\vert za\vert <\delta}$

Alternativamente, los residuos se pueden calcular encontrando expansiones en serie de Laurent , y se puede definir el residuo como el coeficiente de una${\displaystyle a_{-1}}$ serie de Laurent.

El concepto puede utilizarse para proporcionar valores de integración de contorno de ciertos problemas de integral de contorno considerados en el teorema de los residuos . Según el teorema de los residuos , para una función meromorfa ⁠ ⁠${\displaystyle f}$ , el residuo en el punto ⁠ ⁠${\displaystyle a_{k}}$ viene dado por:

${\displaystyle \operatorname {Res} (f,a_{k})={1 \over 2\pi i}\oint _{\gamma }f(z)\,dz\,.}$

donde es una curva cerrada simple orientada positivamente alrededor de ⁠ ⁠ y que no incluye ninguna otra singularidad sobre o dentro de la curva. ${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle a_{k}}$

La definición de residuo puede generalizarse a superficies de Riemann arbitrarias . Supongamos que ⁠ ⁠${\displaystyle \omega }$ es una 1-forma en una superficie de Riemann. Sea meromorfa en algún punto  ⁠ ⁠ , de modo que podemos escribir ⁠ ⁠ en coordenadas locales como ⁠ ⁠ . Entonces, el residuo de ⁠ ⁠ en ⁠ ⁠ se define como el residuo de ⁠ ⁠ en el punto correspondiente a ⁠ ⁠ . ${\displaystyle \omega }$${\displaystyle x}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle f(z)\,dz}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle x}$${\displaystyle f(z)}$${\displaystyle x}$

Calcular el residuo de un monomio

${\displaystyle \oint _{C}z^{k}\,dz}$

facilita la mayoría de los cálculos de residuos. Dado que los cálculos de integrales de trayectoria son invariantes por homotopía , consideraremos que es el círculo con radio que va en sentido contrario a las agujas del reloj. Entonces, usando el cambio de coordenadas, encontramos que ${\displaystyle C}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle z\to e^{i\theta }}$

${\displaystyle dz\to d(e^{i\theta })=ie^{i\theta }\,d\theta }$

por lo tanto esta integral ahora se lee como

${\displaystyle \oint _{C}z^{k}dz=\int _{0}^{2\pi }ie^{i(k+1)\theta }\,d\theta ={\begin{cases}2\pi i&{\text{si }}k=-1,\\0&{\text{en otro caso}}.\end{cases}}}$

Por lo tanto, el residuo de ⁠ ⁠${\displaystyle z^{k}}$ es ⁠ ⁠${\displaystyle 1}$ si es entero ⁠ ⁠${\displaystyle k=-1}$ y ⁠ ⁠${\displaystyle 0}$ en caso contrario.

Si una función se expresa como una expansión en serie de Laurent alrededor de ⁠ ⁠${\displaystyle c}$ de la siguiente manera: Entonces, el residuo en el punto ⁠ ⁠ se calcula como: utilizando los resultados de la integral de contorno de un monomio para la integral de contorno en sentido antihorario ⁠ ⁠ alrededor de un punto ⁠ ⁠ . Por lo tanto, si existe una representación en serie de Laurent de una función alrededor de ⁠ ⁠ , entonces su residuo alrededor de ⁠ ⁠ se conoce por el coeficiente del término ⁠ ⁠ . $${\displaystyle f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(zc)^{n}.}$$${\displaystyle c}$$${\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)={1 \over 2\pi i}\oint _{\gamma }f(z)\,dz={1 \over 2\pi i}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\oint _{\gamma }a_{n}(zc)^{n}\,dz=a_{-1}}$$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle c}$${\displaystyle c}$${\displaystyle c}$${\displaystyle (zc)^{-1}}$

