Espacio de Wiener abstracto

El concepto de espacio de Wiener abstracto es una construcción matemática desarrollada por Leonard Gross para comprender la estructura de las medidas gaussianas en espacios de dimensión infinita. Esta construcción enfatiza el papel fundamental que desempeña el espacio de Cameron-Martin . El espacio de Wiener clásico es el ejemplo prototípico.

El teorema de estructura para medidas gaussianas establece que todas las medidas gaussianas pueden representarse mediante la construcción abstracta del espacio de Wiener.

Motivación

Dejar $H$ Sea un espacio de Hilbert real , que se supone de dimensión infinita y separable . En la literatura de física, se encuentran frecuentemente integrales de la forma

{\frac {1}{Z}}\int _{H}f(v)e^{-{\frac {1}{2}}\Vert v\Vert ^{2}}Dv,

dónde $Z$ se supone que es una constante de normalización y donde $Dv$ se supone que es la inexistente medida de Lebesgue en $H$ Estas integrales surgen, en particular, en el contexto de la formulación de la integral de trayectoria euclidiana de la teoría cuántica de campos. A nivel matemático, dicha integral no puede interpretarse como una integración contra una medida en el espacio de Hilbert original. $H$ Por otro lado, supongamos que... $B$ es un espacio de Banach que contiene $H$ como un subespacio denso . Si $B$ es "suficientemente más grande" que $H$ , entonces la integral anterior puede interpretarse como una integración contra una medida (gaussiana) bien definida en $B$ En ese caso, la pareja $(H,B)$ Se le conoce como espacio de Wiener abstracto.

El ejemplo prototípico es el espacio de Wiener clásico, en el que $H$ es el espacio de Hilbert de funciones de valor real $b$ a intervalos $[0,T]$ tener primera derivada en $L^{2}$ y satisfactorio $b(0)=0$ , siendo la norma dada por

\left\Vert b\right\Vert ^{2}=\int _{0}^{T}b'(t)^{2}\,dt.

En ese caso, $B$ puede tomarse como el espacio de Banach de funciones continuas en $[0,T]$ con la norma suprema . En este caso, la medida en $B$ es la medida de Wiener que describe el movimiento browniano que comienza en el origen. El subespacio original $H\subset B$ Se denomina espacio de Cameron-Martin , que forma un conjunto de medida cero con respecto a la medida de Wiener.

Lo que significa el ejemplo anterior es que tenemos una expresión formal para la medida de Wiener dada por $d\mu (b)={\frac {1}{Z}}\exp \left\{-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{T}b'(t)^{2}\,dt\right\}\,Db.$

Aunque esta expresión formal sugiere que la medida de Wiener debería residir en el espacio de caminos para los cuales ${\textstyle \int _{0}^{T}b'(t)^{2}\,dt<\infty }$ , en realidad no es así, ya que se sabe que las trayectorias brownianas de muestra casi con seguridad no son diferenciables en ningún punto, aunque se puede generalizar a medidas aleatorias como distribuciones templadas a través de la función característica como medida de ruido blanco .

La construcción abstracta del espacio de Wiener de Gross abstrae la situación para el espacio de Wiener clásico y proporciona una condición necesaria y suficiente (aunque a veces difícil de comprobar) para que exista la medida gaussiana en $B$ Aunque la medida gaussiana $\mu$ sigue vivo $B$ en vez de $H$ , es la geometría de $H$ en vez de $B$ que controla las propiedades de $\mu$ . Como lo expresa el propio Gross ^{[ 1 ]} (adaptado a nuestra notación), "Sin embargo, solo se hizo evidente con el trabajo de IE Segal que trata sobre la distribución normal en un espacio de Hilbert real, que el papel del espacio de Hilbert $H$ fue de hecho fundamental, y eso en lo que respecta al análisis sobre $B$ En lo que respecta, el papel de $B$ en sí misma era auxiliar para muchos de los teoremas de Cameron y Martin, y en algunos casos incluso innecesaria." Una de las características atractivas de la construcción abstracta del espacio de Wiener de Gross es que toma $H$ como punto de partida y trata $B$ como objeto auxiliar.

