Red recíproca

El espacio recíproco (también llamado espacio k ) proporciona una forma de visualizar los resultados de la transformada de Fourier de una función espacial. Su función es similar a la del dominio de frecuencia que surge de la transformada de Fourier de una función dependiente del tiempo; el espacio recíproco es un espacio sobre el cual la transformada de Fourier de una función espacial se representa en frecuencias espaciales o vectores de onda de ondas planas de la transformada de Fourier. El dominio de la función espacial en sí se suele denominar dominio espacial o espacio real. En aplicaciones físicas, como la cristalografía , tanto el espacio real como el recíproco suelen ser bidimensionales o tridimensionales. Si bien el número de dimensiones espaciales de estos dos espacios asociados será el mismo, los espacios diferirán en su dimensión de cantidad , de modo que cuando el espacio real tiene la dimensión de longitud ( L ), su espacio recíproco tendrá la longitud inversa , es decir, L ⁻¹ (el recíproco de la longitud).

El espacio recíproco entra en juego con respecto a las ondas, tanto clásicas como cuánticas. Porque una onda plana sinusoidal con amplitud unitaria puede escribirse como un término oscilatorio.${\displaystyle \cos(kx-\omega t+\varphi _{0})}$, con fase inicial${\displaystyle \varphi _{0}}$, número de onda angular${\displaystyle k}$y frecuencia angular${\displaystyle \omega }$, puede considerarse como una función de ambos${\displaystyle k}$y${\displaystyle x}$(y la parte que varía con el tiempo en función de ambos${\displaystyle \omega }$y${\displaystyle t}$). Este papel complementario de${\displaystyle k}$y${\displaystyle x}$Esto conduce a su visualización dentro de espacios complementarios (el espacio real y el espacio recíproco). La periodicidad espacial de esta onda está definida por su longitud de onda.${\displaystyle \lambda }$, dónde${\displaystyle k\lambda =2\pi }$; por lo tanto, el número de onda correspondiente en el espacio recíproco será${\displaystyle k=2\pi /\lambda }$.

En tres dimensiones, el término de onda plana correspondiente se convierte en:${\displaystyle \cos(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t+\varphi _{0})}$, que se simplifica a${\displaystyle \cos(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} +\varphi )}$a una hora fija${\displaystyle t}$, dónde${\displaystyle \mathbf {r} }$es el vector de posición de un punto en el espacio real y ahora${\displaystyle \mathbf {k} =2\pi \mathbf {e} /\lambda }$es el vector de onda en el espacio recíproco tridimensional. (La magnitud de un vector de onda se llama número de onda). La constante${\displaystyle \varphi }$es la fase del frente de onda (un plano de fase constante) que pasa por el origen${\displaystyle \mathbf {r} =0}$en ese momento${\displaystyle t}$, y${\displaystyle \mathbf {e} }$es un vector normal unitario a este frente de onda. Los frentes de onda con fases${\displaystyle \varphi +(2\pi )n}$, dónde${\displaystyle n}$representa cualquier número entero , comprende un conjunto de planos paralelos, igualmente espaciados por la longitud de onda${\displaystyle \lambda }$.

En general, una red geométrica es una matriz infinita y regular de vértices (puntos) en el espacio, que puede modelarse vectorialmente como una red de Bravais . Algunas redes pueden ser sesgadas, lo que significa que sus líneas primarias no necesariamente forman ángulos rectos. En el espacio recíproco, una red recíproca se define como el conjunto de vectores de onda.${\displaystyle \mathbf {k} }$de ondas planas en la serie de Fourier de cualquier función${\displaystyle f(\mathbf {r} )}$cuya periodicidad es compatible con la de una red directa inicial en el espacio real. Equivalentemente, un vector de onda es un vértice de la red recíproca si corresponde a una onda plana en el espacio real cuya fase en cualquier momento dado es la misma (en realidad difiere en${\displaystyle (2\pi )n}$con un número entero${\displaystyle n}$) en cada vértice de la red directa.