Para una función meromorfa ⁠ ⁠${\displaystyle f}$ , con un conjunto finito de singularidades dentro de una curva cerrada simple orientada positivamente que no pasa por ninguna singularidad, el valor de la integral de contorno viene dado según el teorema de los residuos , como: donde ⁠ ⁠ , el número de vueltas , es ⁠ ⁠ si ⁠ ⁠ está en el interior de ⁠ ⁠ y ⁠ ⁠ si no, simplificando a: donde ⁠ ⁠ son todas singularidades aisladas dentro del contorno ⁠ ⁠ . ${\displaystyle C}$$${\displaystyle \oint _{C}f(z)\,dz=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\operatorname {I} (C,a_{k})\operatorname {Res} (f,a_{k}).}$$${\displaystyle \operatorname {I} (C,a_{k})}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle a_{k}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle 0}$$${\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz=2\pi i\sum \operatorname {Res} (f,a_{k})}$$${\displaystyle a_{k}}$${\displaystyle C}$

Supongamos que se da un disco perforado en el plano complejo y que es una función holomorfa definida (al menos) en . El residuo de en es el coeficiente de en el desarrollo en${\displaystyle D=\{z:0<\vert zc\vert <R\}}$ serie de Laurent${\displaystyle f}$ de alrededor de . Existen varios métodos para${\displaystyle D}$ calcular este valor ${\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)}$, y la elección del método a utilizar depende de la función en cuestión y${\displaystyle f}$ de la naturaleza de la singularidad. ${\displaystyle c}$${\displaystyle a_{-1}}$${\displaystyle (zc)^{-1}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle c}$

Según el teorema de los residuos , tenemos:

${\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)={1 \over 2\pi i}\oint _{\gamma }f(z)\,dz}$

donde ⁠ ⁠${\displaystyle \gamma }$ traza un círculo alrededor de ⁠ ⁠${\displaystyle c}$ en sentido antihorario y no pasa por ni contiene otras singularidades en su interior. Podemos elegir que la trayectoria ⁠ ⁠${\displaystyle \gamma }$ sea un círculo de radio ⁠ ⁠${\displaystyle \varepsilon }$ alrededor de ⁠ ⁠${\displaystyle c}$ . Dado que ⁠ ⁠${\displaystyle \varepsilon }$ puede ser tan pequeño como deseemos, puede hacerse que contenga solo la singularidad de ⁠ ⁠${\displaystyle c}$ debido a la naturaleza de las singularidades aisladas. Esto puede usarse para el cálculo en casos donde la integral se puede calcular directamente, pero generalmente es el caso en el que se usan residuos para simplificar el cálculo de integrales, y no al revés.

Si la función ⁠ ⁠${\displaystyle f}$ puede continuarse a una función holomorfa en todo el disco ⁠ ⁠${\displaystyle \vert yc\vert <R}$ , entonces ⁠ ⁠${\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)=0}$ . Lo contrario no es cierto en general.

Si ⁠ ⁠${\displaystyle c}$ es un polo simple de ⁠ ⁠${\displaystyle f}$ , el residuo de ⁠ ⁠${\displaystyle f}$ viene dado por:

${\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)=\lim _{z\to c}(zc)f(z).}$

Si ese límite no existe, entonces ⁠ ⁠${\displaystyle f}$ tiene una singularidad esencial en ⁠ ⁠${\displaystyle c}$ . Si el límite es ⁠ ⁠${\displaystyle 0}$ , entonces ⁠ ⁠${\displaystyle f}$ es analítica en ⁠ ⁠${\displaystyle c}$ o tiene una singularidad removible allí. Si el límite es igual a infinito, entonces el orden del polo es mayor que ⁠ ⁠${\displaystyle 1}$ .

