Espacio de fases

Diagrama que muestra la órbita periódica de un sistema masa-resorte en movimiento armónico simple . (Los ejes de velocidad y posición se han invertido con respecto a la convención estándar para alinear ambos diagramas).

El espacio de fases de un sistema físico es el conjunto de todos los estados físicos posibles del sistema cuando se describe mediante una parametrización dada. Cada estado posible corresponde de forma única a un punto en el espacio de fases. Para los sistemas mecánicos , el espacio de fases generalmente consta de todos los valores posibles de los parámetros de posición y momento . Es el producto directo del espacio directo y el espacio recíproco . El concepto de espacio de fases fue desarrollado a finales del siglo XIX por Ludwig Boltzmann , Henri Poincaré y Josiah Willard Gibbs . ^{[ 1 ]}

Principios

En un espacio de fases, cada grado de libertad o parámetro del sistema se representa como un eje de un espacio multidimensional; un sistema unidimensional se denomina línea de fase , mientras que un sistema bidimensional se denomina plano de fase . Para cada estado posible del sistema o combinación permitida de valores de sus parámetros, se incluye un punto en el espacio multidimensional. La evolución del estado del sistema a lo largo del tiempo traza una trayectoria (una trayectoria en el espacio de fases ) a través del espacio de alta dimensión. La trayectoria en el espacio de fases representa el conjunto de estados compatibles con partir de una condición inicial particular , ubicada en el espacio de fases completo que representa el conjunto de estados compatibles con partir de cualquier condición inicial. En su conjunto, el diagrama de fases representa todo lo que el sistema puede ser, y su forma puede dilucidar fácilmente cualidades del sistema que de otro modo no serían evidentes. Un espacio de fases puede contener un gran número de dimensiones. Por ejemplo, un gas que contiene muchas moléculas puede requerir una dimensión separada para las posiciones y momentos x , y y z de cada partícula (6 dimensiones para un gas monoatómico idealizado), y para sistemas moleculares más complejos se requieren dimensiones adicionales para describir los modos vibracionales de los enlaces moleculares, así como el giro alrededor de 3 ejes. Los espacios de fase son más fáciles de usar cuando se analiza el comportamiento de sistemas mecánicos restringidos al movimiento alrededor y a lo largo de varios ejes de rotación o traslación, por ejemplo, en robótica, como analizar el rango de movimiento de un brazo robótico o determinar la trayectoria óptima para lograr un resultado particular de posición/momento.

Evolución de un conjunto de sistemas clásicos en el espacio de fases (arriba). Los sistemas consisten en una partícula masiva en un pozo de potencial unidimensional (curva roja, figura inferior). El conjunto, inicialmente compacto, se expande con el tiempo.

momentos conjugados

En mecánica clásica, cualquier elección de coordenadas generalizadas q _i para la posición (es decir, coordenadas en el espacio de configuración ) define momentos generalizados conjugados p _i , que en conjunto definen coordenadas en el espacio de fases. De forma más abstracta, en mecánica clásica el espacio de fases es el fibrado cotangente del espacio de configuración, y en esta interpretación el procedimiento anterior expresa que una elección de coordenadas locales en el espacio de configuración induce una elección de coordenadas de Darboux locales naturales para la estructura simpléctica estándar en un espacio cotangente.

Conjuntos estadísticos en el espacio de fases

El movimiento de un conjunto de sistemas en este espacio se estudia mediante la mecánica estadística clásica . La densidad local de puntos en dichos sistemas obedece al teorema de Liouville , por lo que puede considerarse constante. En el contexto de un sistema modelo de la mecánica clásica, las coordenadas del espacio de fases del sistema en cualquier instante están compuestas por todas sus variables dinámicas. Gracias a esto, es posible calcular el estado del sistema en cualquier momento, tanto en el futuro como en el pasado, mediante la integración de las ecuaciones de movimiento de Hamilton o Lagrange.

En dimensiones reducidas

Para sistemas simples, puede haber tan solo uno o dos grados de libertad. Un grado de libertad se produce cuando se tiene una ecuación diferencial ordinaria autónoma en una sola variable, $dy/dt=f(y),$ El sistema unidimensional resultante se denomina línea de fase , y el comportamiento cualitativo del sistema se puede observar inmediatamente a partir de ella. Los ejemplos no triviales más sencillos son el modelo de crecimiento /decrecimiento exponencial (un equilibrio inestable/estable) y el modelo de crecimiento logístico (dos equilibrios, uno estable y otro inestable).

