Complement (set theory)

If A is a set, then the absolute complement of A (or simply the complement of A) is the set of elements not in A (within a larger set that is implicitly defined). In other words, let U be a set that contains all the elements under study; if there is no need to mention U, either because it has been previously specified, or it is obvious and unique, then the absolute complement of A is the relative complement of A in U:^[3][a]$${\displaystyle A^{c}=U\setminus A=\{x\in U:x\notin A\}.}$$

The absolute complement of A is usually denoted by ${\displaystyle A^{c}}$.^[3] Other notations include ${\displaystyle {\overline {A}}}$,^[4]${\displaystyle A',}$^[2]${\displaystyle \complement _{U}A,{\text{ y }}\complement A.}$^[5]

• Assume that the universe is the set of integers. If A is the set of odd numbers, then the complement of A is the set of even numbers. If B is the set of multiples of 3, then the complement of B is the set of numbers congruent to 1 or 2 modulo 3 (or, in simpler terms, the integers that are not multiples of 3).
• Supongamos que el universo es una baraja estándar de 52 cartas . Si el conjunto A es el palo de picas, entonces el complemento de A es la unión de los palos de tréboles, diamantes y corazones. Si el conjunto B es la unión de los palos de tréboles y diamantes, entonces el complemento de B es la unión de los palos de corazones y picas.
• Cuando el universo es el universo de conjuntos descrito en la teoría formalizada de conjuntos , el complemento absoluto de un conjunto generalmente no es un conjunto en sí mismo, sino una clase propia . Para más información, consulte el conjunto universal .

Sean A y B dos conjuntos en un universo U. Las siguientes identidades capturan propiedades importantes de los complementos absolutos:

Leyes de De Morgan : ^{[ 3 ]}

• ${\displaystyle \left(A\cup B\right)^{c}=A^{c}\cap B^{c}.}$
• ${\displaystyle \left(A\cap B\right)^{c}=A^{c}\cup B^{c}.}$

Leyes complementarias: ^{[ 3 ]}

• ${\displaystyle A\cup A^{c}=U.}$
• ${\displaystyle A\cap A^{c}=\emptyset .}$
• ${\displaystyle \emptyset ^{c}=U.}$
• ${\displaystyle U^{c}=\emptyset .}$
• ${\displaystyle {\text{Si }}A\subseteq B{\text{, entonces }}B^{c}\subseteq A^{c}.}$

  (esto se deduce de la equivalencia de un condicional con su contrapositivo ).

Ley de involución o ley del doble complemento:

• ${\displaystyle \left(A^{c}\right)^{c}=A.}$

Relaciones entre complementos relativos y absolutos:

• ${\displaystyle A\setminus B=A\cap B^{c}.}$
• ${\displaystyle (A\setminus B)^{c}=A^{c}\cup B=A^{c}\cup (B\cap A).}$

Relación con una diferencia establecida:

• ${\displaystyle A^{c}\setminus B^{c}=B\setminus A.}$

Las dos primeras leyes del complemento anteriores muestran que si A es un subconjunto propio no vacío de U , entonces { A , A ^∁ } es una partición de U.

Si A y B son conjuntos, entonces el complemento relativo de A en B , ^{[ 3 ]} también denominado diferencia de conjuntos de B y A , ^{[ 6 ]} es el conjunto de elementos en B pero no en A.

El complemento relativo de A en B se denota${\displaystyle B\setminus A}$Según la norma ISO 31-11 . A veces se escribe${\displaystyle BA,}$pero esta notación puede ser ambigua, ya que en algunos contextos (por ejemplo, operaciones de conjuntos de Minkowski en análisis funcional ) puede interpretarse como el conjunto de todos los elementos.${\displaystyle ba,}$donde b se toma de B y a de A.

Formalmente: $${\displaystyle B\setminus A=\{x\in B:x\notin A\}.}$$

• ${\displaystyle \{1,2,3\}\setminus \{2,3,4\}=\{1\}.}$
• ${\displaystyle \{2,3,4\}\setminus \{1,2,3\}=\{4\}.}$
• Si${\displaystyle \mathbb {R} }$es el conjunto de los números reales y${\displaystyle \mathbb {Q} }$es el conjunto de los números racionales , entonces${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }$es el conjunto de los números irracionales .

Sean A , B y C tres conjuntos en un universo U. Las siguientes identidades capturan propiedades notables de los complementos relativos:

• ${\displaystyle C\setminus (A\cap B)=(C\setminus A)\cup (C\setminus B).}$
• ${\displaystyle C\setminus (A\cup B)=(C\setminus A)\cap (C\setminus B).}$
• ${\displaystyle C\setminus (B\setminus A)=(C\cap A)\cup (C\setminus B),}$

  con el importante caso especial${\displaystyle C\setminus (C\setminus A)=(C\cap A)}$demostrando que la intersección puede expresarse utilizando únicamente la operación de complemento relativo.

• ${\displaystyle (B\setminus A)\cap C=(B\cap C)\setminus A=B\cap (C\setminus A).}$
• ${\displaystyle (B\setminus A)\cup C=(B\cup C)\setminus (A\setminus C).}$
• ${\displaystyle A\setminus A=\emptyset .}$
• ${\displaystyle \emptyset \setminus A=\emptyset .}$
• ${\displaystyle A\setminus \emptyset =A.}$
• ${\displaystyle A\setminus U=\emptyset .}$
• Si${\displaystyle A\subset B}$, entonces${\displaystyle C\setminus A\supset C\setminus B}$.
• ${\displaystyle A\supseteq B\setminus C}$es equivalente a${\displaystyle C\supseteq B\setminus A}$.