Matriz de densidad

En mecánica cuántica , una matriz de densidad (u operador de densidad ) es una matriz que se utiliza para calcular las probabilidades de los resultados de las mediciones realizadas en sistemas físicos . ^{[ 1 ]} Es una generalización de los vectores de estado o funciones de onda : mientras que estos solo pueden representar estados puros , las matrices de densidad también pueden representar conjuntos mixtos de estados. ^{[ 2 ] : 73 [ 3 ] : 100} Estas surgen en mecánica cuántica en dos situaciones diferentes:

1. cuando la preparación de un sistema puede producir aleatoriamente diferentes estados puros, y por lo tanto hay que lidiar con la estadística del conjunto de posibles preparaciones; y
2. Cuando se desea describir un sistema físico entrelazado con otro, sin describir su estado combinado. Este caso es típico para un sistema que interactúa con algún entorno (por ejemplo, la decoherencia ). En este caso, la matriz de densidad de un sistema entrelazado difiere de la de un conjunto de estados puros que, combinados, darían los mismos resultados estadísticos al medirlos.

Por lo tanto, las matrices de densidad son herramientas cruciales en áreas de la mecánica cuántica que tratan con estados mixtos (que no deben confundirse con estados superpuestos ), como la mecánica estadística cuántica , los sistemas cuánticos abiertos y la información cuántica .

La matriz de densidad es una representación de un operador lineal llamado operador de densidad . La matriz de densidad se obtiene a partir del operador de densidad mediante la elección de una base ortonormal en el espacio subyacente. ^{[ 4 ]} En la práctica, los términos matriz de densidad y operador de densidad se utilizan a menudo indistintamente.

Elija una base con estados${\displaystyle |0\rangle }$,${\displaystyle |1\rangle }$En un espacio de Hilbert bidimensional , el operador de densidad se representa mediante la matriz $${\displaystyle (\rho _{ij})=\left({\begin{matrix}\rho _{00}&\rho _{01}\\\rho _{10}&\rho _{11}\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}p_{0}&\rho _{01}\\\rho _{01}^{*}&p_{1}\end{matrix}}\right)}$$ donde los elementos diagonales son números reales que suman uno (también llamados poblaciones de los dos estados)${\displaystyle |0\rangle }$,${\displaystyle |1\rangle }$). Los elementos fuera de la diagonal son conjugados complejos entre sí (también llamados coherencias); su magnitud está restringida por el requisito de que${\displaystyle (\rho _{ij})}$ser un operador semidefinido positivo , ver más abajo.

Un operador de densidad es un operador semidefinido positivo , autoadjunto, de traza uno que actúa sobre el espacio de Hilbert del sistema. ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]} Esta definición puede motivarse considerando una situación en la que algunos estados puros${\displaystyle |\psi _{j}\rangle }$(que no son necesariamente ortogonales) se preparan con probabilidad${\displaystyle p_{j}}$cada uno. ^{[ 8 ]} Esto se conoce como un conjunto de estados puros. La probabilidad de obtener un resultado de medición proyectiva${\displaystyle m}$al usar proyectores${\displaystyle \Pi _{m}}$está dado por ^{[ 3 ] : 99}$${\displaystyle p(m)=\sum _{j}p_{j}\left\langle \psi _{j}\right|\Pi _{m}\left|\psi _{j}\right\rangle ,}$$ que puede demostrarse que es igual a $${\displaystyle p(m)=\operatorname {tr} \left[\Pi _{m}\left(\sum _{j}p_{j}\left|\psi _{j}\right\rangle \left\langle \psi _{j}\right|\right)\right].}$$ En consecuencia, el operador de densidad , definido como $${\displaystyle \rho =\sum _{j}p_{j}\left|\psi _{j}\right\rangle \left\langle \psi _{j}\right|,}$$ es una representación conveniente para el estado de este conjunto. Este operador es semidefinido positivo, autoadjunto y tiene traza uno. Recíprocamente, del teorema espectral se deduce que todo operador con estas propiedades puede escribirse como${\textstyle \sum _{j}p_{j}\left|\psi _{j}\right\rangle \left\langle \psi _{j}\right|}$para algunos estados${\displaystyle \left|\psi _{j}\right\rangle }$y coeficientes${\displaystyle p_{j}}$que son no negativos y suman uno. ^{[ 9 ] [ 3 ] : 102} Sin embargo, esta representación no será única, como lo demuestra el teorema de Schrödinger-HJW .

