producto cartesiano

Un ejemplo ilustrativo es la baraja estándar de 52 cartas . Los rangos de las cartas estándar {A, K, Q, J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2} forman un conjunto de 13 elementos. Los palos de las cartas {♠, ♥ , ♦ , ♣ } forman un conjunto de cuatro elementos. El producto cartesiano de estos conjuntos da como resultado un conjunto de 52 elementos que consta de 52 pares ordenados , que corresponden a las 52 cartas posibles.

Ranks × Suits devuelve un conjunto de la forma {(A, ♠), (A, ♥ ), (A, ♦ ), (A,♣), (K,♠), ..., (3,♣), (2,♠), (2, ♥ ), (2, ♦ ), (2,♣)}.         

Suits × Ranks devuelve un conjunto de la forma {(♠, A), (♠, K), (♠, Q), (♠, J), (♠, 10), ..., (♣, 6), (♣, 5), (♣, 4), (♣, 3), (♣, 2)}.

Estos dos conjuntos son distintos, incluso disjuntos , pero existe una biyección natural entre ellos, bajo la cual (3,  ♣) corresponde a (♣,  3) y así sucesivamente.

El principal ejemplo histórico es el plano cartesiano en geometría analítica . Para representar figuras geométricas numéricamente y extraer información numérica de las representaciones numéricas de las figuras, René Descartes asignó a cada punto del plano un par de números reales , llamados sus coordenadas . Generalmente, la primera y la segunda componente de dicho par se denominan sus coordenadas x e y , respectivamente (véase la imagen). El conjunto de todos estos pares (es decir, el producto cartesiano)${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$, con${\displaystyle \mathbb {R} }$(que denota los números reales) se asigna así al conjunto de todos los puntos en el plano. ^{[ 7 ]}

Sean A , B y C conjuntos.

El producto cartesiano A × B no es conmutativo , $${\displaystyle A\times B\neq B\times A,}$$^{[ 4 ]} porque lospares ordenadosse invierten a menos que se cumpla al menos una de las siguientes condiciones: ^{[ 8 ]}

• A es igual a B , o
• A o B es el conjunto vacío .

Por ejemplo:

A = {1,2} ; B = {3,4}

A × B = {1,2} × {3,4} = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)}

B × A = {3,4} × {1,2} = {(3,1), (3,2), (4,1), (4,2)}

A = B = {1,2}

A × B = B × A = {1,2} × {1,2} = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)}

A = {1,2}; B = ∅

A × B = {1,2} × ∅ = ∅

B × A = ∅ × {1,2} = ∅

En rigor, el producto cartesiano no es asociativo (a menos que uno de los conjuntos involucrados esté vacío). $${\displaystyle (A\times B)\times C\neq A\times (B\times C)}$$ Si, por ejemplo , A = {1} , entonces ( A × A ) × A = {((1, 1), 1)} ≠ {(1, (1, 1))} = A × ( A × A ) .

Conjuntos de ejemplos

A = [1,4], B = [2,5], y C = [4,7], demostrandoA × ( B ∩ C )= (A × B) ∩ (A × C) , A × ( B ∪ C ) = (A × B) ∪ (A × C) , y

A × ( B \ C ) = (A × B) \ (A × C)

Conjuntos de ejemplos

A = [2,5], B = [3,7], C = [1,3], D = [2,4], demostrando

( A ∩ B ) × ( C ∩ D )= (A × C) ∩ (B × D) .

( A ∪ B ) × ( C ∪ D )≠ (A × C) ∪ (B × D) se puede ver en el mismo ejemplo.

