Módulo C* de Hilbert

Dejar${\displaystyle A}$sea ​​un álgebra C* (no se asume que sea conmutativa o unitaria), su involución se denota por${\displaystyle {}^{*}}$Un producto interno${\displaystyle A}$-módulo (o pre-Hilbert)${\displaystyle A}$-módulo ) es un espacio lineal complejo${\displaystyle E}$equipado con un derecho compatible${\displaystyle A}$-estructura del módulo , junto con un mapa

${\displaystyle \langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle _{A}:E\times E\rightarrow A}$

que satisface las siguientes propiedades:

• A pesar de${\displaystyle x}$,${\displaystyle y}$,${\displaystyle z}$en${\displaystyle E}$, y${\displaystyle \alpha }$,${\displaystyle \beta }$en${\displaystyle \mathbb {C} }$:

${\displaystyle \langle x,y\alpha +z\beta \rangle _{A}=\langle x,y\rangle _{A}\alpha +\langle x,z\rangle _{A}\beta }$

( es decir, el producto interno es${\displaystyle \mathbb {C} }$-lineal en su segundo argumento).

• A pesar de${\displaystyle x}$,${\displaystyle y}$en${\displaystyle E}$, y${\displaystyle a}$en${\displaystyle A}$:

${\displaystyle \langle x,ya\rangle _{A}=\langle x,y\rangle _{A}a}$

• A pesar de${\displaystyle x}$,${\displaystyle y}$en${\displaystyle E}$:

${\displaystyle \langle x,y\rangle _{A}=\langle y,x\rangle _{A}^{*},}$

de lo cual se deduce que el producto interno es lineal conjugado en su primer argumento ( es decir, es una forma sesquilineal ).

• A pesar de${\displaystyle x}$en${\displaystyle E}$:

${\displaystyle \langle x,x\rangle _{A}\geq 0}$

en el sentido de ser un elemento positivo de A y

${\displaystyle \langle x,x\rangle _{A}=0\iff x=0.}$

(Un elemento de un álgebra C*)${\displaystyle A}$Se dice que es positivo si es autoadjunto con espectro no negativo .) ^{[ 8 ] [ 9 ]}

Se cumple una analogía con la desigualdad de Cauchy-Schwarz para un producto interno.${\displaystyle A}$-módulo${\displaystyle E}$: ^{[ 10 ]}

${\displaystyle \langle x,y\rangle _{A}\langle y,x\rangle _{A}\leq \Vert \langle y,y\rangle _{A}\Vert \langle x,x\rangle _{A}}$

para${\displaystyle x}$,${\displaystyle y}$en${\displaystyle E}$.

En el módulo pre-Hilbert${\displaystyle E}$, definir una norma por

${\displaystyle \Vert x\Vert =\Vert \langle x,x\rangle _{A}\Vert ^{\frac {1}{2}}.}$

La completitud de la norma de${\displaystyle E}$, todavía denotado por${\displaystyle E}$Se dice que es un Hilbert${\displaystyle A}$-módulo o un C*-módulo de Hilbert sobre el álgebra C*${\displaystyle A}$La desigualdad de Cauchy-Schwarz implica que el producto interno es conjuntamente continuo en norma y, por lo tanto, puede extenderse a la completación.

La acción de${\displaystyle A}$en${\displaystyle E}$es continuo: para todos${\displaystyle x}$en${\displaystyle E}$

${\displaystyle a_{\lambda }\rightarrow a\Rightarrow xa_{\lambda }\rightarrow xa.}$

De manera similar, si${\displaystyle (e_{\lambda })}$es una unidad aproximada para${\displaystyle A}$(una red de elementos autoadjuntos de${\displaystyle A}$para qué${\displaystyle ae_{\lambda }}$y${\displaystyle e_{\lambda }a}$tienden a${\displaystyle a}$para cada${\displaystyle a}$en${\displaystyle A}$), entonces para${\displaystyle x}$en${\displaystyle E}$

${\displaystyle xe_{\lambda }\rightarrow x.}$

De donde se deduce que${\displaystyle EA}$es denso en${\displaystyle E}$, y${\displaystyle x1_{A}=x}$cuando${\displaystyle A}$es unitario.