Otra motivación para la definición de operadores de densidad proviene de considerar mediciones locales en estados entrelazados. Sea${\displaystyle |\Psi \rangle }$ser un estado entrelazado puro en el espacio de Hilbert compuesto${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}\otimes {\mathcal {H}}_{2}}$La probabilidad de obtener un resultado de medición${\displaystyle m}$al medir proyectores${\displaystyle \Pi _{m}}$en el espacio de Hilbert${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}}$solo viene dado por ^{[ 3 ] : 107}$${\displaystyle p(m)=\left\langle \Psi \right|\left(\Pi _{m}\otimes I\right)\left|\Psi \right\rangle ,}$$ que después de la manipulación algebraica se convierte en $${\displaystyle p(m)=\operatorname {tr} \left[\Pi _{m}\left(\operatorname {tr} _{2}\left|\Psi \right\rangle \left\langle \Psi \right|\right)\right],}$$ dónde${\displaystyle \operatorname {tr} _{2}}$denota la traza parcial sobre el espacio de Hilbert${\displaystyle {\mathcal {H}}_{2}}$Esto hace que el operador $${\displaystyle \rho =\operatorname {tr} _{2}\left|\Psi \right\rangle \left\langle \Psi \right|}$$ una herramienta conveniente para calcular las probabilidades de estas mediciones locales. Este operador tiene todas las propiedades de un operador de densidad y se conoce como la matriz de densidad reducida de${\displaystyle |\Psi \rangle }$en el subsistema 1. Por el contrario, el teorema de Schrödinger-HJW implica que todos los operadores de densidad pueden escribirse como${\displaystyle \operatorname {tr} _{2}\left|\Psi \right\rangle \left\langle \Psi \right|}$para algún estado${\displaystyle \left|\Psi \right\rangle }$.

Un estado cuántico puro es un estado que no puede escribirse como una mezcla probabilística, o combinación convexa , de otros estados cuánticos. ^{[ 7 ]} Existen varias caracterizaciones equivalentes de estados puros en el lenguaje de los operadores de densidad. ^{[ 2 ] : 73} Un operador de densidad representa un estado puro si y solo si:

• se puede escribir como un producto exterior de un vector de estado${\displaystyle |\psi \rangle }$consigo mismo, es decir,$${\displaystyle \rho =|\psi \rangle \langle \psi |.}$$
• es una proyección , en particular de rango uno.
• es idempotente , es decir$${\displaystyle \rho =\rho ^{2}.}$$
• tiene pureza uno, es decir,$${\displaystyle \operatorname {tr} (\rho ^{2})=1.}$$

Es importante enfatizar la diferencia entre una mezcla probabilística (es decir, un conjunto) de estados cuánticos y la superposición de dos estados. Si un conjunto está preparado para tener la mitad de sus sistemas en estado${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$y la otra mitad en${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$, se puede describir mediante la matriz de densidad:

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},}$

dónde${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$y${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$Se supone que son ortogonales y de dimensión 2, por simplicidad. Por otro lado, una superposición cuántica de estos dos estados con amplitudes de probabilidad iguales da como resultado el estado puro.${\displaystyle |\psi \rangle =(|\psi _{1}\rangle +|\psi _{2}\rangle )/{\sqrt {2}},}$con matriz de densidad

${\displaystyle |\psi \rangle \langle \psi |={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}}.}$

A diferencia de la mezcla probabilística, esta superposición puede mostrar interferencia cuántica . ^{[ 3 ] : 81}

Geométricamente, el conjunto de operadores de densidad es un conjunto convexo , y los estados puros son los puntos extremos de ese conjunto. El caso más simple es el de un espacio de Hilbert bidimensional, conocido como cúbit . Un estado mixto arbitrario para un cúbit se puede escribir como una combinación lineal de las matrices de Pauli , que junto con la matriz identidad proporcionan una base para${\displaystyle 2\times 2}$Matrices autoadjuntas : ^{[ 10 ] : 126}

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}\left(I+r_{x}\sigma _{x}+r_{y}\sigma _{y}+r_{z}\sigma _{z}\right),}$

donde los números reales${\displaystyle (r_{x},r_{y},r_{z})}$son las coordenadas de un punto dentro de la bola unitaria y

${\displaystyle \sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.}$

Puntos con${\displaystyle r_{x}^{2}+r_{y}^{2}+r_{z}^{2}=1}$Los estados mixtos se representan mediante puntos en el interior. Esto se conoce como la representación del espacio de estados de los cúbits mediante la esfera de Bloch .

