Identidad aproximada

En matemáticas , particularmente en análisis funcional y teoría de anillos , una identidad aproximada es una red en un álgebra de Banach o anillo (generalmente sin identidad) que actúa como sustituto de un elemento identidad .

Una identidad aproximada derecha en un álgebra de Banach A es una red${\displaystyle \{e_{\lambda }:\lambda \in \Lambda \}}$de tal manera que para cada elemento a de A ,${\displaystyle \lim _{\lambda \in \Lambda }\lVert ae_{\lambda }-a\rVert =0.}$De manera similar, una identidad aproximada izquierda en un álgebra de Banach A es una red${\displaystyle \{e_{\lambda }:\lambda \in \Lambda \}}$de tal manera que para cada elemento a de A ,${\displaystyle \lim _{\lambda \in \Lambda }\lVert e_{\lambda }aa\rVert =0.}$Una identidad aproximada es una red que es a la vez una identidad aproximada por la derecha y una identidad aproximada por la izquierda. ^{[ 1 ]}

Para las C*-álgebras , una identidad aproximada derecha (o izquierda) formada por elementos autoadjuntos es equivalente a una identidad aproximada. La red de todos los elementos positivos en A con norma ≤ 1 y su orden natural es una identidad aproximada para cualquier C*-álgebra. Esta se denomina identidad aproximada canónica de un C*-álgebra. Las identidades aproximadas no son únicas. Por ejemplo, para operadores compactos que actúan sobre un espacio de Hilbert , la red formada por proyecciones de rango finito sería otra identidad aproximada.

Si una identidad aproximada es una secuencia , la llamamos identidad aproximada secuencial y un álgebra C* con una identidad aproximada secuencial se llama σ- unital . Toda álgebra C* separable es σ- unital, aunque lo contrario es falso. Un álgebra C* conmutativa es σ- unital si y solo si su espectro es σ-compacto . En general, un álgebra C* A es σ- unital si y solo si A contiene un elemento estrictamente positivo, es decir , existe h en A ₊ tal que la subálgebra C* hereditaria generada por h es A.

En ocasiones se consideran identidades aproximadas que consisten en tipos específicos de elementos. Por ejemplo, un álgebra C* tiene rango real cero si y solo si toda subálgebra C* hereditaria tiene una identidad aproximada que consiste en proyecciones. Esto se conocía como propiedad (HP) en la literatura anterior. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

En un álgebra de convolución , una identidad aproximada cumple la misma función que una secuencia de aproximaciones de funciones a la función delta de Dirac (que es el elemento identidad para la convolución). Por ejemplo, los núcleos de Fejér de la teoría de series de Fourier dan lugar a una identidad aproximada.

En la teoría de anillos, una identidad aproximada se define de manera similar, excepto que al anillo se le da la topología discreta de modo que a = ae _λ para algún λ.

Un módulo sobre un anillo con identidad aproximada se denomina no degenerado si para cada m en el módulo existe algún λ tal que m = me _λ .

• Calmante
• Función delta naciente
• núcleo de sumabilidad