Relación reflexiva

En matemáticas , una relación binaria en un conjunto es reflexiva si relaciona cada elemento de él consigo mismo. ^{[1] [2]}${\estilo de visualización R}$ ${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización X}$

Un ejemplo de una relación reflexiva es la relación " es igual a " en el conjunto de los números reales , ya que todo número real es igual a sí mismo. Se dice que una relación reflexiva tiene la propiedad reflexiva o que posee reflexividad . Junto con la simetría y la transitividad , la reflexividad es una de las tres propiedades que definen las relaciones de equivalencia .

Se dice que una relación en el conjunto es reflexiva si para cada , . ${\estilo de visualización R}$${\estilo de visualización X}$${\displaystyle x\en X}$${\displaystyle (x,x)\en R}$

De manera equivalente, dejando denotar la relación de identidad en , la relación es reflexiva si . ${\displaystyle \operatorname {I} _{X}:=\{(x,x)~:~x\en X\}}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización R}$${\displaystyle \operatorname {I} _{X}\subseteq R}$

El cierre reflexivo de es la unión que puede definirse de manera equivalente como la relación reflexiva más pequeña (con respecto a ) en que es un superconjunto de Una relación es reflexiva si y solo si es igual a su cierre reflexivo. ${\estilo de visualización R}$${\displaystyle R\cup \nombre del operador {I} _{X},}$${\displaystyle \subseteq}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización R.}$${\estilo de visualización R}$

La reducción reflexiva o núcleo irreflexivo de es la relación más pequeña (con respecto a ) en que tiene el mismo cierre reflexivo que Es igual a La reducción reflexiva de puede, en cierto sentido, verse como una construcción que es el "opuesto" del cierre reflexivo de Por ejemplo, el cierre reflexivo de la desigualdad estricta canónica en los reales es la desigualdad no estricta habitual mientras que la reducción reflexiva de es${\estilo de visualización R}$${\displaystyle \subseteq}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización R.}$${\displaystyle R\setminus \operatorname {I} _{X}=\{(x,y)\in R~:~x\neq y\}.}$${\estilo de visualización R}$${\estilo de visualización R.}$${\estilo de visualización <}$ ${\displaystyle \mathbb {R}}$${\estilo de visualización \leq}$${\estilo de visualización \leq}$${\estilo de visualización <.}$

Existen varias definiciones relacionadas con la propiedad reflexiva. La relación se denomina: ${\estilo de visualización R}$

irreflexivo ,antirreflexivo oaliorelativo

^[3] si no relaciona ningún elemento consigo mismo; es decir, si se cumple para ningún Una relación es irreflexiva si y solo si su complemento en es reflexivo. Una relación asimétrica es necesariamente irreflexiva. Una relación transitiva e irreflexiva es necesariamente asimétrica.${\estilo de visualización xRx}$${\displaystyle x\en X.}$${\displaystyle X\veces X}$

izquierda cuasi-reflexiva

Si siempre que son tales que entonces necesariamente ^[4]${\displaystyle x,y\en X}$${\estilo de visualización xRy,}$${\estilo de visualización xRx.}$

derecho cuasi-reflexivo

si siempre son tales que entonces necesariamente${\displaystyle x,y\en X}$${\estilo de visualización xRy,}$${\displaystyle yRy.}$

cuasi-reflexivo

si cada elemento que forma parte de alguna relación está relacionado consigo mismo. Explícitamente, esto significa que siempre que sean tales que entonces necesariamente y Equivalentemente, una relación binaria es cuasi-reflexiva si y solo si es cuasi-reflexiva izquierda y cuasi-reflexiva derecha. Una relación es cuasi-reflexiva si y solo si su cierre simétrico es cuasi-reflexivo izquierdo (o derecho).${\displaystyle x,y\en X}$${\estilo de visualización xRy,}$${\estilo de visualización xRx}$${\displaystyle yRy.}$${\estilo de visualización R}$ ${\displaystyle R\cup R^{\nombre del operador {T} }}$

antisimétrico

si siempre son tales que entonces necesariamente${\displaystyle x,y\en X}$${\displaystyle xRy{\text{ y }}yRx,}$${\displaystyle x=y.}$

coreflexivo

si siempre que son tales que entonces necesariamente ^[5] Una relación es correflexiva si y sólo si su cierre simétrico es antisimétrico .${\displaystyle x,y\en X}$${\estilo de visualización xRy,}$${\displaystyle x=y.}$${\estilo de visualización R}$

Una relación reflexiva en un conjunto no vacío no puede ser irreflexiva, ni asimétrica ( se llama asimétrica si implica no ), ni antitransitiva ( es antitransitiva si implica no ). ${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización R}$${\estilo de visualización xRy}$${\estilo de visualización yRx}$${\estilo de visualización R}$${\displaystyle xRy{\text{ y }}yRz}$${\estilo de visualización xRz}$

Ejemplos de relaciones reflexivas incluyen:

• "es igual a" ( igualdad )
• "es un subconjunto de" (inclusión de conjunto)
• "divide" ( divisibilidad )
• "es mayor o igual que"
• "es menor o igual a"

Ejemplos de relaciones irreflexivas incluyen:

• "no es igual a"
• "es coprimo con" en los números enteros mayores que 1
• "es un subconjunto apropiado de"
• "es mayor que"
• "es menor que"

Un ejemplo de una relación irreflexiva, que significa que no relaciona ningún elemento consigo mismo, es la relación "mayor que" ( ) sobre los números reales . No toda relación que no sea reflexiva es irreflexiva; es posible definir relaciones donde algunos elementos están relacionados consigo mismos pero otros no (es decir, ni todos ni ninguno lo están). Por ejemplo, la relación binaria "el producto de y es par" es reflexiva sobre el conjunto de los números pares , irreflexiva sobre el conjunto de los números impares y ni reflexiva ni irreflexiva sobre el conjunto de los números naturales . ${\displaystyle x>y}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización y}$

Un ejemplo de una relación cuasi-reflexiva es "tiene el mismo límite que" en el conjunto de secuencias de números reales: no toda secuencia tiene un límite y, por lo tanto, la relación no es reflexiva, pero si una secuencia tiene el mismo límite que alguna secuencia, entonces tiene el mismo límite que ella misma. Un ejemplo de una relación cuasi-reflexiva izquierda es una relación euclidiana izquierda , que siempre es cuasi-reflexiva izquierda pero no necesariamente cuasi-reflexiva derecha y, por lo tanto, no necesariamente cuasi-reflexiva. ${\estilo de visualización R}$

Un ejemplo de una relación correflexiva es la relación entre números enteros en la que cada número impar está relacionado consigo mismo y no existen otras relaciones. La relación de igualdad es el único ejemplo de una relación reflexiva y correflexiva, y cualquier relación correflexiva es un subconjunto de la relación de identidad. La unión de una relación correflexiva y una relación transitiva en el mismo conjunto siempre es transitiva.

El número de relaciones reflexivas en un conjunto de elementos es ^[6]${\estilo de visualización n}$${\displaystyle 2^{n^{2}-n}.}$

Téngase en cuenta que S ( n , k ) se refiere a números de Stirling del segundo tipo .

Los autores de lógica filosófica suelen utilizar una terminología diferente. Las relaciones reflexivas en el sentido matemático se denominan totalmente reflexivas en lógica filosófica, y las relaciones cuasi-reflexivas se denominan reflexivas . ^{[7] [8]}

• "Reflexividad", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]