Ejemplo: polarización de la luz

Un ejemplo de estados puros y mixtos es la polarización de la luz . Un fotón individual puede describirse como con polarización circular derecha o izquierda , descrita por los estados cuánticos ortogonales.${\displaystyle |\mathrm {R} \rangle }$y${\displaystyle |\mathrm {L} \rangle }$o una superposición de ambos: puede estar en cualquier estado${\displaystyle \alpha |\mathrm {R} \rangle +\beta |\mathrm {L} \rangle }$(con${\displaystyle |\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1}$), correspondiente a polarización lineal , circular o elíptica . Consideremos ahora un fotón polarizado verticalmente, descrito por el estado${\displaystyle |\mathrm {V} \rangle =(|\mathrm {R} \rangle +|\mathrm {L} \rangle )/{\sqrt {2}}}$. Si lo hacemos pasar a través de un polarizador circular que permite solo${\displaystyle |\mathrm {R} \rangle }$luz polarizada, o solo${\displaystyle |\mathrm {L} \rangle }$luz polarizada, la mitad de los fotones se absorben en ambos casos. Esto puede hacer que parezca que la mitad de los fotones están en estado${\displaystyle |\mathrm {R} \rangle }$y la otra mitad en el estado${\displaystyle |\mathrm {L} \rangle }$, pero esto no es correcto: si pasamos${\displaystyle (|\mathrm {R} \rangle +|\mathrm {L} \rangle )/{\sqrt {2}}}$a través de un polarizador lineal no hay absorción alguna, pero si pasamos cualquiera de los estados${\displaystyle |\mathrm {R} \rangle }$o${\displaystyle |\mathrm {L} \rangle }$La mitad de los fotones son absorbidos.

La luz no polarizada (como la luz de una bombilla incandescente ) no puede describirse como ningún estado de la forma${\displaystyle \alpha |\mathrm {R} \rangle +\beta |\mathrm {L} \rangle }$(polarización lineal, circular o elíptica). A diferencia de la luz polarizada, pasa a través de un polarizador con una pérdida de intensidad del 50%, independientemente de la orientación del polarizador; y no se puede polarizar haciéndola pasar a través de ninguna lámina de onda . Sin embargo, la luz no polarizada se puede describir como un conjunto estadístico, por ejemplo, como cada fotón que tiene${\displaystyle |\mathrm {R} \rangle }$polarización o${\displaystyle |\mathrm {L} \rangle }$polarización con probabilidad 1/2. El mismo comportamiento ocurriría si cada fotón tuviera polarización vertical.${\displaystyle |\mathrm {V} \rangle }$o polarización horizontal${\displaystyle |\mathrm {H} \rangle }$con probabilidad 1/2. Estos dos conjuntos son completamente indistinguibles experimentalmente y, por lo tanto, se consideran el mismo estado mixto. Para este ejemplo de luz no polarizada, el operador de densidad es igual a ^{[ 2 ] : 75}

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}|\mathrm {R} \rangle \langle \mathrm {R} |+{\frac {1}{2}}|\mathrm {L} \rangle \langle \mathrm {L} |={\frac {1}{2}}|\mathrm {H} \rangle \langle \mathrm {H} |+{\frac {1}{2}}|\mathrm {V} \rangle \langle \mathrm {V} |={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}.}$

También existen otras formas de generar luz no polarizada: una posibilidad es introducir incertidumbre en la preparación del fotón, por ejemplo, haciéndolo pasar a través de un cristal birrefringente con una superficie rugosa, de modo que partes ligeramente diferentes del haz de luz adquieran polarizaciones diferentes. Otra posibilidad es utilizar estados entrelazados: una desintegración radiactiva puede emitir dos fotones que viajan en direcciones opuestas, en el estado cuántico.${\displaystyle (|\mathrm {R} ,\mathrm {L} \rangle +|\mathrm {L} ,\mathrm {R} \rangle )/{\sqrt {2}}}$El estado conjunto de los dos fotones es puro, pero la matriz de densidad para cada fotón individualmente, obtenida al tomar la traza parcial de la matriz de densidad conjunta, está completamente mezclada. ^{[ 3 ] : 106}