El espacio de fases de un sistema bidimensional se denomina plano de fases , que en mecánica clásica se presenta para una partícula que se mueve en una dimensión, donde las dos variables son la posición y la velocidad. En este caso, un diagrama del retrato de fases puede proporcionar información cualitativa sobre la dinámica del sistema, como el ciclo límite del oscilador de Van der Pol que se muestra en el diagrama.

Aquí, el eje horizontal representa la posición y el eje vertical la velocidad. A medida que el sistema evoluciona, su estado sigue una de las líneas (trayectorias) del diagrama de fases.

Retrato de fase del oscilador de Van der Pol

Conceptos relacionados

Diagrama de fase

Una gráfica de las variables de posición y momento en función del tiempo se denomina a veces diagrama de fases . Sin embargo, en las ciencias físicas, el término « diagrama de fases » se suele reservar para un diagrama que muestra las distintas regiones de estabilidad de las fases termodinámicas de un sistema químico, que consiste en presión , temperatura y composición.

Retrato de fase

{\displaystyle {\ddot {x}}+2\gamma {\dot {x}}+\omega ^{2}x=0.} — Retrato de fase de un oscilador amortiguado, con fuerza de amortiguación creciente. La ecuación de movimiento es ${\ddot {x}}+2\gamma {\dot {x}}+\omega ^{2}x=0.$

En matemáticas , un retrato de fase es una representación geométrica de las órbitas de un sistema dinámico en el plano de fase . Cada conjunto de condiciones iniciales está representado por un punto o curva diferente .

Los diagramas de fase son una herramienta invaluable para el estudio de sistemas dinámicos. Consisten en una representación gráfica de trayectorias típicas en el espacio de fase. Esto revela información como la presencia de un atractor , un repulsor o un ciclo límite para el valor del parámetro elegido. El concepto de equivalencia topológica es importante para clasificar el comportamiento de los sistemas, al especificar cuándo dos diagramas de fase diferentes representan el mismo comportamiento dinámico cualitativo. Un atractor es un punto estable, también llamado "sumidero". El repulsor se considera un punto inestable, también conocido como "fuente".

Un gráfico de retrato de fase de un sistema dinámico representa las trayectorias del sistema (con flechas) y los estados estables (con puntos) y los estados inestables (con círculos) en un espacio de fase. Los ejes son de variables de estado .

Integral de fase

En mecánica estadística clásica (energías continuas), el concepto de espacio de fases proporciona un análogo clásico de la función de partición (suma sobre estados), conocida como integral de fase. ^{[ 2 ]} En lugar de sumar el factor de Boltzmann sobre estados de energía discretamente espaciados (definidos por números cuánticos enteros apropiados para cada grado de libertad), se puede integrar sobre un espacio de fases continuo. Dicha integración consta esencialmente de dos partes: la integración de la componente de momento de todos los grados de libertad (espacio de momento) y la integración de la componente de posición de todos los grados de libertad (espacio de configuración). Una vez conocida la integral de fase, se puede relacionar con la función de partición clásica mediante la multiplicación por una constante de normalización que representa el número de estados de energía cuántica por unidad de espacio de fases. Esta constante de normalización es simplemente la inversa de la constante de Planck elevada a una potencia igual al número de grados de libertad del sistema. ^{[ 3 ]}

Aplicaciones

Flujo de series temporales en el espacio de fases especificado por la ecuación diferencial de un péndulo . El eje X corresponde a la posición del péndulo y el eje Y a su velocidad.

Teoría del caos

Ejemplos clásicos de diagramas de fase de la teoría del caos son:

el atractor de Lorenz
crecimiento de la población (es decir, mapa logístico )
Plano de parámetros de polinomios cuadráticos complejos con conjunto de Mandelbrot .

Mecánica cuántica

En mecánica cuántica , las coordenadas p y q del espacio de fases normalmente se convierten en operadores hermíticos en un espacio de Hilbert .

Pero también pueden conservar su interpretación clásica, siempre que sus funciones se compongan de formas algebraicas novedosas (a través del producto estrella de Groenewold de 1946 ). Esto es coherente con el principio de incertidumbre de la mecánica cuántica. Cada observable cuántico corresponde a una función o distribución única en el espacio de fases, y viceversa, como lo especificaron Hermann Weyl (1927) y lo complementaron John von Neumann (1931), Eugene Wigner (1932) y, en una gran síntesis, H. J. Groenewold (1946). Junto con J. E. Moyal (1949), estos completaron los fundamentos de la formulación del espacio de fases de la mecánica cuántica , una reformulación completa y lógicamente autónoma de la mecánica cuántica. ^{[ 4 ]} (Sus abstracciones modernas incluyen la cuantización por deformación y la cuantización geométrica ).