Aunque las expresiones formales para $\mu$ Las expresiones que aparecen anteriormente en esta sección son expresiones puramente formales, al estilo de la física, que son muy útiles para ayudar a comprender las propiedades de $\mu$ Cabe destacar que se pueden usar fácilmente estas expresiones para derivar la fórmula (¡correcta!) para la densidad de la medida trasladada. $d\mu (b+h)$ relativo a $d\mu (b)$ , para $h\in H$ (Véase el teorema de Cameron-Martin ).

Descripción matemática

Medida del juego de cilindros en $H$

Dejar $H$ Sea un espacio de Hilbert definido sobre los números reales, que se supone de dimensión infinita y separable. Un cilindro configurado en $H$ es un conjunto definido en términos de los valores de una colección finita de funcionales lineales en $H$ . Específicamente, supongamos que $\phi _{1},\ldots ,\phi _{n}$ son funcionales lineales continuos en $H$ y $E$ es un conjunto de Borel en $\mathbb {R} ^{n}$ Entonces podemos considerar el conjunto $C=\left\{v\in H\mid (\phi _{1}(v),\ldots ,\phi _{n}(v))\in E\right\}.$

Cualquier conjunto de este tipo se llama conjunto cilíndrico. La colección de todos los conjuntos cilíndricos forma un álgebra de conjuntos en $H,$ llamada álgebra cilíndrica . Nótese que esta álgebra no es una $\sigma$ -álgebra .

Existe una forma natural de definir una "medida" en conjuntos de cilindros, como sigue. Por el teorema de representación de Riesz , los funcionales lineales $\phi _{1},\ldots ,\phi _{n}$ se dan como el producto interno con vectores $v_{1},\ldots,v_{n}$ en $H$ . A la luz del procedimiento de Gram-Schmidt , es inofensivo suponer que $v_{1},\ldots,v_{n}$ son ortonormales. En ese caso, podemos asociar al conjunto de cilindros definido anteriormente $C$ la medida de $E$ con respecto a la medida gaussiana estándar en $\mathbb {R} ^{n}$ . Es decir, definimos $\mu (C)=(2\pi )^{-n/2}\int _{E\subset \mathbb {R} ^{n}}e^{-\Vert x\Vert ^{2}/2}\,dx,$ dónde $dx$ es la medida estándar de Lebesgue en $\mathbb {R} ^{n}$ Debido a la estructura de producto de la medida gaussiana estándar en $\mathbb {R} ^{n}$ , no es difícil demostrar que $\mu$ está bien definido. Es decir, aunque el mismo conjunto $C$ puede representarse como un conjunto de cilindros de más de una manera, el valor de $\mu (C)$ Siempre es lo mismo.

Inexistencia de la medida en $H$

El conjunto funcional $\mu$ se denomina medida estándar del conjunto del cilindro gaussiano en $H$ . Suponiendo (como lo hacemos) que $H$ es de dimensión infinita, $\mu$ no se extiende a una medida aditiva contable en el $\sigma$ -álgebra generada por la colección de conjuntos de cilindros en $H$ (es decir, no se extiende al álgebra σ cilíndrica generada por el álgebra cilíndrica). Se puede comprender la dificultad considerando el comportamiento de la medida gaussiana estándar en $\mathbb {R} ^{n},$ dado por $(2\pi )^{-n/2}e^{-\Vert x\Vert ^{2}/2}\,dx.$

El valor esperado de la norma al cuadrado con respecto a esta medida se calcula como una integral gaussiana elemental como $(2\pi )^{-n/2}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\Vert x\Vert ^{2}e^{-\Vert x\Vert ^{2}/2}\,dx=(2\pi )^{-1/2}\sum _{i=1}^{n}\int _{\mathbb {R} }x_{i}^{2}e^{-x_{i}^{2}/2}\,dx_{i}=n.$

