Cierre reflexivo

En matemáticas , el cierre reflexivo de una relación binaria en un conjunto es la relación reflexiva más pequeña que contiene. Una relación se llama reflexiva si relaciona cada elemento de sí misma. ${\estilo de visualización R}$ ${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización R.}$${\estilo de visualización X}$

Por ejemplo, si es un conjunto de números distintos y significa " es menor que ", entonces el cierre reflexivo de es la relación " es menor o igual que ".${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización xRy}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización y}$${\estilo de visualización R}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización y}$

El cierre reflexivo de una relación en un conjunto está dado por ${\estilo de visualización S}$${\estilo de visualización R}$${\estilo de visualización X}$$${\displaystyle S=R\cup \{(x,x):x\en X\}}$$

En términos sencillos, el cierre reflexivo de es la unión de con la relación de identidad en${\estilo de visualización R}$${\estilo de visualización R}$${\estilo de visualización X.}$

A modo de ejemplo, si entonces la relación ya es reflexiva por sí misma, entonces no difiere de su clausura reflexiva. $${\displaystyle X=\{1,2,3,4\}}$$ $${\displaystyle R=\{(1,1),(1,3),(2,2),(3,3),(4,4)\}}$$${\estilo de visualización R}$

Sin embargo, si alguno de los pares reflexivos en estuviera ausente, se insertaría para el cierre reflexivo. Por ejemplo, si están en el mismo conjunto, entonces el cierre reflexivo es ${\estilo de visualización R}$${\estilo de visualización X}$ $${\displaystyle R=\{(1,1),(1,3),(2,2),(4,4)\}}$$$${\displaystyle S=R\cup \{(x,x):x\en X\}=\{(1,1),(1,3),(2,2),(3,3),(4,4)\}.}$$

• Cierre simétrico  : operación sobre relaciones binariasPáginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa
• Cierre transitivo  : relación transitiva más pequeña que contiene una relación binaria dada

• Franz Baader y Tobias Nipkow , Term Rewriting and All That , Cambridge University Press, 1998, pág. 8