Los valores esperados en la cuantización del espacio de fases se obtienen isomorfamente a los observables del operador de traza con la matriz de densidad en el espacio de Hilbert: se obtienen mediante integrales del espacio de fases de los observables, con la distribución de cuasiprobabilidad de Wigner sirviendo efectivamente como una medida.

Así, al expresar la mecánica cuántica en el espacio de fases (el mismo ámbito que la mecánica clásica), el mapa de Weyl facilita el reconocimiento de la mecánica cuántica como una deformación (generalización) de la mecánica clásica, con parámetro de deformación ħ / S , donde S es la acción del proceso correspondiente. (Otras deformaciones conocidas en física incluyen la deformación de la mecánica newtoniana clásica en mecánica relativista , con parámetro de deformación v / c ; o la deformación de la gravedad newtoniana en relatividad general , con parámetro de deformación radio de Schwarzschild / dimensión característica).

Las expresiones, observables y operaciones clásicas (como los corchetes de Poisson ) se modifican mediante correcciones cuánticas dependientes de ħ , ya que la multiplicación conmutativa convencional que se aplica en la mecánica clásica se generaliza a la multiplicación estrella no conmutativa que caracteriza la mecánica cuántica y que subyace a su principio de incertidumbre.

Termodinámica y mecánica estadística

En los contextos de termodinámica y mecánica estadística , el término "espacio de fases" tiene dos significados: por un lado, se utiliza en el mismo sentido que en mecánica clásica. Si un sistema termodinámico consta de N partículas, entonces un punto en el espacio de fases de 6N dimensiones describe el estado dinámico de cada partícula en ese sistema, ya que cada partícula está asociada con 3 variables de posición y 3 variables de momento. En este sentido, siempre que las partículas sean distinguibles , se dice que un punto en el espacio de fases es un microestado del sistema. (Para partículas indistinguibles, un microestado consiste en un conjunto de N ! puntos, que corresponden a todos los intercambios posibles de las N partículas). N suele ser del orden del número de Avogadro , por lo que describir el sistema a nivel microscópico suele ser poco práctico. Esto lleva al uso del espacio de fases en un sentido diferente.

El espacio de fases también puede referirse al espacio parametrizado por los estados macroscópicos del sistema, como la presión, la temperatura, etc. Por ejemplo, se puede considerar que el diagrama presión-volumen o el diagrama temperatura-entropía describen una parte de este espacio de fases. Un punto en este espacio de fases se denomina macroestado. Un mismo macroestado puede tener más de un microestado. Por ejemplo, para una temperatura fija, el sistema podría tener muchas configuraciones dinámicas a nivel microscópico. En este sentido, una fase es una región del espacio de fases donde se encuentra el sistema en cuestión, por ejemplo, en la fase líquida o sólida .

Dado que existen muchos más microestados que macroestados, el espacio de fases, en el primer sentido, suele ser una variedad de dimensiones mucho mayores que en el segundo. Evidentemente, se requieren muchos más parámetros para registrar cada detalle del sistema hasta la escala molecular o atómica que para simplemente especificar, por ejemplo, la temperatura o la presión del sistema.

Óptica

El espacio de fases se utiliza ampliamente en la óptica no formadora de imágenes , ^{[ 5 ]} la rama de la óptica dedicada a la iluminación. También es un concepto importante en la óptica hamiltoniana .

Medicamento

En medicina y bioingeniería , el método del espacio de fases se utiliza para visualizar respuestas fisiológicas multidimensionales . ^{[ 6 ]}^{[ 7 ]}

Véase también

Aplicaciones

espacio de fase óptica
Espacio de estados (controles) para obtener información sobre el espacio de estados (similar al estado de fase) en ingeniería de control.
Espacio de estados para información sobre el espacio de estados con estados discretos en informática.
Dinámica molecular

Matemáticas

Física

Mecánica clásica
mecánica hamiltoniana
mecánica lagrangiana
Espacio de estados (física) para obtener información sobre el espacio de estados en física.
Formulación en el espacio de fases de la mecánica cuántica
Características en el espacio de fases de la mecánica cuántica