Un operador de densidad dado no determina de forma única qué conjunto de estados puros lo origina; en general, existen infinitos conjuntos diferentes que generan la misma matriz de densidad. ^{[ 11 ]} Estos no pueden distinguirse mediante ninguna medición. ^{[ 12 ]} Los conjuntos equivalentes pueden caracterizarse completamente: sea${\displaystyle \{p_{j},|\psi _{j}\rangle \}}$ser un conjunto. Entonces, para cualquier matriz compleja${\displaystyle U}$de tal manera que${\displaystyle U^{\dagger }U=I}$(una isometría parcial ), el conjunto${\displaystyle \{q_{i},|\varphi _{i}\rangle \}}$definido por

${\displaystyle {\sqrt {q_{i}}}\left|\varphi _{i}\right\rangle =\sum _{j}U_{ij}{\sqrt {p_{j}}}\left|\psi _{j}\right\rangle }$

dará lugar al mismo operador de densidad, y todos los conjuntos equivalentes son de esta forma.

Un hecho estrechamente relacionado es que un operador de densidad dado tiene infinitas purificaciones diferentes , que son estados puros que generan el operador de densidad cuando se toma una traza parcial. Sea

${\displaystyle \rho =\sum _{j}p_{j}|\psi _{j}\rangle \langle \psi _{j}|}$

sea ​​el operador de densidad generado por el conjunto${\displaystyle \{p_{j},|\psi _{j}\rangle \}}$, con estados${\displaystyle |\psi _{j}\rangle }$no necesariamente ortogonal. Entonces para todas las isometrías parciales${\displaystyle U}$tenemos eso

${\displaystyle |\Psi \rangle =\sum _{j}{\sqrt {p_{j}}}|\psi _{j}\rangle U|a_{j}\rangle }$

es una purificación de${\displaystyle \rho }$, dónde${\displaystyle |a_{j}\rangle }$es una base ortogonal y además todas las purificaciones de${\displaystyle \rho }$son de esta forma.

Dejar${\displaystyle A}$Sea un observable del sistema, y ​​supongamos que el conjunto se encuentra en un estado mixto tal que cada uno de los estados puros${\displaystyle \textstyle |\psi _{j}\rangle }$ocurre con probabilidad${\displaystyle p_{j}}$. Entonces, el operador de densidad correspondiente es igual a

${\displaystyle \rho =\sum _{j}p_{j}|\psi _{j}\rangle \langle \psi _{j}|.}$

El valor esperado de la medición se puede calcular extendiendo el caso de los estados puros:

${\displaystyle \langle A\rangle =\sum _{j}p_{j}\langle \psi _{j}|A|\psi _{j}\rangle =\sum _{j}p_{j}\operatorname {tr} \left(|\psi _{j}\rangle \langle \psi _{j}|A\right)=\operatorname {tr} \left(\sum _{j}p_{j}|\psi _{j}\rangle \langle \psi _{j}|A\right)=\operatorname {tr} (\rho A),}$

dónde${\displaystyle \operatorname {tr} }$denota rastro . Por lo tanto, la expresión familiar${\displaystyle \langle A\rangle =\langle \psi |A|\psi \rangle }$para estados puros se reemplaza por

${\displaystyle \langle A\rangle =\operatorname {tr} (\rho A)}$

para estados mixtos. ^{[ 2 ] : 73}

Además, si${\displaystyle A}$tiene resolución espectral

${\displaystyle A=\sum _{i}a_{i}P_{i},}$

dónde${\displaystyle P_{i}}$es el operador de proyección en el espacio propio correspondiente al valor propio${\displaystyle a_{i}}$, el operador de densidad posterior a la medición viene dado por ^{[ 13 ] [ 14 ]}

${\displaystyle \rho _{i}'={\frac {P_{i}\rho P_{i}}{\operatorname {tr} \left[\rho P_{i}\right]}}}$

cuando se obtiene el resultado i . En el caso de que no se conozca el resultado de la medición, el conjunto se describe en su lugar mediante

