Desigualdad (matemáticas)

En matemáticas , una desigualdad es una relación que establece una comparación no igual entre dos números u otras expresiones matemáticas. ^{[ 1 ]} Se utiliza con mayor frecuencia para comparar dos números en la recta numérica según su magnitud. Los principales tipos de desigualdad son menor que y mayor que (denotados por < y > , respectivamente ).

Existen varias notaciones diferentes que se utilizan para representar distintos tipos de desigualdades:

• La notación a < b significa que a es menor que b .
• La notación a > b significa que a es mayor que b .

En ambos casos, a no es igual a b . Estas relaciones se conocen como desigualdades estrictas , ^{[ 1 ]} lo que significa que a es estrictamente menor que o estrictamente mayor que b . La igualdad está excluida.

A diferencia de las desigualdades estrictas, existen dos tipos de relaciones de desigualdad que no son estrictas:

• La notación a ≤ b o a ⩽ b o a ≦ b significa que a es menor o igual que b (o, equivalentemente, como máximo b ).
• La notación a ≥ b o a ⩾ b o a ≧ b significa que a es mayor o igual que b (o, equivalentemente, al menos b ).

En los siglos XVII y XVIII, se usaban notaciones personales o signos de escritura para señalar desigualdades. ^{[ 2 ]} Por ejemplo, en 1670, John Wallis usó una sola barra horizontal encima en lugar de debajo de < y >. Más tarde, en 1734, ≦ y ≧, conocidos como "menor que (mayor que) sobre igual a" o "menor que (mayor que) o igual a con doble barra horizontal", aparecieron por primera vez en la obra de Pierre Bouguer . ^{[ 3 ]} Después de eso, los matemáticos simplificaron el símbolo de Bouguer a "menor que (mayor que) o igual a con una barra horizontal" (≤), o "menor que (mayor que) o igual inclinado a" (⩽).

La relación no mayor que también puede representarse por${\displaystyle a\ngtr b,}$el símbolo de "mayor que" dividido por una barra, "no". Lo mismo ocurre con " no menor que " .${\displaystyle a\nless b.}$

La notación a ≠ b significa que a no es igual a b ; esta inecuación a veces se considera una forma de desigualdad estricta. ^{[ 4 ]} No dice que uno sea mayor que el otro; ni siquiera requiere que a y b sean miembros de un conjunto ordenado .

En las ciencias de la ingeniería, un uso menos formal de la notación es para indicar que una cantidad es "mucho mayor" que otra, ^{[ 5 ]} normalmente por varios órdenes de magnitud .

• La notación a ≪ b significa que a es mucho menor que b . ^{[ 6 ]}
• La notación a ≫ b significa que a es mucho mayor que b . ^{[ 7 ]}

Esto implica que el valor menor puede despreciarse sin que ello afecte significativamente a la precisión de una aproximación (como en el caso del límite ultrarrelativista en física).

En todos los casos anteriores, dos símbolos que se reflejan mutuamente son simétricos; a < b y b > a son equivalentes, etc.

Las desigualdades se rigen por las siguientes propiedades . Todas estas propiedades también se cumplen si todas las desigualdades no estrictas (≤ y ≥) se reemplazan por sus correspondientes desigualdades estrictas (< y >) y —en el caso de aplicar una función— las funciones monótonas se limitan a funciones estrictamente monótonas .

Suma y resta

Se puede sumar o restar una constante común c a ambos lados de una desigualdad. ^{[ 4 ]} Por lo tanto, para cualesquiera números reales a , b , c :

Si a ≤ b , entonces a + c ≤ b + c y a − c ≤ b − c .

En otras palabras, la relación de desigualdad se conserva bajo la suma (o la resta) y los números reales forman un grupo ordenado bajo la suma.

Multiplicación y división

Las propiedades que tratan sobre la multiplicación y la división establecen que para cualesquiera números reales, a , b y c distinto de cero :

Si a ≤ b y c > 0, entonces ac ≤ bc y ⁠ a / c ⁠ ≤ ⁠ b / c ⁠ .

Si a ≤ b y c < 0, entonces ac ≥ bc y ⁠ a / c ⁠ ≥ ⁠ b / c ⁠ .

En otras palabras, la relación de desigualdad se conserva al multiplicar y dividir con una constante positiva, pero se invierte cuando interviene una constante negativa. En términos más generales, esto se aplica a un cuerpo ordenado . Para más información, véase la sección «  Cuerpos ordenados» .

