Conjunto parcialmente ordenado

En matemáticas , especialmente en teoría del orden , un orden parcial en un conjunto es una disposición tal que, para ciertos pares de elementos, uno precede al otro. El término «parcial» indica que no todos los pares de elementos tienen que ser comparables; es decir, puede haber pares en los que ninguno de los elementos precede al otro. Los órdenes parciales generalizan, por lo tanto, los órdenes totales , en los que todos los pares son comparables.

Formalmente, un orden parcial es una relación binaria homogénea que es reflexiva , antisimétrica y transitiva . Un conjunto parcialmente ordenado ( poset, por sus siglas en inglés) es un par ordenado.${\displaystyle P=(X,\leq )}$que consta de un conjunto${\displaystyle X}$(llamado el conjunto de terreno de${\displaystyle P}$) y un orden parcial${\displaystyle \leq }$en${\displaystyle X}$Cuando el significado es claro por el contexto y no hay ambigüedad sobre el orden parcial, el conjunto${\displaystyle X}$A veces se le llama a sí mismo un poset.

El término orden parcial se refiere generalmente a las relaciones de orden parcial reflexivas, denominadas en este artículo órdenes parciales no estrictas . Sin embargo, algunos autores utilizan el término para el otro tipo común de relaciones de orden parcial: las relaciones de orden parcial irreflexivas, también llamadas órdenes parciales estrictas. Los órdenes parciales estrictos y no estrictos pueden establecerse en una correspondencia biunívoca , de modo que para cada orden parcial estricto existe un único orden parcial no estricto correspondiente, y viceversa.

Correspondencia de relaciones de orden parcial estrictas y no estrictas

Órdenes parciales estrictas y no estrictas en un conjunto${\displaystyle P}$están estrechamente relacionados. Un orden parcial no estricto${\displaystyle \leq }$puede convertirse en un orden parcial estricto eliminando todas las relaciones de la forma${\displaystyle a\leq a;}$es decir, el orden parcial estricto es el conjunto${\displaystyle <\;:=\ \leq \ \setminus \ \Delta _{P}}$dónde${\displaystyle \Delta _{P}:=\{(p,p):p\in P\}}$es la relación de identidad en${\displaystyle P\times P}$y${\displaystyle \;\setminus \;}$denota la resta de conjuntos . Por el contrario, un orden parcial estricto < en${\displaystyle P}$puede convertirse en un orden parcial no estricto adjuntando todas las relaciones de esa forma; es decir,${\displaystyle \leq \;:=\;\Delta _{P}\;\cup \;<\;}$es un orden parcial no estricto. Por lo tanto, si${\displaystyle \leq }$es un orden parcial no estricto, entonces el orden parcial estricto correspondiente < es el núcleo irreflexivo dado por $${\displaystyle a<b{\text{ si }}a\leq b{\text{ y }}a\neq b.}$$ Por el contrario, si < es un orden parcial estricto, entonces el orden parcial no estricto correspondiente${\displaystyle \leq }$es el cierre reflexivo dado por: $${\displaystyle a\leq b{\text{ si }}a<b{\text{ o }}a=b.}$$

Dado un conjunto${\displaystyle P}$y una relación de orden parcial, típicamente la relación de orden parcial no estricta${\displaystyle \leq }$, podemos extender de forma única nuestra notación para definir cuatro relaciones de orden parcial.${\displaystyle \leq ,}$${\displaystyle <,}$${\displaystyle \geq ,}$y${\displaystyle >}$, dónde${\displaystyle \leq }$es una relación de orden parcial no estricta en${\displaystyle P}$,${\displaystyle <}$es la relación de orden parcial estricta asociada en${\displaystyle P}$(el núcleo irreflexivo de${\displaystyle \leq }$),${\displaystyle \geq }$es el dual de${\displaystyle \leq }$, y${\displaystyle >}$es el dual de${\displaystyle <}$. Estrictamente hablando, el término conjunto parcialmente ordenado se refiere a un conjunto con todas estas relaciones definidas adecuadamente. Pero en la práctica, solo es necesario considerar una sola relación,${\displaystyle (P,\leq )}$o${\displaystyle (P,<)}$o, en raras ocasiones, las relaciones no estrictas y estrictas juntas,${\displaystyle (P,\leq ,<)}$. ^{[ 5 ]}

