Complemento (teoría de conjuntos)

Si A es un conjunto, entonces el complemento absoluto de A (o simplemente el complemento de A ) es el conjunto de elementos que no están en A (dentro de un conjunto mayor que está implícitamente definido). En otras palabras, sea U un conjunto que contiene todos los elementos en estudio; si no es necesario mencionar U , ya sea porque se ha especificado previamente o porque es obvio y único, entonces el complemento absoluto de A es el complemento relativo de A en U : ^{[ 3 ] [ a ]}$${\displaystyle A^{c}=U\setminus A=\{x\in U:x\notin A\}.}$$

El complemento absoluto de A se suele denotar por${\displaystyle A^{c}}$. ^{[ 3 ]} Otras notaciones incluyen${\displaystyle {\overline {A}}}$, ^{[ 4 ]}${\displaystyle A',}$^{[ 2 ]}${\displaystyle \complement _{U}A,{\text{ y }}\complement A.}$^{[ 5 ]}

• Supongamos que el universo es el conjunto de los números enteros . Si A es el conjunto de los números impares, entonces el complemento de A es el conjunto de los números pares. Si B es el conjunto de los múltiplos de 3, entonces el complemento de B es el conjunto de los números congruentes con 1 o 2 módulo 3 (o, en términos más sencillos, los enteros que no son múltiplos de 3).
• Supongamos que el universo es una baraja estándar de 52 cartas . Si el conjunto A es el palo de picas, entonces el complemento de A es la unión de los palos de tréboles, diamantes y corazones. Si el conjunto B es la unión de los palos de tréboles y diamantes, entonces el complemento de B es la unión de los palos de corazones y picas.
• Cuando el universo es el universo de conjuntos descrito en la teoría formalizada de conjuntos , el complemento absoluto de un conjunto generalmente no es un conjunto en sí mismo, sino una clase propia . Para más información, consulte el conjunto universal .

Sean A y B dos conjuntos en un universo U. Las siguientes identidades capturan propiedades importantes de los complementos absolutos:

Leyes de De Morgan : ^{[ 3 ]}

• ${\displaystyle \left(A\cup B\right)^{c}=A^{c}\cap B^{c}.}$
• ${\displaystyle \left(A\cap B\right)^{c}=A^{c}\cup B^{c}.}$

Leyes complementarias: ^{[ 3 ]}

• ${\displaystyle A\cup A^{c}=U.}$
• ${\displaystyle A\cap A^{c}=\emptyset .}$
• ${\displaystyle \emptyset ^{c}=U.}$
• ${\displaystyle U^{c}=\emptyset .}$
• ${\displaystyle {\text{Si }}A\subseteq B{\text{, entonces }}B^{c}\subseteq A^{c}.}$

  (esto se deduce de la equivalencia de un condicional con su contrapositivo ).

Ley de involución o ley del doble complemento:

• ${\displaystyle \left(A^{c}\right)^{c}=A.}$

Relaciones entre complementos relativos y absolutos:

• ${\displaystyle A\setminus B=A\cap B^{c}.}$
• ${\displaystyle (A\setminus B)^{c}=A^{c}\cup B=A^{c}\cup (B\cap A).}$

Relación con una diferencia establecida:

• ${\displaystyle A^{c}\setminus B^{c}=B\setminus A.}$

Las dos primeras leyes del complemento anteriores muestran que si A es un subconjunto propio no vacío de U , entonces { A , A ^∁ } es una partición de U.

Si A y B son conjuntos, entonces el complemento relativo de A en B , ^{[ 3 ]} también denominado diferencia de conjuntos de B y A , ^{[ 6 ]} es el conjunto de elementos en B pero no en A.

El complemento relativo de A en B se denota${\displaystyle B\setminus A}$Según la norma ISO 31-11 . A veces se escribe${\displaystyle BA,}$pero esta notación puede ser ambigua, ya que en algunos contextos (por ejemplo, operaciones de conjuntos de Minkowski en análisis funcional ) puede interpretarse como el conjunto de todos los elementos.${\displaystyle ba,}$donde b se toma de B y a de A.

Formalmente: $${\displaystyle B\setminus A=\{x\in B:x\notin A\}.}$$

• ${\displaystyle \{1,2,3\}\setminus \{2,3,4\}=\{1\}.}$
• ${\displaystyle \{2,3,4\}\setminus \{1,2,3\}=\{4\}.}$
• Si${\displaystyle \mathbb {R} }$es el conjunto de números reales y${\displaystyle \mathbb {Q} }$es el conjunto de los números racionales , entonces${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }$es el conjunto de los números irracionales .

Sean A , B y C tres conjuntos en un universo U. Las siguientes identidades capturan propiedades notables de los complementos relativos:

• ${\displaystyle C\setminus (A\cap B)=(C\setminus A)\cup (C\setminus B).}$
• ${\displaystyle C\setminus (A\cup B)=(C\setminus A)\cap (C\setminus B).}$
• ${\displaystyle C\setminus (B\setminus A)=(C\cap A)\cup (C\setminus B),}$

  con el importante caso especial${\displaystyle C\setminus (C\setminus A)=(C\cap A)}$demostrando que la intersección puede expresarse utilizando únicamente la operación de complemento relativo.

• ${\displaystyle (B\setminus A)\cap C=(B\cap C)\setminus A=B\cap (C\setminus A).}$
• ${\displaystyle (B\setminus A)\cup C=(B\cup C)\setminus (A\setminus C).}$
• ${\displaystyle A\setminus A=\emptyset .}$
• ${\displaystyle \emptyset \setminus A=\emptyset .}$
• ${\displaystyle A\setminus \emptyset =A.}$
• ${\displaystyle A\setminus U=\emptyset .}$
• Si${\displaystyle A\subset B}$, entonces${\displaystyle C\setminus A\supset C\setminus B}$.
• ${\displaystyle A\supseteq B\setminus C}$es equivalente a${\displaystyle C\supseteq B\setminus A}$.