Aplicar una función a ambos lados

Cualquier función monótonamente creciente , por definición, ^{[ 9 ]} puede aplicarse a ambos lados de una desigualdad sin romper la relación de desigualdad (siempre que ambas expresiones estén en el dominio de dicha función). Sin embargo, aplicar una función monótonamente decreciente a ambos lados de una desigualdad implica invertir la relación de desigualdad. Las reglas para el inverso aditivo y el inverso multiplicativo para números positivos son ejemplos de la aplicación de una función monótonamente decreciente.

Si la desigualdad es estricta ( a < b , a > b ) y la función es estrictamente monótona, entonces la desigualdad sigue siendo estricta. Si solo una de estas condiciones es estricta, entonces la desigualdad resultante no es estricta. De hecho, las reglas para los inversos aditivos y multiplicativos son ejemplos de la aplicación de una función estrictamente monótona decreciente.

Algunos ejemplos de esta regla son:

• Elevar ambos lados de una desigualdad a una potencia n > 0 (equivalente a − n < 0), cuando a y b son números reales positivos:
  0 ≤ a ≤ b ⇔ 0 ≤ a ⁿ ≤ b ⁿ .
  0 ≤ a ≤ b ⇔ a ^{− n} ≥ b ^{− n} ≥ 0.
• Al aplicar el logaritmo natural a ambos lados de una desigualdad, cuando a y b son números reales positivos:
  0 < a ≤ b ⇔ ln( a ) ≤ ln( b ).
  0 < a < b ⇔ ln( a ) < ln( b ).
  (Esto es cierto porque el logaritmo natural es una función estrictamente creciente).

Un orden parcial (no estricto) es una relación binaria ≤ sobre un conjunto P que es reflexiva , antisimétrica y transitiva . ^{[ 10 ]} Es decir, para todo a , b y c en P , debe satisfacer las tres cláusulas siguientes:

• a ≤ a ( reflexividad )
• Si a ≤ b y b ≤ a , entonces a = b ( antisimetría ).
• Si a ≤ b y b ≤ c , entonces a ≤ c ( transitividad ).

Un conjunto con un orden parcial se llama conjunto parcialmente ordenado . ^{[ 11 ]} Estos son los axiomas básicos que todo tipo de orden debe satisfacer.

Un orden parcial estricto es una relación < que satisface

• a ≮ a ( irreflexividad ),
• si a < b , entonces b ≮ a ( asimetría ),
• si a < b y b < c , entonces a < c ( transitividad ),

donde ≮ significa que < no se cumple.

Algunos tipos de órdenes parciales se especifican añadiendo axiomas adicionales, como por ejemplo:

• Orden total : Para cada a y b en P , a ≤ b o b ≤ a .
• Orden denso : Para todo a y b en P para los cuales a < b , existe un c en P tal que a < c < b .
• Propiedad del límite superior mínimo : Todo subconjunto no vacío de P con un límite superior tiene un límite superior mínimo (supremo) en P.

La notación a < b < c significa " a < b y b < c ", de lo cual, por la propiedad de transitividad anterior, también se deduce que a < c . Según las leyes anteriores, se puede sumar o restar el mismo número a los tres términos, o multiplicar o dividir los tres términos por el mismo número distinto de cero e invertir todas las desigualdades si ese número es negativo. Por lo tanto, por ejemplo, a < b + e < c es equivalente a a − e < b < c − e .

Esta notación se puede generalizar a cualquier número de términos: por ejemplo, a ₁ ≤ a ₂ ≤ ... ≤ a _n significa que a _i ≤ a _{i +1} para i = 1, 2, ..., n − 1. Por transitividad, esta condición es equivalente a a _i ≤ a _j para cualquier 1 ≤ i ≤ j ≤ n .

Al resolver desigualdades usando notación encadenada, es posible y a veces necesario evaluar los términos de forma independiente. Por ejemplo, para resolver la desigualdad 4 x < 2 x + 1 ≤ 3 x + 2, no es posible aislar x en ninguna parte de la desigualdad mediante suma o resta. En cambio , las desigualdades deben resolverse de forma independiente, obteniendo x < 1 / 2 y x ≥ −1 respectivamente , que se pueden combinar en la solución final −1 ≤ x < 1 / 2 .