El producto cartesiano satisface la siguiente propiedad con respecto a las intersecciones (ver la imagen central). $${\displaystyle (A\cap B)\times (C\cap D)=(A\times C)\cap (B\times D)}$$

En la mayoría de los casos, la afirmación anterior no es cierta si reemplazamos la intersección por la unión (ver la imagen de la derecha). $${\displaystyle (A\cup B)\times (C\cup D)\neq (A\times C)\cup (B\times D)}$$

De hecho, tenemos eso: $${\displaystyle (A\times C)\cup (B\times D)=[(A\setminus B)\times C]\cup [(A\cap B)\times (C\cup D)]\cup [(B\setminus A)\times D]}$$

Para la diferencia de conjuntos, también tenemos la siguiente identidad: $${\displaystyle (A\times C)\setminus (B\times D)=[A\times (C\setminus D)]\cup [(A\setminus B)\times C]}$$

Aquí hay algunas reglas que demuestran la distributividad con otros operadores (ver la imagen de la izquierda): ^{[ 8 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}A\times (B\cap C)&=(A\times B)\cap (A\times C),\\A\times (B\cup C)&=(A\times B)\cup (A\times C),\\A\times (B\setminus C)&=(A\times B)\setminus (A\times C),\end{aligned}}}$$$${\displaystyle (A\times B)^{\complement }=\left(A^{\complement }\times B^{\complement }\right)\cup \left(A^{\complement }\times B\right)\cup \left(A\times B^{\complement }\right)\!,}$$ dónde${\displaystyle A^{\complement }}$denota el complemento absoluto de A.

Otras propiedades relacionadas con los subconjuntos son:

$${\displaystyle {\text{if }}A\subseteq B{\text{, then }}A\times C\subseteq B\times C;}$$

$${\displaystyle {\text{if both }}A,B\neq \emptyset {\text{, then }}A\times B\subseteq C\times D\!\iff \!A\subseteq C{\text{ and }}B\subseteq D.}$$^{[ 9 ]}

La cardinalidad de un conjunto es el número de elementos que lo componen. Por ejemplo, definamos dos conjuntos: A = {a, b} y B = {5, 6} . Tanto el conjunto A como el conjunto B constan de dos elementos cada uno. Su producto cartesiano, escrito como A × B , da como resultado un nuevo conjunto con los siguientes elementos:

A × B = {(a,5), (a,6), (b,5), (b,6)} .

donde cada elemento de A se empareja con cada elemento de B , y donde cada par constituye un elemento del conjunto de salida. El número de valores en cada elemento del conjunto resultante es igual al número de conjuntos cuyo producto cartesiano se está calculando; 2 en este caso. La cardinalidad del conjunto de salida es igual al producto de las cardinalidades de todos los conjuntos de entrada. Es decir,

| A × B | = | A | · | B | . ^{[ 4 ]}

En este caso, | A × B | = 4

Similarmente,

| A × B × C | = | A | · | B | · | C |

etcétera.

El conjunto A × B es infinito si A o B es infinito, y el otro conjunto no es el conjunto vacío. ^{[ 10 ]}

El producto cartesiano se puede generalizar al producto cartesiano n -ario sobre n conjuntos X ₁ , ..., X _n como el conjunto $${\displaystyle X_{1}\times \cdots \times X_{n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\mid x_{i}\in X_{i}\ {\text{for every}}\ i\in \{1,\ldots ,n\}\}}$$

de n -tuplas . Si las tuplas se definen como pares ordenados anidados , se puede identificar con ( X ₁ × ... × X _{n −1} ) × X _n . Si una tupla se define como una función en {1, 2, ..., n } que toma su valor en i como el i -ésimo elemento de la tupla, entonces el producto cartesiano X ₁ × ... × X _n es el conjunto de funciones. $${\displaystyle \{x:\{1,\ldots ,n\}\to X_{1}\cup \cdots \cup X_{n}\ |\ x(i)\in X_{i}\ {\text{for every}}\ i\in \{1,\ldots ,n\}\}.}$$

El cuadrado cartesiano de un conjunto X es el producto cartesiano X ² = X × X . Un ejemplo es el plano bidimensional R ² = R × R donde R es el conjunto de los números reales : ^{[ 1 ]} R ² es el conjunto de todos los puntos ( x , y ) donde x e y son números reales (ver el sistema de coordenadas cartesianas ).