${\displaystyle \;\rho '=\sum _{i}P_{i}\rho P_{i}.}$

Si se asume que las probabilidades de los resultados de la medición son funciones lineales de los proyectores${\displaystyle P_{i}}$, entonces deben estar dadas por la traza del proyector con un operador de densidad. El teorema de Gleason muestra que en espacios de Hilbert de dimensión 3 o mayor la suposición de linealidad puede reemplazarse por una suposición de no contextualidad . ^{[ 15 ]} Esta restricción en la dimensión puede eliminarse asumiendo no contextualidad también para POVM , ^{[ 16 ] [ 17 ]} pero esto ha sido criticado por carecer de motivación física. ^{[ 18 ]}

La entropía de von Neumann${\displaystyle S}$de una mezcla se puede expresar en términos de los valores propios de${\displaystyle \rho }$o en términos de la traza y el logaritmo del operador de densidad${\displaystyle \rho }$. Desde${\displaystyle \rho }$es un operador semidefinido positivo, tiene una descomposición espectral tal que${\displaystyle \rho =\textstyle \sum _{i}\lambda _{i}|\varphi _{i}\rangle \langle \varphi _{i}|}$, dónde${\displaystyle |\varphi _{i}\rangle }$son vectores ortonormales,${\displaystyle \lambda _{i}\geq 0}$, y${\displaystyle \textstyle \sum \lambda _{i}=1}$. Entonces, la entropía de un sistema cuántico con matriz de densidad${\displaystyle \rho }$es

${\displaystyle S=-\sum _{i}\lambda _{i}\ln \lambda _{i}=-\operatorname {tr} (\rho \ln \rho ).}$

Esta definición implica que la entropía de von Neumann de cualquier estado puro es cero. ^{[ 19 ] : 217} Si${\displaystyle \rho _{i}}$son estados que tienen soporte en subespacios ortogonales, entonces la entropía de von Neumann de una combinación convexa de estos estados,

${\displaystyle \rho =\sum _{i}p_{i}\rho _{i},}$

viene dada por las entropías de von Neumann de los estados${\displaystyle \rho _{i}}$y la entropía de Shannon de la distribución de probabilidad${\displaystyle p_{i}}$:

${\displaystyle S(\rho )=H(p_{i})+\sum _{i}p_{i}S(\rho _{i}).}$

Cuando los estados${\displaystyle \rho _{i}}$no tienen soportes ortogonales, la suma del lado derecho es estrictamente mayor que la entropía de von Neumann de la combinación convexa${\displaystyle \rho }$. ^{[ 3 ] : 518}

Dado un operador de densidad${\displaystyle \rho }$y una medición proyectiva como en la sección anterior, el estado${\displaystyle \rho '}$definido por la combinación convexa

${\displaystyle \rho '=\sum _{i}P_{i}\rho P_{i},}$

que puede interpretarse como el estado producido al realizar la medición pero sin registrar qué resultado ocurrió, ^{[ 10 ] : 159} tiene una entropía de von Neumann mayor que la de${\displaystyle \rho }$, excepto si${\displaystyle \rho =\rho '}$Sin embargo, es posible que${\displaystyle \rho '}$producido por una medición generalizada , o POVM , para tener una entropía de von Neumann menor que${\displaystyle \rho }$. ^{[ 3 ] : 514}

Así como la ecuación de Schrödinger describe cómo evolucionan los estados puros en el tiempo, la ecuación de von Neumann (también conocida como ecuación de Liouville-von Neumann ) describe cómo evoluciona un operador de densidad en el tiempo. La ecuación de von Neumann dicta que ^{[ 20 ] [ 21 ] [ 22 ]}

${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}\rho =[H,\rho ]~,}$

donde los corchetes denotan un conmutador .