En ocasiones, la notación encadenada se utiliza con desigualdades en diferentes direcciones, en cuyo caso el significado es la conjunción lógica de las desigualdades entre términos adyacentes. Por ejemplo, la condición definitoria de un poset en zigzag se escribe como a ₁ < a ₂ > a ₃ < a ₄ > a ₅ < a ₆ > ... . La notación encadenada mixta se utiliza con mayor frecuencia con relaciones compatibles, como <, =, ≤. Por ejemplo, a < b = c ≤ d significa que a < b , b = c , y c ≤ d . Esta notación existe en algunos lenguajes de programación como Python . En cambio, en lenguajes de programación que proporcionan un ordenamiento en el tipo de resultados de comparación, como C , incluso las cadenas homogéneas pueden tener un significado completamente diferente. ^{[ 14 ]}

Se dice que una desigualdad es precisa si no se puede relajar y seguir siendo válida en general. Formalmente, una desigualdad cuantificada universalmente φ se llama precisa si, para toda desigualdad cuantificada universalmente válida ψ , si se cumple ψ ⇒ φ , entonces también se cumple ψ ⇔ φ . Por ejemplo, la desigualdad ∀ a ∈ R . a ² ≥ 0 es precisa, mientras que la desigualdad ∀ a ∈ R . a ² ≥ −1 no lo es.

Hay muchas desigualdades entre medias. Por ejemplo, para cualesquiera números positivos a ₁ , a ₂ , ..., a _n tenemos

${\displaystyle H\leq G\leq A\leq Q,}$

donde representan los siguientes medios de la secuencia:

• Media armónica  :${\displaystyle H={\frac {n}{{\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{a_{n}}}}}}$
• Media geométrica  :${\displaystyle G={\sqrt[{n}]{a_{1}\cdot a_{2}\cdots a_{n}}}}$
• Media aritmética  :${\displaystyle A={\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}}$
• Media cuadrática  :${\displaystyle Q={\sqrt {\frac {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{n}^{2}}{n}}}}$

La desigualdad de Cauchy-Schwarz establece que para todos los vectores u y v de un espacio con producto interno se cumple que $${\displaystyle |\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |^{2}\leq \langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle \cdot \langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle ,}$$ dónde${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$es el producto interno . Ejemplos de productos internos incluyen el producto escalar real y complejo ; En el espacio euclidiano R ⁿ con el producto interno estándar, la desigualdad de Cauchy-Schwarz es $${\displaystyle {\biggl (}\sum _{i=1}^{n}u_{i}v_{i}{\biggr )}^{2}\leq {\biggl (}\sum _{i=1}^{n}u_{i}^{2}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{i=1}^{n}v_{i}^{2}{\biggr )}.}$$

Una desigualdad de potencia es una desigualdad que contiene términos de la forma a ^b , donde a y b son números reales positivos o expresiones variables. Suelen aparecer en ejercicios de olimpiadas matemáticas .

Ejemplos:

• Para cualquier x real ,$${\displaystyle e^{x}\geq 1+x.}$$
• Si x > 0 y p > 0, entonces$${\displaystyle {\frac {1}{p}}\left(x^{p}-1\right)\geq \ln(x)\geq {\frac {1}{p}}\left(1-{\frac {1}{x^{p}}}\right).}$$En el límite de p → 0, los límites superior e inferior convergen a ln( x ).
• Si x > 0, entonces$${\displaystyle x^{x}\geq \left({\frac {1}{e}}\right)^{\frac {1}{e}}.}$$
• Si x > 0, entonces$${\displaystyle x^{x^{x}}\geq x.}$$
• Si x , y , z > 0, entonces$${\displaystyle \left(x+y\right)^{z}+\left(x+z\right)^{y}+\left(y+z\right)^{x}>2.}$$
• Para cualesquiera números reales distintos a y b ,$${\displaystyle {\frac {e^{b}-e^{a}}{ba}}>e^{\frac {a+b}{2}}.}$$
• Si x , y > 0 y 0 < p < 1, entonces$${\displaystyle x^{p}+y^{p}>\left(x+y\right)^{p}.}$$
• Si x , y , z > 0, entonces$${\displaystyle x^{x}y^{y}z^{z}\geq \left(xyz\right)^{\frac {x+y+z}{3}}.}$$
• Si a , b > 0, entonces ^{[ 15 ]}$${\displaystyle a^{a}+b^{b}\geq a^{b}+b^{a}.}$$
• Si a , b > 0, entonces ^{[ 16 ]}$${\displaystyle a^{ea}+b^{eb}\geq a^{eb}+b^{ea}.}$$
• Si a , b , c > 0, entonces$${\displaystyle a^{2a}+b^{2b}+c^{2c}\geq a^{2b}+b^{2c}+c^{2a}.}$$
• Si a , b > 0, entonces$${\displaystyle a^{b}+b^{a}>1.}$$