Puede que la función ⁠ ⁠${\displaystyle f}$ se pueda expresar como un cociente de dos funciones, ⁠ ⁠${\displaystyle f(z)={g(z)}/{h(z)}}$ , donde ⁠ ⁠${\displaystyle g}$ y ⁠ ⁠${\displaystyle h}$ son funciones holomorfas en un entorno de ⁠ ⁠${\displaystyle c}$ , con ⁠ ⁠${\displaystyle h(c)=0}$ y  ⁠ ⁠${\displaystyle h'(c)\neq 0}$ . En tal caso, se puede utilizar la regla de L'Hôpital para simplificar la fórmula anterior a:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Res} (f,c)&=\lim _{z\to c}(zc)f(z)=\lim _{z\to c}{\frac {zg(z)-cg(z)}{h(z)}}\\[4pt]&=\lim _{z\to c}{\frac {g(z)+zg'(z)-cg'(z)}{h'(z)}}={\frac {g(c)}{h'(c)}}.\end{aligned}}}$

De forma más general, si ⁠ ⁠${\displaystyle c}$ es un polo de orden ⁠ ⁠${\displaystyle p}$ , entonces el residuo de ⁠ ⁠${\displaystyle f}$ alrededor de ⁠ ⁠${\displaystyle z=c}$ se puede encontrar mediante la fórmula:

${\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)={\frac {1}{(p-1)!}}\lim _{z\to c}{\frac {d^{p-1}}{dz^{p-1}}}\left((z-c)^{p}f(z)\right).}$

Esta fórmula puede ser muy útil para determinar los residuos de polos de orden bajo. Para polos de orden superior, los cálculos pueden volverse inmanejables, y el desarrollo en serie suele ser más sencillo. Para singularidades esenciales , no existe una fórmula tan simple, y los residuos generalmente deben obtenerse directamente del desarrollo en serie.

En general, el residuo en el infinito se define como:

${\displaystyle \operatorname {Res} (f(z),\infty )=-{\operatorname {Res} }\left({\frac {1}{z^{2}}}f\left({\frac {1}{z}}\right),0\right).}$

Si se cumple la siguiente condición:

${\displaystyle \lim _{|z|\to \infty }f(z)=0,}$

Entonces, el residuo en el infinito se puede calcular utilizando la siguiente fórmula:

${\displaystyle \operatorname {Res} (f,\infty )=-\lim _{|z|\to \infty }zf(z).}$

Si en cambio

${\displaystyle \lim _{|z|\to \infty }f(z)=c\neq 0,}$

entonces el residuo en el infinito es

${\displaystyle \operatorname {Res} (f,\infty )=\lim _{|z|\to \infty }z^{2}f'(z).}$

Para funciones que son meromorfas en todo el plano complejo con un número finito de singularidades, la suma de los residuos en las singularidades (necesariamente) aisladas más el residuo en el infinito es cero, lo que da como resultado:

${\displaystyle \operatorname {Res} (f(z),\infty )=-\sum _{k}\operatorname {Res} (f(z),a_{k}).}$

Si una función, total o parcialmente, puede desarrollarse en una serie de Taylor o de Laurent , lo cual es posible si dicha función tiene un desarrollo en serie estándar, entonces calcular el residuo resulta significativamente más sencillo que con otros métodos. El residuo de la función se obtiene simplemente a partir del coeficiente de ⁠ ⁠${\displaystyle (z-c)^{-1}}$ en el desarrollo en serie de Laurent .

Como ejemplo, consideremos la integral de contorno.

${\displaystyle \oint _{C}{e^{z} \over z^{5}}\,dz}$

donde ⁠ ⁠${\displaystyle C}$ es alguna curva cerrada simple alrededor de ⁠ ⁠${\displaystyle 0}$ .