La enésima potencia cartesiana de un conjunto X , denotada${\displaystyle X^{n}}$, puede definirse como $${\displaystyle X^{n}=\underbrace {X\times X\times \cdots \times X} _{n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\ |\ x_{i}\in X\ {\text{for every}}\ i\in \{1,\ldots ,n\}\}.}$$

Un ejemplo de esto es R ³ = R × R × R , donde R es nuevamente el conjunto de los números reales, ^{[ 1 ]} y más generalmente R ⁿ .

La enésima potencia cartesiana de un conjunto X puede identificarse con el conjunto de funciones que asignan a X las n- tuplas de elementos de X. Como caso especial, la potencia cero cartesiana de X es el conjunto unitario que tiene como único elemento la función vacía con codominio X.

Sean dados los productos cartesianos. ${\displaystyle A=A_{1}\times \dots \times A_{n}}$y${\displaystyle B=B_{1}\times \dots \times B_{n}}$. Entonces

1. ${\displaystyle A\subseteq B}$, si y solo si${\displaystyle A_{i}\subseteq B_{i}}$a pesar de${\displaystyle i=1,2,\ldots ,n}$; ^{[ 11 ]}
2. ${\displaystyle A\cap B=(A_{1}\cap B_{1})\times \dots \times (A_{n}\cap B_{n})}$, al mismo tiempo, si existe al menos uno${\displaystyle i}$de tal manera que${\displaystyle A_{i}\cap B_{i}=\varnothing }$, entonces${\displaystyle A\cap B=\varnothing }$; ^{[ 11 ]}
3. ${\displaystyle A\cup B\subseteq (A_{1}\cup B_{1})\times \dots \times (A_{n}\cup B_{n})}$, además, la igualdad solo es posible en los siguientes casos: ^{[ 12 ]}
   1. ${\displaystyle A\subseteq B}$o${\displaystyle B\subseteq A}$;
   2. a pesar de${\displaystyle i=1,2,\ldots ,n\quad A_{i}=B_{i}\quad }$excepto uno de${\displaystyle i}$.
4. El complemento de un producto cartesiano${\displaystyle A=A_{1}\times \dots \times A_{n}}$se puede calcular, ^{[ 12 ]} si se define un universo${\displaystyle U=X_{1}\times \dots \times X_{n}}$Para simplificar las expresiones, introducimos la siguiente notación. Denotemos el producto cartesiano como una tupla delimitada por corchetes; esta tupla incluye los conjuntos a partir de los cuales se forma el producto cartesiano, por ejemplo:

${\displaystyle A=A_{1}\times A_{2}\times \dots \times A_{n}=[A_{1}\quad A_{2}\quad \dots \quad A_{n}]}$.

En el álgebra de n-tuplas (NTA), ^{[ 12 ]} dicha representación matricial de productos cartesianos se denomina Cn-tupla .

Teniendo esto en cuenta, la unión de algunos productos cartesianos dados en el mismo universo puede expresarse como una matriz delimitada por corchetes, en la que las filas representan los productos cartesianos involucrados en la unión:

${\displaystyle A\cup B=(A_{1}\times A_{2}\times \dots \times A_{n})\cup (B_{1}\times B_{2}\times \dots \times B_{n})=\left[{\begin{array}{cccc}A_{1}&A_{2}&\dots &A_{n}\\B_{1}&B_{2}&\dots &B_{n}\end{array}}\right]}$.

Dicha estructura se denomina sistema C en NTA.

Luego, el complemento del producto cartesiano${\displaystyle A}$tendrá el siguiente aspecto: sistema C expresado como una matriz de dimensión${\displaystyle n\times n}$:

${\displaystyle A^{\complement }=\left[{\begin{array}{ccccc}A_{1}^{\complement }&X_{2}&\dots &X_{n-1}&X_{n}\\X_{1}&A_{2}^{\complement }&\dots &X_{n-1}&X_{n}\\\dots &\dots &\dots &\dots &\dots \\X_{1}&X_{2}&\dots &A_{n-1}^{\complement }&X_{n}\\X_{1}&X_{2}&\dots &X_{n-1}&A_{n}^{\complement }\end{array}}\right]}$.