Un enfoque heurístico para construir la red recíproca en tres dimensiones consiste en escribir el vector de posición de un vértice de la red directa como${\displaystyle \mathbf {R} =n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3}}$, donde el${\displaystyle n_{i}}$son enteros que definen el vértice y el${\displaystyle \mathbf {a} _{i}}$son vectores de traslación primitivos linealmente independientes (o simplemente vectores primitivos) que son característicos de la red. Existe entonces una única onda plana (salvo un factor negativo de uno), cuyo frente de onda pasa por el origen.${\displaystyle \mathbf {R} =0}$contiene los puntos de la red directa en${\displaystyle \mathbf {a} _{2}}$y${\displaystyle \mathbf {a} _{3}}$y con su frente de onda adyacente (cuya fase difiere en${\displaystyle 2\pi }$o${\displaystyle -2\pi }$desde el antiguo frente de onda que pasa por el origen) pasando a través${\displaystyle \mathbf {a} _{1}}$Su vector de onda angular toma la forma${\displaystyle \mathbf {b} _{1}=2\pi \mathbf {e} _{1}/\lambda _{1}}$, dónde${\displaystyle \mathbf {e} _{1}}$es el vector unitario perpendicular a estos dos frentes de onda adyacentes y la longitud de onda${\displaystyle \lambda _{1}}$debe satisfacer${\displaystyle \lambda _{1}=\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {e} _{1}}$, significa que${\displaystyle \lambda _{1}}$es igual a la distancia entre los dos frentes de onda. Por lo tanto, por construcción${\displaystyle \mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {b} _{1}=2\pi }$y${\displaystyle \mathbf {a} _{2}\cdot \mathbf {b} _{1}=\mathbf {a} _{3}\cdot \mathbf {b} _{1}=0}$.

Al recorrer los índices sucesivamente, el mismo método produce tres vectores de onda.${\displaystyle \mathbf {b} _{j}}$con${\displaystyle \mathbf {a} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j}=2\pi \,\delta _{ij}}$donde el delta de Kronecker${\displaystyle \delta _{ij}}$es igual a uno cuando${\displaystyle i=j}$y es cero en caso contrario. El${\displaystyle \mathbf {b} _{j}}$comprenden un conjunto de tres vectores de onda primitivos o tres vectores de traslación primitivos para la red recíproca, cada uno de cuyos vértices toma la forma${\displaystyle \mathbf {G} =m_{1}\mathbf {b} _{1}+m_{2}\mathbf {b} _{2}+m_{3}\mathbf {b} _{3}}$, donde el${\displaystyle m_{j}}$son enteros. La red recíproca también es una red de Bravais ya que está formada por combinaciones enteras de los vectores primitivos, que son${\displaystyle \mathbf {b} _{1}}$,${\displaystyle \mathbf {b} _{2}}$, y${\displaystyle \mathbf {b} _{3}}$en este caso. El álgebra simple muestra entonces que, para cualquier onda plana con un vector de onda${\displaystyle \mathbf {G} }$en la red recíproca, el cambio de fase total${\displaystyle \mathbf {G} \cdot \mathbf {R} }$entre el origen y cualquier punto${\displaystyle \mathbf {R} }$en la red directa es un múltiplo de${\displaystyle 2\pi }$(que puede ser posiblemente cero si el multiplicador es cero), por lo que la fase de la onda plana con${\displaystyle \mathbf {G} }$será esencialmente igual para cada vértice de la red directa, de conformidad con la definición de red recíproca anterior. (Aunque cualquier vector de onda${\displaystyle \mathbf {G} }$En la red recíproca siempre se adopta esta forma; esta derivación es motivacional, más que rigurosa, porque ha omitido la prueba de que no existen otras posibilidades.

La zona de Brillouin es una celda primitiva (más específicamente, una celda de Wigner-Seitz ) de la red recíproca, que desempeña un papel importante en la física del estado sólido debido al teorema de Bloch . En matemáticas puras , el espacio dual de formas lineales y la red dual proporcionan generalizaciones más abstractas del espacio recíproco y la red recíproca.