El término conjunto ordenado se usa a veces como abreviatura de conjunto parcialmente ordenado , siempre que del contexto se desprenda claramente que no se refiere a ningún otro tipo de orden. En particular, los conjuntos totalmente ordenados también pueden denominarse "conjuntos ordenados", especialmente en áreas donde estas estructuras son más comunes que los posets. Algunos autores usan símbolos diferentes que${\displaystyle \leq }$como${\displaystyle \sqsubseteq }$^{[ 6 ]} o${\displaystyle \preceq }$^{[ 7 ]} para distinguir los pedidos parciales de los pedidos totales.

Cuando nos referimos a órdenes parciales,${\displaystyle \leq }$no debe tomarse como el complemento de${\displaystyle >}$. La relación${\displaystyle >}$es lo contrario del núcleo irreflexivo de${\displaystyle \leq }$, que siempre es un subconjunto del complemento de${\displaystyle \leq }$, pero${\displaystyle >}$es igual al complemento de${\displaystyle \leq }$si, y solo si ,${\displaystyle \leq }$es un pedido total. ^{[ a ]}

Otra forma de definir un orden parcial, que se encuentra en la informática , es a través de una noción de comparación . Específicamente, dado${\displaystyle \leq ,<,\geq ,{\text{ y }}>}$Como se definió anteriormente, se puede observar que dos elementos x e y pueden estar en cualquiera de cuatro relaciones mutuamente excluyentes entre sí: o x < y , o x = y , o x > y , o x e y son incomparables . Esto se puede representar mediante una función.${\displaystyle {\text{compare}}:P\times P\to \{<,>,=,\vert \}}$que devuelve uno de cuatro códigos cuando se le dan dos elementos. ^{[ 8 ] [ 9 ]} Esta definición es equivalente a un orden parcial en un setoide , donde la igualdad se toma como una relación de equivalencia definida en lugar de la igualdad de conjuntos. ^{[ 10 ]}

Wallis define una noción más general de relación de orden parcial como cualquier relación homogénea que sea transitiva y antisimétrica . Esto incluye tanto órdenes parciales reflexivos como irreflexivos como subtipos. ^{[ 1 ]}

Un poset finito puede visualizarse a través de su diagrama de Hasse . ^{[ 11 ]} Específicamente, tomando una relación de orden parcial estricta${\displaystyle (P,<)}$, un grafo acíclico dirigido (DAG) puede construirse tomando cada elemento de${\displaystyle P}$ser un nodo y cada elemento de${\displaystyle <}$ser una arista. La reducción transitiva de este DAG ^{[ b ]} es entonces el diagrama de Hasse. De manera similar, este proceso puede invertirse para construir órdenes parciales estrictas a partir de ciertos DAG. Por el contrario, el grafo asociado a una orden parcial no estricta tiene bucles en cada nodo y, por lo tanto, no es un DAG; cuando se dice que una orden no estricta está representada por un diagrama de Hasse, en realidad se muestra la orden estricta correspondiente.

Algunos ejemplos estándar de conjuntos parcialmente ordenados que surgen en matemáticas son:

• Los números reales , o en general cualquier conjunto totalmente ordenado, ordenado por la relación estándar de menor o igual que ≤, es un orden parcial.
• En cifras reales${\displaystyle \mathbb {R} }$, la relación usual menor que < es un orden parcial estricto. Lo mismo es cierto también para la relación usual mayor que > en${\displaystyle \mathbb {R} }$.
• Por definición, todo orden débil estricto es un orden parcial estricto.
• El conjunto de subconjuntos de un conjunto dado (su conjunto potencia ) ordenado por inclusión (véase la figura  1). De manera similar, el conjunto de secuencias ordenadas por subsecuencia y el conjunto de cadenas ordenadas por subcadena .
• El conjunto de los números naturales dotado de la relación de divisibilidad . (Véase la figura  3 y la figura  6).
• El conjunto de vértices de un grafo dirigido acíclico ordenado por alcanzabilidad .
• El conjunto de subespacios de un espacio vectorial ordenados por inclusión.
• Para un conjunto parcialmente ordenado P , el espacio de secuencias que contiene todas las secuencias de elementos de P , donde la secuencia a precede a la secuencia b si cada elemento en a precede al elemento correspondiente en b . Formalmente,${\displaystyle \left(a_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }\leq \left(b_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$si y solo si${\displaystyle a_{n}\leq b_{n}}$a pesar de${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$; es decir, un orden componente a componente .
• Para un conjunto X y un conjunto parcialmente ordenado P , el espacio de funciones que contiene todas las funciones de X a P , donde f ≤ g si y solo si f ( x ) ≤ g ( x ) para todo${\displaystyle x\in X.}$
• Una valla , un conjunto parcialmente ordenado definido por una secuencia alternada de relaciones de orden a < b > c < d ...
• El conjunto de eventos en la relatividad especial y, en la mayoría de los casos, ^{[ c ]} relatividad general , donde para dos eventos X e Y , X ≤ Y si y solo si Y está en el cono de luz futuro de X. Un evento Y puede ser afectado causalmente por X solo si X ≤ Y.

Un ejemplo común de un conjunto parcialmente ordenado es una colección de personas ordenadas por descendencia genealógica . Algunos pares de personas presentan una relación de descendiente-antepasado, pero otros pares son incomparables, ya que ninguno es descendiente del otro.

Órdenes en el producto cartesiano de conjuntos parcialmente ordenados

Fig. 4a Orden lexicográfico en${\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} }$

Figura 4b Orden del producto en${\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} }$

Figura 4c Cierre reflexivo del orden estricto directo del producto en${\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} .}$Los elementos cubiertos por (3, 3) y que cubren (3, 3) están resaltados en verde y rojo, respectivamente.

En orden de fuerza creciente, es decir, conjuntos decrecientes de pares, tres de los posibles órdenes parciales en el producto cartesiano de dos conjuntos parcialmente ordenados son (véase la figura  4):

• el orden lexicográfico : ( a , b ) ≤ ( c , d ) si a < c o ( a = c y b ≤ d ); 
• el orden del producto :  ( a , b ) ≤ ( c , d ) si a ≤ c y b ≤ d ;
• el cierre reflexivo del producto directo de los órdenes estrictos correspondientes: ( a , b ) ≤ ( c , d ) si ( a < c y b < d ) o ( a = c y b = d ). 

Los tres términos pueden definirse de manera similar para el producto cartesiano de más de dos conjuntos.

Aplicado a espacios vectoriales ordenados sobre el mismo cuerpo , el resultado es en cada caso también un espacio vectorial ordenado.

Véase también órdenes en el producto cartesiano de conjuntos totalmente ordenados .

Los ejemplos utilizan el conjunto parcialmente ordenado${\displaystyle ({\mathcal {P}}(\{x,y,z\}),\subseteq )}$que consiste en el conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto de tres elementos${\displaystyle \{x,y,z\},}$ordenados por inclusión de conjuntos (véase la figura  1).