Esta ecuación solo se cumple cuando se considera que el operador de densidad está en la imagen de Schrödinger , aunque a primera vista esta ecuación parece emular la ecuación de movimiento de Heisenberg en la imagen de Heisenberg , con una diferencia de signo crucial:

${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}A_{\text{H}}=-[H_{\text{H}},A_{\text{H}}]~,}$

dónde${\displaystyle A_{\text{H}}(t)}$es algún operador de la imagen de Heisenberg ; pero en esta imagen la matriz de densidad no depende del tiempo , y el signo relativo asegura que la derivada temporal del valor esperado${\displaystyle \langle A\rangle }$sale igual que en la imagen de Schrödinger . ^{[ 7 ]}

Si el hamiltoniano es independiente del tiempo, la ecuación de von Neumann se puede resolver fácilmente para obtener

${\displaystyle \rho (t)=e^{-iHt/\hbar }\rho (0)e^{iHt/\hbar }.}$

Para un hamiltoniano más general, si${\displaystyle G(t)}$Si es el propagador de la función de onda sobre algún intervalo, entonces la evolución temporal de la matriz de densidad sobre ese mismo intervalo viene dada por

${\displaystyle \rho (t)=G(t)\rho (0)G(t)^{\dagger }.}$

Si uno entra en la imagen de interacción , optando por centrarse en algún componente${\displaystyle H_{1}}$del hamiltoniano${\displaystyle H=H_{0}+H_{1}}$, la ecuación para la evolución del operador de densidad de la imagen de interacción${\displaystyle \rho _{\,\mathrm {I} }(t)}$posee una estructura idéntica a la ecuación de von Neumann, excepto que el hamiltoniano también debe transformarse en la nueva imagen:

${\displaystyle {\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}\rho _{\text{I}}(t)=[H_{1,{\text{I}}}(t),\rho _{\text{I}}(t)],}}$

dónde${\displaystyle {\displaystyle H_{1,{\text{I}}}(t)=e^{iH_{0}t/\hbar }H_{1}e^{-iH_{0}t/\hbar }}}$.

El operador de matriz de densidad también puede realizarse en el espacio de fases . Bajo el mapa de Wigner , la matriz de densidad se transforma en la función de Wigner equivalente .

${\displaystyle W(x,p)\,\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \,{\frac {1}{\pi \hbar }}\int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}(x+y)\psi (x-y)e^{2ipy/\hbar }\,dy.}$

La ecuación para la evolución temporal de la función de Wigner, conocida como ecuación de Moyal , es entonces la transformada de Wigner de la ecuación de von Neumann anterior,

${\displaystyle {\frac {\partial W(x,p,t)}{\partial t}}=-\{\{W(x,p,t),H(x,p)\}\},}$

dónde${\displaystyle H(x,p)}$es el hamiltoniano, y${\displaystyle \{\{\cdot ,\cdot \}\}}$es el corchete de Moyal , la transformada del conmutador cuántico .

La ecuación de evolución para la función de Wigner es entonces análoga a la de su límite clásico, la ecuación de Liouville de la física clásica . En el límite de una constante de Planck nula${\displaystyle \hbar }$,${\displaystyle W(x,p,t)}$se reduce a la función de densidad de probabilidad de Liouville clásica en el espacio de fases .

Las matrices de densidad son una herramienta fundamental de la mecánica cuántica y aparecen, al menos ocasionalmente, en casi cualquier tipo de cálculo cuántico. Algunos ejemplos específicos donde las matrices de densidad son especialmente útiles y comunes son los siguientes:

• La mecánica estadística utiliza matrices de densidad, principalmente para expresar la idea de que un sistema se prepara a una temperatura distinta de cero. La construcción de una matriz de densidad utilizando un ensamble canónico da como resultado la forma${\displaystyle \rho =\exp(-\beta H)/Z(\beta )}$, dónde${\displaystyle \beta }$es la temperatura inversa${\displaystyle (k_{\rm {B}}T)^{-1}}$y${\displaystyle H}$es el hamiltoniano del sistema. La condición de normalización que la traza de${\displaystyle \rho }$ser igual a 1 define la función de partición como${\displaystyle Z(\beta )=\mathrm {tr} \exp(-\beta H)}$Si el número de partículas involucradas en el sistema no es seguro, se puede aplicar un ensamble gran canónico , donde los estados sumados para formar la matriz de densidad se extraen de un espacio de Fock . ^{[ 23 ] : 174}
• La teoría de la decoherencia cuántica generalmente implica que los sistemas cuánticos no aislados desarrollan entrelazamiento con otros sistemas, incluidos los aparatos de medición. Las matrices de densidad facilitan enormemente la descripción del proceso y el cálculo de sus consecuencias. La decoherencia cuántica explica por qué un sistema que interactúa con un entorno transita de un estado puro, que exhibe superposiciones, a un estado mixto, una combinación incoherente de alternativas clásicas. Esta transición es fundamentalmente reversible, ya que el estado combinado del sistema y el entorno sigue siendo puro, pero a efectos prácticos es irreversible, puesto que el entorno es un sistema cuántico muy grande y complejo, y no es factible revertir su interacción. Por lo tanto, la decoherencia es muy importante para explicar el límite clásico de la mecánica cuántica, pero no puede explicar el colapso de la función de onda, ya que todas las alternativas clásicas siguen presentes en el estado mixto, y el colapso de la función de onda selecciona solo una de ellas. ^{[ 24 ]}
• De manera similar, en computación cuántica , teoría de la información cuántica , sistemas cuánticos abiertos y otros campos donde la preparación del estado es ruidosa y puede ocurrir decoherencia, se utilizan frecuentemente matrices de densidad. El ruido se suele modelar mediante un canal despolarizador o un canal de amortiguación de amplitud . La tomografía cuántica es un proceso mediante el cual, dado un conjunto de datos que representan los resultados de mediciones cuánticas, se calcula una matriz de densidad consistente con dichos resultados. ^{[ 25 ] [ 26 ]}
• Al analizar un sistema con muchos electrones, como un átomo o una molécula , una primera aproximación imperfecta pero útil consiste en tratar los electrones como no correlacionados o como si cada uno tuviera una función de onda de partícula única independiente. Este es el punto de partida habitual al construir el determinante de Slater en el método de Hartree-Fock . Si hay${\displaystyle N}$electrones llenando el${\displaystyle N}$funciones de onda de partícula única${\displaystyle |\psi _{i}\rangle }$y si solo se consideran observables de una sola partícula, entonces sus valores esperados para el${\displaystyle N}$El sistema electrónico se puede calcular utilizando la matriz de densidad.${\textstyle \sum _{i=1}^{N}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|}$(la matriz de densidad de una partícula de la${\displaystyle N}$-sistema electrónico). ^{[ 27 ]}

Actualmente se acepta generalmente que la descripción de la mecánica cuántica en la que todos los operadores autoadjuntos representan observables es insostenible. ^{[ 28 ] [ 29 ]} Por esta razón, los observables se identifican con elementos de un álgebra C* abstracta A (es decir, una sin una representación distinguida como álgebra de operadores) y los estados son funcionales lineales positivos en A. Sin embargo, mediante la construcción GNS , podemos recuperar espacios de Hilbert que realizan A como una subálgebra de operadores.

Geométricamente, un estado puro en un álgebra C* -A es un estado que es un punto extremo del conjunto de todos los estados en A. Por propiedades de la construcción GNS , estos estados corresponden a representaciones irreducibles de A.

Los estados del álgebra C* de operadores compactos K ( H ) corresponden exactamente a los operadores de densidad y, por lo tanto, los estados puros de K ( H ) son exactamente los estados puros en el sentido de la mecánica cuántica.

La formulación algebraica C* puede considerarse que incluye tanto sistemas clásicos como cuánticos. Cuando el sistema es clásico, el álgebra de observables se convierte en un álgebra C* abeliana. En ese caso, los estados se convierten en medidas de probabilidad.

Este formalismo de operadores y matrices fue introducido en 1927 por John von Neumann ^{[ 30 ]} e independientemente, aunque de forma menos sistemática, por Lev Landau ^{[ 31 ]} y posteriormente en 1946 por Felix Bloch ^{[ 32 ]} . Von Neumann introdujo una matriz para desarrollar tanto la mecánica estadística cuántica como una teoría de las mediciones cuánticas. El término densidad fue introducido por Dirac en 1931 cuando utilizó el operador de von Neumann para calcular nubes de densidad electrónica ^{[ 33 ] [ 34 ] .}

Hoy en día, el término "matriz de densidad" ha adquirido un significado propio y corresponde a una medida de probabilidad clásica del espacio de fases (distribución de probabilidad de posición y momento) en la mecánica estadística clásica , que fue introducida por Eugene Wigner en 1932. ^{[ 5 ]}

En cambio, la motivación que inspiró a Landau fue la imposibilidad de describir un subsistema de un sistema cuántico compuesto mediante un vector de estado. ^{[ 31 ]}