Dejar

${\displaystyle \langle E,E\rangle _{A}=\operatorname {span} \{\langle x,y\rangle _{A}\mid x,y\in E\},}$

luego el cierre de${\displaystyle \langle E,E\rangle _{A}}$es un ideal de dos caras en${\displaystyle A}$Los ideales bilaterales son subálgebras C* y, por lo tanto, poseen unidades aproximadas. Se puede verificar que${\displaystyle E\langle E,E\rangle _{A}}$es denso en${\displaystyle E}$. En el caso de que${\displaystyle \langle E,E\rangle _{A}}$es denso en${\displaystyle A}$,${\displaystyle E}$Se dice que está lleno . Esto generalmente no es cierto.

Dado que los números complejos${\displaystyle \mathbb {C} }$son un álgebra C* con una involución dada por la conjugación compleja , un espacio de Hilbert complejo${\displaystyle {\mathcal {H}}}$es un Hilbert${\displaystyle \mathbb {C} }$-módulo bajo la multiplicación escalar por números complejos y su producto interno.

Si${\displaystyle X}$es un espacio Hausdorff localmente compacto y${\displaystyle E}$un haz vectorial sobre${\displaystyle X}$con proyección${\displaystyle \pi \colon E\to X}$una métrica hermitiana${\displaystyle g}$, entonces el espacio de secciones continuas de${\displaystyle E}$es un Hilbert${\displaystyle C(X)}$-módulo. Secciones dadas${\displaystyle \sigma ,\rho }$de${\displaystyle E}$ y${\displaystyle f\in C(X)}$La acción correcta se define por

${\displaystyle \sigma f(x)=\sigma (x)f(\pi (x)),}$

y el producto interno viene dado por

${\displaystyle \langle \sigma ,\rho \rangle _{C(X)}(x):=g(\sigma (x),\rho (x)).}$

Lo contrario también es cierto: todo C*-módulo de Hilbert generado contablemente sobre un C*-álgebra unitaria conmutativa${\displaystyle A=C(X)}$es isomorfo al espacio de secciones que se anulan en el infinito de un campo continuo de espacios de Hilbert sobre${\displaystyle X}$.

Cualquier álgebra C*${\displaystyle A}$es un Hilbert${\displaystyle A}$-módulo con la acción dada por la multiplicación derecha en${\displaystyle A}$y el producto interno${\displaystyle \langle a,b\rangle =a^{*}b}$. Por la identidad C*, la norma del módulo de Hilbert coincide con la norma C* en${\displaystyle A}$.

La suma directa (algebraica) de${\displaystyle n}$copias de${\displaystyle A}$

${\displaystyle A^{n}=\bigoplus _{i=1}^{n}A}$

se puede convertir en un Hilbert${\displaystyle A}$-módulo definiendo

${\displaystyle \langle (a_{i}),(b_{i})\rangle _{A}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{*}b_{i}.}$

Si${\displaystyle p}$es una proyección en el álgebra C*${\displaystyle M_{n}(A)}$, entonces${\displaystyle pA^{n}}$También es un Hilbert${\displaystyle A}$-módulo con el mismo producto interno que la suma directa.

También se puede considerar el siguiente subespacio de elementos en el producto directo numerable de${\displaystyle A}$

${\displaystyle \ell _{2}(A)={\mathcal {H}}_{A}={\Big \{}(a_{i})|\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}^{*}a_{i}{\text{ converges in }}A{\Big \}}.}$

Dotado del producto interno obvio (análogo al de${\displaystyle A^{n}}$), el Hilbert resultante${\displaystyle A}$-module se denomina módulo de Hilbert estándar sobre${\displaystyle A}$.

El hecho de que exista un único espacio de Hilbert separable tiene una generalización a módulos de Hilbert en forma del teorema de estabilización de Kasparov , que establece que si${\displaystyle E}$es un Hilbert generado de forma contable${\displaystyle A}$-módulo, existe un isomorfismo isométrico${\displaystyle E\oplus \ell _{2}(A)\cong \ell _{2}(A).}$^{[ 11 ]}

Un mapa (no necesariamente lineal) ${\displaystyle T\colon E\to F}$se define como adjuntable si hay otro mapa${\displaystyle T^{*}\colon F\to E}$, conocido como el adjunto de${\displaystyle T}$, de tal manera que para cada ${\displaystyle e\in E}$y${\displaystyle f\in F}$,

${\displaystyle \langle f,Te\rangle =\langle T^{*}f,e\rangle .}$

Ambos${\displaystyle T}$y${\displaystyle T^{*}}$son entonces automáticamente lineales y también${\displaystyle A}$-mapas de módulos. El teorema del grafo cerrado se puede utilizar para demostrar que también son acotados.