• a está relacionado con b cuando a ≤ b . Esto no implica que b también esté relacionado con a , porque la relación no tiene por qué ser simétrica . Por ejemplo,${\displaystyle \{x\}}$está relacionado con${\displaystyle \{x,y\},}$pero no al revés.
• a y b son comparables si a ≤ b o b ≤ a . De lo contrario, son incomparables . Por ejemplo,${\displaystyle \{x\}}$y${\displaystyle \{x,y,z\}}$son comparables, mientras que${\displaystyle \{x\}}$y${\displaystyle \{y\}}$no lo son.
• Un orden total o lineal es un orden parcial bajo el cual cada par de elementos es comparable, es decir, se cumple la tricotomía . Por ejemplo, los números naturales con su orden estándar.
• Una cadena es un subconjunto de un poset que es un conjunto totalmente ordenado. Por ejemplo,${\displaystyle \{\{\,\},\{x\},\{x,y,z\}\}}$es una cadena.
• Una anticadena es un subconjunto de un poset en el que no hay dos elementos distintos que sean comparables. Por ejemplo, el conjunto de singletons.${\displaystyle \{\{x\},\{y\},\{z\}\}.}$
• Se dice que un elemento a es estrictamente menor que un elemento b , si a ≤ b y${\displaystyle a\neq b.}$Por ejemplo,${\displaystyle \{x\}}$es estrictamente menor que${\displaystyle \{x,y\}.}$
• Se dice que un elemento a está cubierto por otro elemento b , escrito a ⋖ b (o a <: b ), si a es estrictamente menor que b y ningún tercer elemento c cabe entre ellos; formalmente: si tanto a ≤ b como${\displaystyle a\neq b}$son verdaderas, y a ≤ c ≤ b es falsa para cada c con${\displaystyle a\neq c\neq b.}$Utilizando el orden estricto <, la relación a ⋖ b puede reformularse de forma equivalente como " a < b pero no a < c < b para ningún c ". Por ejemplo,${\displaystyle \{x\}}$está cubierto por${\displaystyle \{x,z\},}$pero no está cubierto por${\displaystyle \{x,y,z\}.}$

Extrema

En un conjunto parcialmente ordenado existen varias nociones de elemento "mayor" y "menor".${\displaystyle P,}$notablemente:

• Elemento mayor y elemento menor: Un elemento${\displaystyle g\in P}$es el elemento más importante si${\displaystyle a\leq g}$para cada elemento${\displaystyle a\in P.}$Un elemento${\displaystyle m\in P}$es un elemento mínimo si${\displaystyle m\leq a}$para cada elemento${\displaystyle a\in P.}$Un conjunto parcialmente ordenado solo puede tener un elemento mayor o menor. En nuestro ejemplo actual, el conjunto${\displaystyle \{x,y,z\}}$es el elemento más importante, y${\displaystyle \{\,\}}$es lo menos.
• Elementos máximos y elementos mínimos: Un elemento${\displaystyle g\in P}$es un elemento máximo si no hay ningún elemento${\displaystyle a\in P}$de tal manera que${\displaystyle a>g.}$De manera similar, un elemento${\displaystyle m\in P}$es un elemento mínimo si no hay ningún elemento${\displaystyle a\in P}$de tal manera que${\displaystyle a<m.}$Si un conjunto parcialmente ordenado tiene un elemento máximo, debe ser el único elemento máximo, pero de lo contrario puede haber más de un elemento máximo, y lo mismo ocurre con los elementos mínimos y los elementos menores. En nuestro ejemplo actual,${\displaystyle \{x,y,z\}}$y${\displaystyle \{\,\}}$son los elementos máximos y mínimos. Al eliminarlos, quedan 3 elementos máximos y 3 elementos mínimos (véase la figura  5).
• Límites superiores e inferiores : Para un subconjunto A de P , un elemento x en P es un límite superior de A si a  ≤ x , para cada elemento a en A. En particular, x no necesita estar en A para ser un límite superior de A. De manera similar, un elemento x en P es un límite inferior de A si a ≥ x , para cada elemento a en A. El elemento más grande de P es un límite superior de P mismo, y el elemento más pequeño es un límite inferior de P. En nuestro ejemplo, el conjunto   ${\displaystyle \{x,y\}}$es un límite superior para la colección de elementos${\displaystyle \{\{x\},\{y\}\}.}$