Referencias

↑ Nolte, DD (2010). "La enredada historia del espacio de fases". Physics Today . 63 (4): 33– 38. Bibcode : 2010PhT....63d..33N . doi : 10.1063/1.3397041 . S2CID 17205307 .
↑ Laurendeau, Normand M. (2005). Termodinámica estadística: fundamentos y aplicaciones . Nueva York: Cambridge University Press. ISBN 0-521-84635-8.
↑ Vu-Quoc, L. (2008). "Integral de configuración" . Archivado del original el 28 de abril de 2012.
↑ Curtright, TL; Zachos, CK (2012). "Mecánica cuántica en el espacio de fases". Asia Pacific Physics Newsletter . 01 : 37–46 . arXiv : 1104.5269 . doi : 10.1142/S2251158X12000069 . S2CID 119230734 .
↑ Chaves, Julio (2015). Introducción a la óptica no formadora de imágenes, segunda edición . CRC Press . ISBN 978-1482206739.
↑ Klabukov, I.; Tenchurin, T.; Shepelev, A.; Baranovskii, D.; Mamagulashvili, V.; Dyuzheva, T.; Krasilnikova, O.; Balyasin, M.; Lyndup, A.; Krasheninnikov, M.; Sulina, Y.; Gomzyak, V.; Krasheninnikov, S.; Buzin, A.; Zayratyants, G. (2023). "Comportamientos biomecánicos y propiedades de degradación de andamios de polímeros multicapa: el método del espacio de fases para el diseño de vías biliares y la bioingeniería" . Biomedicinas . 11 (3): 745. doi : 10.3390/biomedicinas11030745 . ISSN 2227-9059 . PMC 10044742 . PMID 36979723 .
↑ Kirkland, MA (2004). "Un modelo de espacio de fases de la hematopoyesis y el concepto de renovación de células madre" . Hematología Experimental . 32 (6): 511– 519. doi : 10.1016/j.exphem.2004.02.013 . hdl : 10536/DRO/DU:30101092 . ISSN 0301-472X . PMID 15183891 .

Lecturas adicionales

Nolte, DD (2015). Introducción a la dinámica moderna: caos, redes, espacio y tiempo . Oxford University Press. ISBN 978-0-19-965703-2.
Nolte, DD (2018). Galileo sin ataduras: Un camino a través de la vida, el universo y todo lo demás . Oxford University Press. ISBN 978-0-19-880584-7.

Enlaces externos

"Espacio de fases" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]

[1] Nolte, DD (2010). "La enredada historia del espacio de fases". Physics Today . 63 (4): 33– 38. Bibcode : 2010PhT....63d..33N . doi : 10.1063/1.3397041 . S2CID 17205307 .

[2] Laurendeau, Normand M. (2005). Termodinámica estadística: fundamentos y aplicaciones . Nueva York: Cambridge University Press. ISBN 0-521-84635-8.

[3] Vu-Quoc, L. (2008). "Integral de configuración" . Archivado del original el 28 de abril de 2012.

[4] Curtright, TL; Zachos, CK (2012). "Mecánica cuántica en el espacio de fases". Asia Pacific Physics Newsletter . 01 : 37–46 . arXiv : 1104.5269 . doi : 10.1142/S2251158X12000069 . S2CID 119230734 .

[IntroNio2e-5] Chaves, Julio (2015). Introducción a la óptica no formadora de imágenes, segunda edición . CRC Press . ISBN 978-1482206739.

[6] Klabukov, I.; Tenchurin, T.; Shepelev, A.; Baranovskii, D.; Mamagulashvili, V.; Dyuzheva, T.; Krasilnikova, O.; Balyasin, M.; Lyndup, A.; Krasheninnikov, M.; Sulina, Y.; Gomzyak, V.; Krasheninnikov, S.; Buzin, A.; Zayratyants, G. (2023). "Comportamientos biomecánicos y propiedades de degradación de andamios de polímeros multicapa: el método del espacio de fases para el diseño de vías biliares y la bioingeniería" . Biomedicinas . 11 (3): 745. doi : 10.3390/biomedicinas11030745 . ISSN 2227-9059 . PMC 10044742 . PMID 36979723 .

[7] Kirkland, MA (2004). "Un modelo de espacio de fases de la hematopoyesis y el concepto de renovación de células madre" . Hematología Experimental . 32 (6): 511– 519. doi : 10.1016/j.exphem.2004.02.013 . hdl : 10536/DRO/DU:30101092 . ISSN 0301-472X . PMID 15183891 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]