Es decir, la distancia típica desde el origen de un vector elegido aleatoriamente según la medida gaussiana estándar en $\mathbb {R} ^{n}$ es ${\sqrt {n}}.$ Como $n$ tiende a infinito, esta distancia típica tiende a infinito, lo que indica que no existe una medida "gaussiana estándar" bien definida en $H$ . (La distancia típica desde el origen sería infinita, por lo que la medida en realidad no existiría en el espacio $H$ .)

Existencia de la medida en $B$

Ahora supongamos que $B$ es un espacio de Banach separable y que $i:H\rightarrow B$ es un mapa lineal continuo inyectivo cuya imagen es densa en $B$ Entonces es inofensivo (y conveniente) identificar $H$ con su imagen en el interior $B$ y por lo tanto considera $H$ como un subconjunto denso de $B$ . Entonces podemos construir un conjunto de medidas de cilindros en $B$ definiendo la medida de un conjunto de cilindros $C\subset B$ ser la medida del conjunto de cilindros previamente definida de $C\cap H$ , que es un cilindro colocado en $H$ .

La idea de la construcción del espacio abstracto de Wiener es que si $B$ es suficientemente más grande que $H$ , luego el cilindro ajustado mide en $B$ , a diferencia de la medida del conjunto de cilindros en $H$ , se extenderá a una medida numerablemente aditiva sobre el generado $\sigma$ -álgebra. El artículo original de Gross ^{[ 2 ]} proporciona una condición necesaria y suficiente sobre $B$ para que esto sea así. La medida en $B$ se denomina medida gaussiana y el subespacio $H\subset B$ se denomina espacio Cameron-Martin . Es importante destacar que $H$ forma un conjunto de medida cero en el interior $B$ , enfatizando que la medida gaussiana solo existe en $B$ y no en $H$ .

La conclusión de toda esta discusión es que las integrales gaussianas del tipo descrito en la sección de motivación sí tienen una interpretación matemática rigurosa, pero no residen en el espacio cuya norma aparece en el exponente de la expresión formal. Más bien, residen en un espacio más amplio.

Universalidad de la construcción

La construcción abstracta del espacio de Wiener no es simplemente un método para construir medidas gaussianas. Más bien, toda medida gaussiana en un espacio de Banach de dimensión infinita aparece de esta manera. (Véase el teorema de estructura para medidas gaussianas ). Es decir, dada una medida gaussiana $\mu$ en un espacio de Banach separable de dimensión infinita (sobre $\mathbb {R}$ ), se puede identificar un subespacio de Cameron-Martin $H\subset B$ , momento en el que la pareja $(H,B)$ se convierte en un espacio de Wiener abstracto y $\mu$ es la medida gaussiana asociada.

Propiedades

$\mu$ es una medida de Borel : se define en el σ -álgebra de Borel generada por los subconjuntos abiertos de B.
$\mu$ es una medida gaussiana en el sentido de que f _∗ ( $\mu$ ) es una medida gaussiana en R para cada funcional lineal $f \in B *$ , $f \neq 0$ .
Por eso, $\mu$ es estrictamente positivo y localmente finito.
El comportamiento de $\mu$ La traslación se describe mediante el teorema de Cameron-Martin .
Dados dos espacios de Wiener abstractos $i 1 : H 1 \to B 1$ e $i 2 : H 2 \to B 2$ , se puede demostrar que $\gamma _{12}=\gamma _{1}\otimes \gamma _{2}$ . En su totalidad: $(i_{1}\times i_{2})_{*}(\mu ^{H_{1}\times H_{2}})=(i_{1})_{*}\left(\mu ^{H_{1}}\right)\otimes (i_{2})_{*}\left(\mu ^{H_{2}}\right),$ es decir, la medida abstracta de Wiener $\mu _{12}$ en el producto cartesiano $B 1 \times B 2$ es el producto de las medidas abstractas de Wiener en los dos factores $B 1$ y $B 2$ .
Si H (y B ) son de dimensión infinita, entonces la imagen de H tiene medida cero . Este hecho es una consecuencia de la ley cero-uno de Kolmogorov .
El mapa de inclusión $i\colon H\hookrightarrow E$ es un ejemplo de un $\gamma$ - mapa radonizante , desde la medida de avance $i_{*}\mu$ es una medida de radón . Gross formuló originalmente una condición necesaria y suficiente para $\gamma$ -radonización en términos de seminormas medibles.