Como otro ejemplo, consideremos los enteros positivos , ordenados por divisibilidad: 1 es un elemento mínimo, ya que divide a todos los demás elementos; por otro lado, este conjunto parcialmente ordenado no tiene un elemento máximo. Este conjunto parcialmente ordenado ni siquiera tiene elementos máximos, ya que cualquier g divide, por ejemplo, a 2g , que es distinto de él, por lo que g no es máximo. Si se excluye el número 1, manteniendo la divisibilidad como orden de los elementos mayores que 1, entonces el conjunto parcialmente ordenado resultante no tiene un elemento mínimo, pero cualquier número primo es un elemento mínimo para él. En este conjunto parcialmente ordenado, 60 es una cota superior (aunque no una cota superior mínima) del subconjunto.${\displaystyle \{2,3,5,10\},}$que no tiene límite inferior (ya que 1 no está en el conjunto parcialmente ordenado); por otro lado, 2 es un límite inferior del subconjunto de potencias de 2, que no tiene límite superior. Si se incluye el número 0, este será el elemento mayor, puesto que es múltiplo de cualquier entero (véase la figura  6).

Figura 7a Mapa que preserva el orden, pero no que lo refleja (ya que f ( u ) ≼ f ( v ) , pero no u${\displaystyle \leq }$v)

Figura 7b. Isomorfismo de orden entre los divisores de 120 (parcialmente ordenados por divisibilidad) y los subconjuntos cerrados por divisores de {2, 3, 4, 5, 8} (parcialmente ordenados por inclusión de conjuntos).

Dados dos conjuntos parcialmente ordenados ( S , ≤) y ( T , ≼) , una función${\displaystyle f:S\to T}$se denomina que preserva el orden , o monótono , o isótono , si para todo${\displaystyle x,y\in S,}$${\displaystyle x\leq y}$implica f ( x ) ≼ f ( y ) . Si ( U , ≲) también es un conjunto parcialmente ordenado, y ambos${\displaystyle f:S\to T}$y${\displaystyle g:T\to U}$son preservadores del orden, su composición${\displaystyle g\circ f:S\to U}$también preserva el orden. Una función${\displaystyle f:S\to T}$se denomina reflejo de orden si para todos${\displaystyle x,y\in S,}$f ( x ) ≼ f ( y ) implica${\displaystyle x\leq y.}$ Si f es a la vez preservadora y reflejadora del orden, entonces se denomina incrustación de orden de ( S , ≤) en ( T , ≼) . En este último caso, f es necesariamente inyectiva , ya que${\displaystyle f(x)=f(y)}$implica${\displaystyle x\leq y{\text{ and }}y\leq x}$y a su vez${\displaystyle x=y}$según la antisimetría de${\displaystyle \leq .}$Si existe una incrustación de orden entre dos conjuntos parcialmente ordenados S y T , se dice que S puede incrustarse en T. Si existe una incrustación de orden${\displaystyle f:S\to T}$Si es biyectiva , se denomina isomorfismo de orden , y los órdenes parciales ( S , ≤) y ( T , ≼) se denominan isomorfos . Los órdenes isomorfos tienen diagramas de Hasse estructuralmente similares (véase la figura  7a). Se puede demostrar que si se utilizan mapas que preservan el orden,${\displaystyle f:S\to T}$y${\displaystyle g:T\to U}$existen tales que${\displaystyle g\circ f}$y${\displaystyle f\circ g}$produce la función identidad en S y T , respectivamente, entonces S y T son isomorfos en orden. ^{[ 15 ]}