Los matemáticos suelen utilizar desigualdades para acotar cantidades para las que no es fácil calcular fórmulas exactas. Algunas desigualdades se utilizan con tanta frecuencia que incluso tienen nombre:

El conjunto de números complejos${\displaystyle \mathbb {C} }$con sus operaciones de suma y multiplicación es un campo , pero es imposible definir ninguna relación ≤ tal que${\displaystyle (\mathbb {C} ,+,\times ,\leq )}$se convierte en un campo ordenado . Para hacer${\displaystyle (\mathbb {C} ,+,\times ,\leq )}$un campo ordenado , tendría que satisfacer las dos propiedades siguientes:

• si a ≤ b , entonces a + c ≤ b + c ;
• Si 0 ≤ a y 0 ≤ b , entonces 0 ≤ ab .

Como ≤ es un orden total , para cualquier número a , o bien 0 ≤ a o bien a ≤ 0 (en cuyo caso la primera propiedad anterior implica que 0 ≤ − a ). En cualquier caso, 0 ≤ a ² ; esto significa que i ² > 0 y 1 ² > 0 ; por lo tanto, −1 > 0 y 1 > 0 , lo que significa (−1 + 1) > 0; contradicción.

Sin embargo, una operación ≤ puede definirse de manera que satisfaga solo la primera propiedad (es decir, "si a ≤ b , entonces a + c ≤ b + c "). A veces se utiliza la definición de orden lexicográfico :

• a ≤ b , si
  • Re( a ) < Re( b ) , o
  • Re( a ) = Re( b ) e Im( a ) ≤ Im( b )

Se puede demostrar fácilmente que para esta definición a ≤ b implica a + c ≤ b + c .

Los sistemas de desigualdades lineales pueden simplificarse mediante la eliminación de Fourier-Motzkin . ^{[ 17 ]}

La descomposición algebraica cilíndrica es un algoritmo que permite comprobar si un sistema de ecuaciones e inecuaciones polinómicas tiene soluciones y, en caso afirmativo, describirlas. La complejidad de este algoritmo es doblemente exponencial con respecto al número de variables. El diseño de algoritmos más eficientes para casos específicos constituye un campo de investigación activo.

• Relación binaria
• Corchete (matemáticas) , para el uso de signos similares ‹  y › como corchetes. 
• Inclusión (teoría de conjuntos)
• Desigualdad
• Intervalo (matemáticas)
• Lista de desigualdades
• Lista de desigualdades triangulares
• Conjunto parcialmente ordenado
• Operadores relacionales , utilizados en lenguajes de programación para denotar desigualdad.

• Hardy, G.; Littlewood , J. E .; Pólya, G. (1999). Desigualdades . Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press. ISBN 0-521-05206-8.
• Beckenbach, EF ; Bellman, R. (1975). Introducción a las desigualdades . Random House Inc. ISBN 0-394-01559-2.
• Drachman, Byron C.; Cloud, Michael J. (1998). Desigualdades: con aplicaciones a la ingeniería . Springer-Verlag. ISBN 0-387-98404-6.
• Grinshpan, AZ (2005), "Desigualdades generales, consecuencias y aplicaciones", Advances in Applied Mathematics , 34 (1): 71–100 , doi : 10.1016/j.aam.2004.05.001
• Klamkin, Murray S.Desigualdades "rápidas" (PDF) . Estrategias matemáticas . Archivado (PDF) del original el 9 de octubre de 2022.
• Lohwater, Arthur (1982). Introducción a las desigualdades (Apuntes de clase).
• Shapiro, Harold (2005). "Resolución de problemas matemáticos" . El seminario del viejo problema . Kungliga Tekniska högskolan.
• "3.ª USAMO" . Archivado del original el 3 de febrero de 2008.
• Pachpatte, BG (2005). Desigualdades matemáticas . Biblioteca Matemática de Holanda Septentrional. Vol.  67 (primera  ed.). Ámsterdam, Países Bajos: Elsevier . ISBN 0-444-51795-2. ISSN 0924-6509 . SEÑOR 2147066 . Zbl 1091.26008 .   
• Ehrgott, Matthias (2005). Optimización multicriterio . Springer-Berlín. ISBN 3-540-21398-8.
• Steele, J. Michael (2004). The Cauchy-Schwarz Master Class: An Introduction to the Art of Mathematical Inequalities . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-54677-5.

• "Desigualdad" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Gráfica de desigualdades por Ed Pegg, Jr.
• Entrada de la wiki de AoPS sobre desigualdades