Evalúemos esta integral utilizando un resultado de convergencia estándar sobre la integración por series. Sustituyendo la serie de Taylor para ⁠ ⁠${\displaystyle e^{z}}$ en el integrando, la integral se convierte en

${\displaystyle \oint _{C}{1 \over z^{5}}\left(1+z+{z^{2} \over 2!}+{z^{3} \over 3!}+{z^{4} \over 4!}+{z^{5} \over 5!}+{z^{6} \over 6!}+\cdots \right)\,dz.}$

Introduzcamos el término en la serie. La integral de contorno de la serie se escribe entonces${\displaystyle 1/z^{5}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\oint _{C}\left({1 \over z^{5}}+{z \over z^{5}}+{z^{2} \over 2!\;z^{5}}+{z^{3} \over 3!\;z^{5}}+{z^{4} \over 4!\;z^{5}}+{z^{5} \over 5!\;z^{5}}+{z^{6} \over 6!\;z^{5}}+\cdots \right)\,dz\\[4pt]={}&\oint _{C}\left({1 \over \;z^{5}}+{1 \over \;z^{4}}+{1 \over 2!\;z^{3}}+{1 \over 3!\;z^{2}}+{1 \over 4!\;z}+{1 \over \;5!}+{z \over 6!}+\cdots \right)\,dz.\end{aligned}}}$

Dado que la serie converge uniformemente en el soporte de la trayectoria de integración, podemos intercambiar la integración y la suma. La serie de integrales de trayectoria se reduce entonces a una forma mucho más simple debido al cálculo anterior. Así que ahora la integral alrededor de ⁠ ⁠${\displaystyle C}$ de cada segundo término que no tiene la forma ⁠ ⁠${\displaystyle cz^{-1}}$ es cero, y la integral se reduce a

${\displaystyle \oint _{C}{1 \over 4!\,z}\,dz={1 \over 4!}\oint _{C}{1 \over z}\,dz={1 \over 4!}(2\pi i)={\pi i \over 12}.}$

El valor 1/4! es el residuo de ⁠ ⁠${\displaystyle e^{z}/z^{5}}$ en ⁠ ⁠${\displaystyle z=0}$ , y se denota

${\displaystyle \operatorname {Res} _{0}{e^{z} \over z^{5}},{\text{ or }}\operatorname {Res} _{z=0}{e^{z} \over z^{5}},{\text{ or }}\operatorname {Res} (f,0){\text{ for }}f={e^{z} \over z^{5}}.}$

Como segundo ejemplo, consideremos el cálculo de los residuos en las singularidades de la función que se puede utilizar para calcular ciertas integrales de contorno. Esta función parece tener una singularidad en ⁠ ⁠ , pero si se factoriza el denominador y se escribe la función como es evidente que la singularidad en ⁠ ⁠ es una singularidad removible y, por lo tanto, el residuo en ⁠ ⁠ es ⁠ ⁠ . La única otra singularidad está en ⁠ ⁠ . Recordemos la expresión para la serie de Taylor para una función ⁠ ⁠ alrededor de ⁠ ⁠ : Entonces, para ⁠ ⁠ y ⁠ ⁠ tenemos y para ⁠ ⁠ y ⁠ ⁠ tenemos Multiplicando esas dos series e introduciendo ⁠ ⁠ obtenemos Entonces el residuo de ⁠ ⁠ en ⁠ ⁠ es ⁠ ⁠ . $${\displaystyle f(z)={\sin z \over z^{2}-z}}$$${\displaystyle z=0}$$${\displaystyle f(z)={\sin z \over z(z-1)}}$$${\displaystyle z=0}$${\displaystyle z=0}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle z=1}$${\displaystyle g(z)}$${\displaystyle z=a}$$${\displaystyle g(z)=g(a)+g'(a)(z-a)+{g''(a)(z-a)^{2} \over 2!}+{g'''(a)(z-a)^{3} \over 3!}+\cdots .}$$${\displaystyle g(z)=\sin z}$${\displaystyle a=1}$$${\displaystyle \sin z=\sin 1+(\cos 1)(z-1)+{-(\sin 1)(z-1)^{2} \over 2!}+{-(\cos 1)(z-1)^{3} \over 3!}+\cdots ,}$$${\displaystyle g(z)=1/z}$${\displaystyle a=1}$$${\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {1}{(z-1)+1}}=1-(z-1)+(z-1)^{2}-(z-1)^{3}+\cdots .}$$${\displaystyle 1/(z-1)}$$${\displaystyle {\frac {\sin z}{z(z-1)}}={\sin 1 \over z-1}+(\cos 1-\sin 1)+(z-1)\left(-{\frac {\sin 1}{2!}}-\cos 1+\sin 1\right)+\cdots .}$$${\displaystyle f(z)}$${\displaystyle z=1}$${\displaystyle \sin 1}$