Por ejemplo, un mapeo${\displaystyle f:\mathbb {N} \to \mathbb {P} (\mathbb {N} )}$La transformación del conjunto de números naturales (ordenados por divisibilidad) al conjunto potencia de números naturales (ordenados por inclusión de conjuntos) se puede definir tomando cada número como el conjunto de sus divisores primos . Es una transformación que preserva el orden: si x divide a y , entonces cada divisor primo de x es también un divisor primo de y . Sin embargo, no es inyectiva (ya que mapea tanto 12 como 6 a${\displaystyle \{2,3\}}$) ni reflejando el orden (ya que 12 no divide a 6). En cambio, al tomar cada número al conjunto de sus divisores primos se define una función.${\displaystyle g:\mathbb {N} \to \mathbb {P} (\mathbb {N} )}$que es preservador del orden, reflejador del orden y, por lo tanto, una incrustación de orden. No es un isomorfismo de orden (ya que, por ejemplo, no asigna ningún número al conjunto${\displaystyle \{4\}}$), pero puede convertirse en uno restringiendo su codominio a${\displaystyle g(\mathbb {N} ).}$La figura  7b muestra un subconjunto de${\displaystyle \mathbb {N} }$y su imagen isomorfa bajo g . La construcción de tal orden-isomorfismo en un conjunto potencia puede generalizarse a una amplia clase de órdenes parciales, llamados retículos distributivos ; véase el teorema de representación de Birkhoff .

La secuencia A001035 en OEIS proporciona el número de órdenes parciales en un conjunto de n elementos etiquetados:

Nótese que S ( n , k ) se refiere a los números de Stirling de segundo tipo .

El número de órdenes parciales estrictas es el mismo que el de órdenes parciales.

Si el conteo se realiza solo hasta el isomorfismo, se obtiene la secuencia 1, 1, 2, 5, 16, 63, 318, ... (secuencia A000112 en la OEIS ) .

Un poset${\displaystyle P^{*}=(X^{*},\leq ^{*})}$se denomina subconjunto poset de otro poset${\displaystyle P=(X,\leq )}$siempre que${\displaystyle X^{*}}$es un subconjunto de${\displaystyle X}$y${\displaystyle \leq ^{*}}$es un subconjunto de${\displaystyle \leq }$. Esta última condición es equivalente al requisito de que para cualquier${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$en${\displaystyle X^{*}}$(y por lo tanto también en${\displaystyle X}$), si${\displaystyle x\leq ^{*}y}$entonces${\displaystyle x\leq y}$.

Si${\displaystyle P^{*}}$es un subconjunto de${\displaystyle P}$y además, para todos${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$en${\displaystyle X^{*}}$, cuando sea${\displaystyle x\leq y}$también tenemos${\displaystyle x\leq ^{*}y}$, entonces llamamos${\displaystyle P^{*}}$el subposet de${\displaystyle P}$inducido por${\displaystyle X^{*}}$y escribir${\displaystyle P^{*}=P[X^{*}]}$.

Un pedido parcial${\displaystyle \leq ^{*}}$en un plató${\displaystyle X}$se denomina una extensión de otro orden parcial${\displaystyle \leq }$en${\displaystyle X}$siempre que para todos los elementos${\displaystyle x,y\in X,}$cuando sea${\displaystyle x\leq y,}$También es cierto que${\displaystyle x\leq ^{*}y.}$Una extensión lineal es una extensión que también es un orden lineal (es decir, total). Como ejemplo clásico, el orden lexicográfico de conjuntos totalmente ordenados es una extensión lineal de su orden producto. Todo orden parcial puede extenderse a un orden total ( principio de extensión de orden ). ^{[ 16 ]}

En informática , los algoritmos para encontrar extensiones lineales de órdenes parciales (representadas como los órdenes de alcanzabilidad de grafos dirigidos acíclicos ) se denominan ordenación topológica .

Cada poset (y cada conjunto preordenado ) puede considerarse como una categoría donde, para los objetos${\displaystyle x}$y${\displaystyle y,}$hay como máximo un morfismo de${\displaystyle x}$a${\displaystyle y.}$Más explícitamente, sea hom( x , y ) = {( x , y )} si x ≤ y (y en caso contrario el conjunto vacío ) y${\displaystyle (y,z)\circ (x,y)=(x,z).}$Estas categorías a veces se denominan delgadas .

Los conjuntos parcialmente ordenados son equivalentes entre sí si y solo si son isomorfos . En un conjunto parcialmente ordenado, el elemento más pequeño, si existe, es un objeto inicial , y el elemento más grande, si existe, es un objeto terminal . Además, todo conjunto preordenado es equivalente a un conjunto parcialmente ordenado. Finalmente, toda subcategoría de un conjunto parcialmente ordenado es isomorfamente cerrada .