Para una red bidimensional infinita, definida por sus vectores primitivos${\displaystyle \left(\mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2}\right)}$, su red recíproca se puede determinar generando sus dos vectores primitivos recíprocos, a través de las siguientes fórmulas,

${\displaystyle \mathbf {G} _{m}=m_{1}\mathbf {b} _{1}+m_{2}\mathbf {b} _{2}}$

dónde${\displaystyle m_{i}}$es un número entero y

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {b} _{1}&=2\pi {\frac {-\mathbf {Q} \,\mathbf {a} _{2}}{-\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {Q} \,\mathbf {a} _{2}}}=2\pi {\frac {\mathbf {Q} \,\mathbf {a} _{2}}{\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {Q} \,\mathbf {a} _{2}}}\\[8pt]\mathbf {b} _{2}&=2\pi {\frac {\mathbf {Q} \,\mathbf {a} _{1}}{\mathbf {a} _{2}\cdot \mathbf {Q} \,\mathbf {a} _{1}}}\end{aligned}}}$

Aquí${\displaystyle \mathbf {Q} }$representa una matriz de rotación de 90 grados , es decir, un cuarto de vuelta. Tanto la rotación en sentido antihorario como la rotación en sentido horario se pueden utilizar para determinar la red recíproca: Si${\displaystyle \mathbf {Q} }$es la rotación en sentido antihorario y${\displaystyle \mathbf {Q'} }$es la rotación en sentido horario,${\displaystyle \mathbf {Q} \,\mathbf {v} =-\mathbf {Q'} \,\mathbf {v} }$para todos los vectores${\displaystyle \mathbf {v} }$. Por lo tanto, utilizando la permutación

${\displaystyle \sigma ={\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}}}$

obtenemos

${\displaystyle \mathbf {b} _{n}=2\pi {\frac {\mathbf {Q} \,\mathbf {a} _{\sigma (n)}}{\mathbf {a} _{n}\cdot \mathbf {Q} \,\mathbf {a} _{\sigma (n)}}}=2\pi {\frac {\mathbf {Q} '\,\mathbf {a} _{\sigma (n)}}{\mathbf {a} _{n}\cdot \mathbf {Q} '\,\mathbf {a} _{\sigma (n)}}}.}$

Cabe destacar que, en un espacio 3D, esta red recíproca 2D es un conjunto infinitamente extendido de varillas de Bragg , descrito por Sung et al. ^{[ 1 ].}

Para una red tridimensional infinita${\displaystyle \mathbf {R} _{n}=n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3}}$, definido por sus vectores primitivos${\displaystyle \left(\mathbf {a_{1}} ,\mathbf {a} _{2},\mathbf {a} _{3}\right)}$y el subíndice de los números enteros${\displaystyle n=\left(n_{1},n_{2},n_{3}\right)}$, su red recíproca${\displaystyle \mathbf {G} _{m}=m_{1}\mathbf {b} _{1}+m_{2}\mathbf {b} _{2}+m_{3}\mathbf {b} _{3}}$con el subíndice entero${\displaystyle m=(m_{1},m_{2},m_{3})}$se puede determinar generando sus tres vectores primitivos recíprocos.${\displaystyle \left(\mathbf {b_{1}} ,\mathbf {b} _{2},\mathbf {b} _{3}\right)}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {b} _{1}&={\frac {2\pi }{V}}\ \mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3}\\[8pt]\mathbf {b} _{2}&={\frac {2\pi }{V}}\ \mathbf {a} _{3}\times \mathbf {a} _{1}\\[8pt]\mathbf {b} _{3}&={\frac {2\pi }{V}}\ \mathbf {a} _{1}\times \mathbf {a} _{2}\end{aligned}}}$$ dónde$${\displaystyle V=\mathbf {a} _{1}\cdot \left(\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3}\right)=\mathbf {a} _{2}\cdot \left(\mathbf {a} _{3}\times \mathbf {a} _{1}\right)=\mathbf {a} _{3}\cdot \left(\mathbf {a} _{1}\times \mathbf {a} _{2}\right)}$$es el producto triple escalar . La elección de estos${\displaystyle \left(\mathbf {b_{1}} ,\mathbf {b} _{2},\mathbf {b} _{3}\right)}$es para satisfacer${\displaystyle \mathbf {a} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j}=2\pi \,\delta _{ij}}$como condición conocida (puede haber otra condición) de vectores de traslación primitivos para la red recíproca derivada en el enfoque heurístico anterior y la sección de series de Fourier multidimensionales . Esta elección también satisface el requisito de la red recíproca${\displaystyle e^{i\mathbf {G} _{m}\cdot \mathbf {R} _{n}}=1}$Derivadas matemáticamente arriba . Utilizando la representación de vectores columna de vectores primitivos (recíprocos), las fórmulas anteriores se pueden reescribir utilizando la inversión de matrices :