Los componentes diagonales de esta matriz${\displaystyle A_{i}^{\complement }}$son iguales correspondientemente a${\displaystyle X_{i}\setminus A_{i}}$.

En NTA, un sistema C diagonal${\displaystyle A^{\complement }}$, que representa el complemento de una Cn -tupla${\displaystyle A}$, se puede escribir de forma concisa como una tupla de componentes diagonales delimitadas por corchetes invertidos:

${\displaystyle A^{\complement }=]A_{1}^{\complement }\quad A_{2}^{\complement }\quad \dots \quad A_{n}^{\complement }[}$.

Esta estructura se llama Dn-tupla . Luego, el complemento del sistema C${\displaystyle R}$es una estructura${\displaystyle R^{\complement }}$, representada por una matriz de la misma dimensión y delimitada por corchetes invertidos, en la que todos los componentes son iguales a los complementos de los componentes de la matriz inicial.${\displaystyle R}$Dicha estructura se denomina sistema D y se calcula, si es necesario, como la intersección de las Dn -tuplas que contiene. Por ejemplo, si se da el siguiente sistema C :

${\displaystyle R_{1}=\left[{\begin{array}{cccc}A_{1}&A_{2}&\dots &A_{n}\\B_{1}&B_{2}&\dots &B_{n}\end{array}}\right]}$,

Entonces su complemento será el sistema D.

${\displaystyle R_{1}^{\complement }=\left]{\begin{array}{cccc}A_{1}^{\complement }&A_{2}^{\complement }&\dots &A_{n}^{\complement }\\B_{1}^{\complement }&B_{2}^{\complement }&\dots &B_{n}^{\complement }\end{array}}\right[}$.

Consideremos algunas relaciones nuevas para estructuras con productos cartesianos obtenidas en el proceso de estudio de las propiedades de NTA. ^{[ 12 ]} Las estructuras definidas en el mismo universo se denominan homotípicas .

1. La intersección de sistemas C. Supongamos que se dan los sistemas C homotípicos.${\displaystyle P}$y${\displaystyle Q}$Su intersección producirá un sistema C que contiene todas las intersecciones no vacías de cada tupla Cn de${\displaystyle P}$con cada Cn -tupla de${\displaystyle Q}$.
2. Comprobación de la inclusión de una Cn-tupla en una Dn-tupla . Para la Cn -tupla${\displaystyle P=[P_{1}\quad P_{2}\quad \cdots \quad P_{N}]}$y la tupla Dn${\displaystyle Q=]Q_{1}\quad Q_{2}\quad \cdots \quad Q_{N}[}$sostiene${\displaystyle P\subseteq Q}$, si y solo si, al menos por uno${\displaystyle i}$sostiene${\displaystyle P_{i}\subseteq Q_{i}}$.
3. Comprobación de la inclusión de una Cn-tupla en un D-sistema . Para la Cn -tupla${\displaystyle P}$y el sistema D${\displaystyle Q}$es cierto${\displaystyle P\subseteq Q}$, si y solo si, para cada Dn -tupla${\displaystyle Q_{i}}$de${\displaystyle Q}$sostiene${\displaystyle P\subseteq Q_{i}}$.

Es posible definir el producto cartesiano de una familia arbitraria (posiblemente infinita ) de conjuntos indexados. Si I es cualquier conjunto de índices y${\displaystyle \{X_{i}\}_{i\in I}}$es una familia de conjuntos indexados por I , entonces el producto cartesiano de los conjuntos en${\displaystyle \{X_{i}\}_{i\in I}}$se define como $${\displaystyle \prod _{i\in I}X_{i}=\left\{\left.f:I\to \bigcup _{i\in I}X_{i}\ \right|\ \forall i\in I.\ f(i)\in X_{i}\right\},}$$ Es decir, el conjunto de todas las funciones definidas en el conjunto de índices I tales que el valor de la función en un índice particular i es un elemento de X _i . Incluso si cada uno de los X _i no es vacío, el producto cartesiano puede ser vacío si no se asume el axioma de elección , que es equivalente a la afirmación de que todo producto de este tipo no es vacío.${\displaystyle \prod _{i\in I}X_{i}}$también puede denotarse${\displaystyle {\mathsf {X}}}$${\displaystyle {}_{i\in I}X_{i}}$. ^{[ 13 ]}