Si${\displaystyle P}$es un conjunto parcialmente ordenado al que también se le ha dado la estructura de un espacio topológico , entonces es habitual suponer que${\displaystyle \{(a,b):a\leq b\}}$es un subconjunto cerrado del espacio producto topológico${\displaystyle P\times P.}$Bajo esta suposición, las relaciones de orden parcial se comportan bien en los límites en el sentido de que si${\displaystyle \lim _{i\to \infty }a_{i}=a,}$y${\displaystyle \lim _{i\to \infty }b_{i}=b,}$y para todos${\displaystyle i,}$${\displaystyle a_{i}\leq b_{i},}$entonces${\displaystyle a\leq b.}$^{[ 17 ]}

Un conjunto convexo en un conjunto parcialmente ordenado P es un subconjunto I de P con la propiedad de que, para cualesquiera x e y en I y cualquier z en P , si x ≤ z ≤ y , entonces z también está en I. Esta definición generaliza la definición de intervalos de números reales . Cuando existe una posible confusión con los conjuntos convexos de la geometría , se utiliza el término "orden-convexo " en lugar de "convexo".

Una subred convexa de una red L es una subred de L que también es un conjunto convexo de L. Toda subred convexa no vacía puede representarse de forma única como la intersección de un filtro y un ideal de L.

Un intervalo en un conjunto parcialmente ordenado P es un subconjunto que se puede definir con notación de intervalos:

• Para a ≤ b , el intervalo cerrado [ a , b ] es el conjunto de elementos x que satisfacen a ≤ x ≤ b (es decir, a ≤ x y x ≤ b ). Contiene al menos los elementos a y b .
• Utilizando la relación estricta correspondiente "<", el intervalo abierto ( a , b ) es el conjunto de elementos x que satisfacen a < x < b (es decir, a < x y x < b ). Un intervalo abierto puede estar vacío incluso si a < b . Por ejemplo, el intervalo abierto (0, 1) en los enteros está vacío ya que no existe ningún entero x tal que 0 < x < 1 .
• Los intervalos semiabiertos [ a , b ) y ( a , b ] se definen de manera similar.

Siempre que a ≤ b no se cumpla, todos estos intervalos están vacíos. Todo intervalo es un conjunto convexo, pero lo contrario no se cumple; por ejemplo, en el conjunto parcialmente ordenado de divisores de 120, ordenado por divisibilidad (véase la figura  7b), el conjunto {1, 2, 4, 5, 8} es convexo, pero no un intervalo.

Un intervalo I está acotado si existen elementos${\displaystyle a,b\in P}$tal que I ⊆ [ a , b ] . Todo intervalo que puede representarse en notación de intervalo es obviamente acotado, pero lo contrario no es cierto. Por ejemplo, sea P = (0, 1) ∪ (1, 2) ∪ (2, 3) como un subconjunto parcialmente ordenado de los números reales. El subconjunto (1, 2) es un intervalo acotado, pero no tiene ínfimo ni supremo en P , por lo que no puede escribirse en notación de intervalo usando elementos de P .  

Un conjunto parcialmente ordenado se denomina localmente finito si cada intervalo acotado es finito. Por ejemplo, los números enteros son localmente finitos bajo su ordenación natural. El orden lexicográfico en el producto cartesiano${\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} }$no es localmente finito, ya que (1, 2) ≤ (1, 3) ≤ (1, 4) ≤ (1, 5) ≤ ... ≤ (2, 1) . Usando la notación de intervalo, la propiedad " a está cubierto por b " puede reformularse de manera equivalente como${\displaystyle [a,b]=\{a,b\}.}$

Este concepto de intervalo en un orden parcial no debe confundirse con la clase particular de órdenes parciales conocidas como órdenes de intervalo .

Contenido multimedia relacionado con los diagramas de Hasse en Wikimedia Commons ; cada uno de los cuales muestra un ejemplo de orden parcial.