${\displaystyle \left[\mathbf {b} _{1}\mathbf {b} _{2}\mathbf {b} _{3}\right]^{\mathsf {T}}=2\pi \left[\mathbf {a} _{1}\mathbf {a} _{2}\mathbf {a} _{3}\right]^{-1}.}$

Este método se ajusta a la definición y permite la generalización a dimensiones arbitrarias. La fórmula del producto vectorial predomina en los materiales introductorios sobre cristalografía.

La definición anterior se llama definición de "física", ya que el factor de${\displaystyle 2\pi }$Surge naturalmente del estudio de las estructuras periódicas. Una definición esencialmente equivalente, la definición del "cristalógrafo", proviene de la definición de la red recíproca.${\displaystyle \mathbf {K} _{m}=\mathbf {G} _{m}/2\pi }$. lo que cambia los vectores primitivos recíprocos a ser

${\displaystyle \mathbf {b} _{1}={\frac {\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3}}{\mathbf {a} _{1}\cdot \left(\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3}\right)}}}$

y así sucesivamente para los demás vectores primitivos. La definición del cristalógrafo tiene la ventaja de que la definición de${\displaystyle \mathbf {b} _{1}}$es simplemente la magnitud recíproca de${\displaystyle \mathbf {a} _{1}}$en dirección de${\displaystyle \mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3}}$, dejando caer el factor de${\displaystyle 2\pi }$Esto puede simplificar ciertas manipulaciones matemáticas y expresa las dimensiones de la red recíproca en unidades de frecuencia espacial . La elección de la definición de la red es una cuestión de preferencia, siempre y cuando no se mezclen.

${\displaystyle m=(m_{1},m_{2},m_{3})}$convencionalmente se escribe como${\displaystyle (h,k,\ell )}$o${\displaystyle (hk\ell )}$, llamados índices de Miller ;${\displaystyle m_{1}}$es reemplazado por${\displaystyle h}$,${\displaystyle m_{2}}$reemplazado por${\displaystyle k}$, y${\displaystyle m_{3}}$reemplazado por${\displaystyle \ell }$Cada punto de la red${\displaystyle (hk\ell )}$En la red recíproca, corresponde a un conjunto de planos reticulares.${\displaystyle (hk\ell )}$en la red del espacio real . (Un plano reticular es un plano que cruza puntos de la red). La dirección del vector de la red recíproca corresponde a la normal a los planos del espacio real. La magnitud del vector de la red recíproca${\displaystyle \mathbf {K} _{m}}$se da en longitud recíproca y es igual al recíproco del espaciado interplanar de los planos del espacio real.

La fórmula para${\displaystyle n}$Las dimensiones se pueden derivar asumiendo una${\displaystyle n}$- espacio vectorial real dimensional${\displaystyle V}$con una base${\displaystyle (\mathbf {a} _{1},\ldots ,\mathbf {a} _{n})}$y un producto interno${\displaystyle g\colon V\times V\to \mathbf {R} }$Los vectores de la red recíproca están determinados de forma única por la fórmula${\displaystyle g(\mathbf {a} _{i},\mathbf {b} _{j})=2\pi \delta _{ij}}$. Utilizando la permutación

${\displaystyle \sigma ={\begin{pmatrix}1&2&\cdots &n\\2&3&\cdots &1\end{pmatrix}},}$

Se pueden determinar con la siguiente fórmula:

${\displaystyle \mathbf {b} _{i}=2\pi {\frac {\varepsilon _{\sigma ^{1}i\ldots \sigma ^{n}i}}{\omega (\mathbf {a} _{1},\ldots ,\mathbf {a} _{n})}}g^{-1}(\mathbf {a} _{\sigma ^{n-1}i}\,\lrcorner \ldots \mathbf {a} _{\sigma ^{1}i}\,\lrcorner \,\omega )\in V}$

Aquí,${\displaystyle \omega \colon V^{n}\to \mathbf {R} }$es la forma de volumen ,${\displaystyle g^{-1}}$es la inversa del isomorfismo de espacios vectoriales${\displaystyle {\hat {g}}\colon V\to V^{*}}$definido por${\displaystyle {\hat {g}}(v)(w)=g(v,w)}$y${\displaystyle \lrcorner }$denota la multiplicación interna .

Se puede verificar que esta fórmula es equivalente a las fórmulas conocidas para el caso bidimensional y tridimensional utilizando los siguientes hechos: En tres dimensiones,${\displaystyle \omega (u,v,w)=g(u\times v,w)}$y en dos dimensiones,${\displaystyle \omega (v,w)=g(Rv,w)}$, dónde${\displaystyle R\in {\text{SO}}(2)\subset L(V,V)}$es la rotación de 90 grados (al igual que la forma de volumen, el ángulo asignado a una rotación depende de la elección de la orientación ^{[ 2 ]} ).

La red cúbica simple de Bravais , con celda primitiva cúbica de lado${\displaystyle a}$, tiene como recíproco una red cúbica simple con una celda primitiva cúbica de lado${\textstyle {\frac {2\pi }{a}}}$(o${\textstyle {\frac {1}{a}}}$(en la definición del cristalógrafo). Por lo tanto, se dice que la red cúbica es autodual, ya que tiene la misma simetría en el espacio recíproco que en el espacio real.

La red recíproca a una red FCC es la red cúbica centrada en el cuerpo (BCC), con un lado cúbico de${\textstyle {\frac {4\pi }{a}}}$.

Consideremos una celda unitaria compuesta FCC. Localizamos una celda unitaria primitiva de la FCC; es decir, una celda unitaria con un punto de la red. Ahora, tomamos uno de los vértices de la celda unitaria primitiva como origen. Definimos los vectores base de la red real. A partir de las fórmulas conocidas, podemos calcular los vectores base de la red recíproca. Estos vectores de la red recíproca de la FCC representan los vectores base de una red real BCC. Los vectores base de una red real BCC y la red recíproca de una FCC se asemejan en dirección, pero no en magnitud.

La red recíproca a una red BCC es la red FCC , con un lado cúbico de${\textstyle 4\pi /a}$.

Se puede demostrar que solo las redes de Bravais que tienen 90 grados entre${\displaystyle \left(\mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\mathbf {a} _{3}\right)}$(cúbica, tetragonal, ortorrómbica) tienen vectores de traslación primitivos para la red recíproca,${\displaystyle \left(\mathbf {b} _{1},\mathbf {b} _{2},\mathbf {b} _{3}\right)}$, paralelos a sus vectores en el espacio real.

El recíproco de una red de Bravais hexagonal simple con constantes de red${\textstyle a}$y${\textstyle c}$es otra red hexagonal simple con constantes de red${\textstyle 2\pi /c}$y${\textstyle 4\pi /(a{\sqrt {3}})}$rotada 90° alrededor del eje c con respecto a la red directa. Por lo tanto, se dice que la red hexagonal simple es autodual, ya que tiene la misma simetría en el espacio recíproco que en el espacio real. Los vectores de traslación primitivos para esta red hexagonal simple de Bravais son: $${\displaystyle {\begin{aligned}a_{1}&={\frac {\sqrt {3}}{2}}a{\hat {x}}+{\frac {1}{2}}a{\hat {y}},\\[8pt]a_{2}&=-{\frac {\sqrt {3}}{2}}a{\hat {x}}+{\frac {1}{2}}a{\hat {y}},\\[8pt]a_{3}&=c{\hat {z}}.\end{aligned}}}$$^{[ 3 ]}