El siguiente ejemplo muestra que, al calcular un residuo mediante expansión en serie, el teorema de inversión de Lagrange juega un papel importante . Sea una función entera , y sea con radio de convergencia positivo , y con ⁠ ⁠ . Entonces ⁠ ⁠ tiene una inversa local ⁠ ⁠ en ⁠ ⁠ , y es meromorfa en ⁠ ⁠ . Entonces tenemos: En efecto, porque la primera serie converge uniformemente en cualquier círculo pequeño alrededor de ⁠ ⁠ . Usando el teorema de inversión de Lagrange y obtenemos la expresión anterior. Por ejemplo, si y también ⁠ ⁠ , entonces y El primer término contribuye ⁠ ⁠ al residuo, y el segundo término contribuye ⁠ ⁠ ya que es asintótico a ⁠ ⁠ . $${\displaystyle u(z):=\sum _{k\geq 1}u_{k}z^{k}}$$$${\displaystyle v(z):=\sum _{k\geq 1}v_{k}z^{k}}$$${\displaystyle v_{1}\neq 0}$${\displaystyle v(z)}$${\displaystyle V(z)}$${\displaystyle 0}$${\textstyle u(1/V(z))}$${\displaystyle 0}$$${\displaystyle \operatorname {Res} _{0}{\big (}u(1/V(z)){\big )}=\sum _{k=0}^{\infty }ku_{k}v_{k}.}$$$${\displaystyle \operatorname {Res} _{0}{\big (}u(1/V(z)){\big )}=\operatorname {Res} _{0}\left(\sum _{k\geq 1}u_{k}V(z)^{-k}\right)=\sum _{k\geq 1}u_{k}\operatorname {Res} _{0}{\big (}V(z)^{-k}{\big )}}$$${\displaystyle 0}$$${\displaystyle \operatorname {Res} _{0}{\big (}V(z)^{-k}{\big )}=kv_{k},}$$${\displaystyle u(z)=z+z^{2}}$${\displaystyle v(z)=z+z^{2}}$$${\displaystyle V(z)={\frac {2z}{1+{\sqrt {1+4z}}}}}$$$${\displaystyle u(1/V(z))={\frac {1+{\sqrt {1+4z}}}{2z}}+{\frac {1+2z+{\sqrt {1+4z}}}{2z^{2}}}.}$$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle 1/z^{2}+2/z}$

Con las correspondientes suposiciones simétricas más fuertes sobre ⁠ ⁠${\displaystyle u(z)}$ y ⁠ ⁠${\displaystyle v(z)}$ , también se deduce que donde ⁠ ⁠ es una inversa local de ⁠ ⁠ en  ⁠ ⁠ . $${\displaystyle \operatorname {Res} _{0}\left(u(1/V)\right)=\operatorname {Res} _{0}\left(v(1/U)\right),}$$${\displaystyle U(z)}$${\displaystyle u(z)}$${\displaystyle 0}$

• Teorema de los residuos
• Fórmula integral de Cauchy
• Teorema integral de Cauchy
• Teorema de Mittag-Leffler
• Métodos de integración de contornos
• Teorema de Morera
• Fracciones parciales en análisis complejo

• Ahlfors, Lars (1979). Análisis complejo . McGraw Hill.
• Marsden, Jerrold E.; Hoffman, Michael J. (1998). Análisis complejo básico (3.ª ed.). WH Freeman. ISBN 978-0-7167-2877-1.

• "Residuo de una función analítica" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Residuo complejo" . MathWorld .