De forma análoga al adjunto de operadores en espacios de Hilbert,${\displaystyle T^{*}}$ es único (si existe) y a su vez es adjuntable con adjunto${\displaystyle T}$. Si${\displaystyle S\colon F\to G}$ es un segundo mapa adjuntable,${\displaystyle ST}$es adjuntable con adjunto ${\displaystyle S^{*}T^{*}}$.

Los operadores adjuntos${\displaystyle E\to F}$formar un subespacio${\displaystyle \mathbb {B} (E,F)}$ de${\displaystyle {\mathcal {L}}(E,F)}$, que es completa en la norma del operador.

En el caso${\displaystyle F=E}$, el espacio${\displaystyle \mathbb {B} (E,E)}$de operadores adjuntos de${\displaystyle E}$a sí mismo se denota${\displaystyle \mathbb {B} (E)}$y es un álgebra C*. ^{[ 12 ]}

Dado${\displaystyle e\in E}$y${\displaystyle f\in F}$, el mapa ${\displaystyle |f\rangle \langle e|\colon E\to F}$se define, de forma análoga a los operadores de rango uno de los espacios de Hilbert, como

${\displaystyle g\mapsto f\langle e,g\rangle .}$

Esto es adjuntable con adjunto${\displaystyle |e\rangle \langle f|}$.

Los operadores compactos adjuntables${\displaystyle \mathbb {K} (E,F)}$se definen como el tramo cerrado de

${\displaystyle \{|f\rangle \langle e|\mid e\in E,\;f\in F\}}$

en${\displaystyle \mathbb {B} (E,F)}$.

Al igual que con los operadores acotados,${\displaystyle \mathbb {K} (E,E)}$se denota ${\displaystyle \mathbb {K} (E)}$. Este es un ideal (cerrado, de dos lados) de ${\displaystyle \mathbb {B} (E)}$. ^{[ 13 ]}

Si${\displaystyle E}$es un${\displaystyle (A,B)}$y${\displaystyle F}$a${\displaystyle (B,C)}$correspondencia, el producto tensorial algebraico${\displaystyle E\odot F}$de${\displaystyle E}$y${\displaystyle F}$ ya que los espacios vectoriales heredan izquierda y derecha${\displaystyle A}$- y${\displaystyle C}$-estructuras de módulos respectivamente.

También puede estar dotado de la${\displaystyle C}$Forma sesquilineal con valores definida en tensores puros por

${\displaystyle \langle e\odot f,e'\odot f'\rangle _{C}:=\langle f,\langle e,e'\rangle _{B}f\rangle _{C}.}$

Esto es semidefinido positivo, y la finalización de Hausdorff de${\displaystyle E\odot F}$ en la seminorma resultante se denota${\displaystyle E\otimes _{B}F}$. Las acciones izquierda y derecha de ${\displaystyle A}$y${\displaystyle C}$extender para hacer de esto un${\displaystyle (A,C)}$correspondencia. ^{[ 16 ]}

La colección de C*-álgebras puede entonces dotarse de la estructura de una bicategoría, con C*-álgebras como objetos,${\displaystyle (A,B)}$correspondencias como flechas${\displaystyle B\to A}$y los isomorfismos de correspondencias (mapas de módulos biyectivos que preservan productos internos) como 2-flechas. ^{[ 17 ]}

Dado un álgebra C*${\displaystyle A}$y un${\displaystyle (A,A)}$correspondencia${\displaystyle E}$, su álgebra de Toeplitz${\displaystyle {\mathcal {T}}(E)}$se define como el álgebra universal para las representaciones de Toeplitz (definidas más adelante).

El álgebra clásica de Toeplitz se puede recuperar como un caso especial, y las álgebras de Cuntz-Pimsner se definen como cocientes particulares de álgebras de Toeplitz. ^{[ 18 ]}

En particular, las álgebras de grafos , productos cruzados por${\displaystyle \mathbb {Z} }$y las álgebras de Cuntz son todas cocientes de álgebras de Toeplitz específicas.