Ejemplo: Espacio de Wiener clásico

El ejemplo prototípico de un espacio de Wiener abstracto toma el espacio $B$ ser espacio de Wiener clásico , el espacio de caminos continuos . El subespacio $H$ es dado por

{\begin{aligned}H&:=L_{0}^{2,1}([0,T];\mathbb {R} ^{n})\\&:=\{{\text{Absolutely continuous paths starting at 0 with square-integrable first derivative}}\}\end{aligned}}

con producto interno dado por

\langle \sigma _{1},\sigma _{2}\rangle _{L_{0}^{2,1}}:=\int _{0}^{T}\langle {\dot {\sigma }}_{1}(t),{\dot {\sigma }}_{2}(t)\rangle _{\mathbb {R} ^{n}}\,dt.

El espacio clásico de Wiener $B$ es entonces el espacio de mapas continuos de $[0,T]$ en $\mathbb {R} ^{n}$ comenzando en 0, con la norma uniforme . En este caso, la medida gaussiana $\mu$ es la medida de Wiener , que describe el movimiento browniano en $\mathbb {R} ^{n}$ , partiendo del origen.

El resultado general que $H$ forma un conjunto de medida cero con respecto a $\mu$ en este caso refleja la rugosidad de la trayectoria browniana típica, que se sabe que no es diferenciable en ningún punto . Esto contrasta con la diferenciabilidad asumida de las trayectorias en $H$ .

Véase también

Medida de Besov : generalización de la medida gaussiana mediante la norma de Besov.
Teorema de Cameron-Martin : Teorema que describe la traslación de medidas gaussianas en espacios de Hilbert.
Fórmula de Boué-Dupuis - Fórmula de cálculo estocástico
Teorema de Feldman-Hájek - Teoría en teoría de la probabilidad
espacio de probabilidad gaussiano
Cálculo de Malliavin : técnicas matemáticas utilizadas en la teoría de la probabilidad y campos relacionados.
Teorema de estructura para medidas gaussianas – Teorema matemático
No existe una medida de Lebesgue de dimensión infinita – Folclore matemático Páginas que muestran breves descripciones de destinos de redireccionamiento

Referencias

↑ Gross 1967 pág. 31
↑ Bruto 1967

Bell, Denis R. (2006). El cálculo de Malliavin . Mineola, NY: Dover Publications Inc. pág. x+113. ISBN 0-486-44994-7MR 2250060 . (Véase la sección 1.1)
Gross, Leonard (1967). "Espacios abstractos de Wiener". Actas del Quinto Simposio de Berkeley sobre Estadística Matemática y Probabilidad (Berkeley, California, 1965/66), Vol. II: Contribuciones a la teoría de la probabilidad, Parte 1. Berkeley, California: Univ. California Press. págs. 31–42 . MR 0212152 .
Kuo, Hui-Hsiung (1975). Medidas gaussianas en espacios de Banach . Berlín-Nueva York: Springer. pág. 232. ISBN 978-1419645808.
Elworthy, David (2008), MA482 Análisis estocástico (PDF) , Apuntes de clase, Universidad de Warwick

[1] Gross 1967 pág. 31

[2] Bruto 1967

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