Para cada j en I , la función $${\displaystyle \pi _{j}:\prod _{i\in I}X_{i}\to X_{j},}$$ definido por${\displaystyle \pi _{j}(f)=f(j)}$se denomina mapa de proyección j -ésimo .

La potencia cartesiana es un producto cartesiano donde todos los factores X _i son el mismo conjunto X . En este caso, $${\displaystyle \prod _{i\in I}X_{i}=\prod _{i\in I}X}$$ es el conjunto de todas las funciones de I a X , y frecuentemente se denota X ^I. Este caso es importante en el estudio de la exponenciación cardinal . Un caso especial importante es cuando el conjunto de índices es${\displaystyle \mathbb {N} }$, los números naturales : este producto cartesiano es el conjunto de todas las secuencias infinitas con el i -ésimo término en su conjunto correspondiente X _i . Por ejemplo, cada elemento de $${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }\mathbb {R} =\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \cdots }$$ puede visualizarse como un vector con componentes de números reales infinitamente numerables. Este conjunto se denota frecuentemente${\displaystyle \mathbb {R} ^{\omega }}$, o${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$.

Si se multiplican varios conjuntos entre sí (por ejemplo, X ₁ , X ₂ , X ₃ , ... ), entonces algunos autores ^{[ 14 ]} optan por abreviar el producto cartesiano simplemente como × X _i .

Si f es una función de X a A y g es una función de Y a B , entonces su producto cartesiano f × g es una función de X × Y a A × B con $${\displaystyle (f\times g)(x,y)=(f(x),g(y)).}$$

Esto se puede extender a tuplas y colecciones infinitas de funciones. Esto difiere del producto cartesiano estándar de funciones consideradas como conjuntos.

Dejar${\displaystyle A}$ser un conjunto y${\displaystyle B\subseteq A}$. Entonces el cilindro de${\displaystyle B}$con respecto a${\displaystyle A}$es el producto cartesiano${\displaystyle B\times A}$de${\displaystyle B}$y${\displaystyle A}$.

Normalmente,${\displaystyle A}$se considera el universo del contexto y se deja de lado. Por ejemplo, si${\displaystyle B}$es un subconjunto de los números naturales${\displaystyle \mathbb {N} }$, entonces el cilindro de${\displaystyle B}$es${\displaystyle B\times \mathbb {N} }$.

Aunque el producto cartesiano se aplica tradicionalmente a conjuntos, la teoría de categorías proporciona una interpretación más general del producto de estructuras matemáticas. El producto es el ejemplo más simple de límite categórico, donde la categoría de indexación es discreta. Como la categoría de conjuntos se puede identificar con categorías discretas e incrustar de esta manera como una subcategoría completa de${\displaystyle \operatorname {Cat} }$Los diagramas que indexan productos pueden reducirse a conjuntos de índices que coincidan con la definición de la teoría de conjuntos.

En teoría de grafos , el producto cartesiano de dos grafos G y H es el grafo denotado por G × H , cuyo conjunto de vértices es el producto cartesiano (ordinario) V ( G ) × V ( H ) y tal que dos vértices ( u , v ) y ( u ′, v ′) son adyacentes en G × H , si y solo si u = u ′ y v es adyacente a v ′ en H , o v = v ′ y u es adyacente a u ′ en G . El producto cartesiano de grafos no es un producto en el sentido de la teoría de categorías. En cambio, el producto categórico se conoce como el producto tensorial de grafos .