Matriz invertible

En álgebra lineal , una matriz cuadrada A de n por n se denomina invertible (también no singular , no degenerada o raramente regular ) si existe una matriz cuadrada B de n por n tal que donde I _n denota la matriz identidad de n por n y la multiplicación utilizada es la multiplicación de matrices ordinaria . ^[1] Si este es el caso, entonces la matriz B está determinada de forma única por A y se denomina inversa (multiplicativa) de A , denotada por A ⁻¹ . La inversión de matrices es el proceso de encontrar la matriz que, cuando se multiplica por la matriz original, da la matriz identidad. ^[2] $${\displaystyle \mathbf {AB} =\mathbf {BA} =\mathbf {I} _{n},}$$

Sobre un cuerpo , una matriz cuadrada que no es invertible se llama singular o degenerada . Una matriz cuadrada con entradas en un cuerpo es singular si y solo si su determinante es cero. Las matrices singulares son raras en el sentido de que si las entradas de una matriz cuadrada se seleccionan aleatoriamente de cualquier región acotada en la línea numérica o el plano complejo , la probabilidad de que la matriz sea singular es 0, es decir, "casi nunca" será singular. Las matrices no cuadradas, es decir, matrices m por n para las que m ≠ n , no tienen inversa. Sin embargo, en algunos casos, una matriz de este tipo puede tener una inversa izquierda o una inversa derecha . Si A es m por n y el rango de A es igual a n , ( n ≤ m ), entonces A tiene una inversa izquierda, una matriz n por m B tal que BA = I _n . Si A tiene rango m ( m ≤ n ), _entonces tiene una inversa derecha, una matriz B de n por m tal que AB = Im .

Si bien el caso más común es el de matrices sobre números reales o complejos , todas estas definiciones se pueden dar para matrices sobre cualquier estructura algebraica equipada con adición y multiplicación (es decir, anillos ). Sin embargo, en el caso de que un anillo sea conmutativo , la condición para que una matriz cuadrada sea invertible es que su determinante sea invertible en el anillo, lo que en general es un requisito más estricto que el de que sea distinto de cero. Para un anillo no conmutativo , el determinante habitual no está definido. Las condiciones para la existencia de inversa izquierda o inversa derecha son más complicadas, ya que no existe una noción de rango sobre anillos.

El conjunto de matrices invertibles n × n junto con la operación de multiplicación de matrices y las entradas del anillo R forman un grupo , el grupo lineal general de grado n , denotado GL _n ( R ) .

Sea A una matriz cuadrada de n por n sobre un cuerpo K (por ejemplo, el cuerpo de los${\displaystyle \mathbb {R} }$ números reales). Las siguientes afirmaciones son equivalentes, es decir, son todas verdaderas o todas falsas para cualquier matriz dada: ^[3]

• A es invertible, es decir, tiene una inversa en la multiplicación de matrices, es decir, existe una B tal que AB = I _n = BA . (En este enunciado, "invertible" se puede reemplazar de manera equivalente por "invertible por la izquierda" o "invertible por la derecha", en los que se consideran inversas unilaterales).
• La transformación lineal que asigna x a Ax es invertible, es decir, tiene una función inversa bajo la composición de funciones. (Aquí, nuevamente, "invertible" puede reemplazarse de manera equivalente por "invertible por la izquierda" o "invertible por la derecha")
• La transpuesta AT es una ^matriz invertible.
• A es equivalente en filas a la matriz identidad n por n I _n .
• A es equivalente en columna a lamatriz identidad n por n I _n .
• A tiene n posiciones de pivote .
• A tiene rango completo: rango A = n .
• A tiene un núcleo trivial : ker( A ) = { 0 }.
• La transformación lineal que asigna x a Ax es biyectiva; es decir, la ecuación Ax = b tiene exactamente una solución para cada b en K ⁿ . (Aquí, "biyectiva" se puede reemplazar de manera equivalente por " inyectiva " o " sobreyectiva ")
• Las columnas de A forman una base de K ⁿ . (En esta afirmación, "base" se puede reemplazar de manera equivalente por "conjunto linealmente independiente" o "conjunto generador")
• Las filas de A forman una base de K ⁿ . (De manera similar, aquí, "base" se puede reemplazar de manera equivalente por "conjunto linealmente independiente" o "conjunto generador")
• El determinante de A es distinto de cero: det A ≠ 0. (En general, una matriz cuadrada sobre un anillo conmutativo es invertible si y solo si su determinante es una unidad (es decir, un elemento multiplicativamente invertible) de ese anillo.
• El número 0 no es un valor propio de A. (De manera más general, un número es un valor propio de A si la matriz es singular, donde I es la matriz identidad).${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \mathbf {A} -\lambda \mathbf {I} }$
• La matriz A puede expresarse como un producto finito de matrices elementales .

Además, las siguientes propiedades se cumplen para una matriz invertible A :

• ${\displaystyle (\mathbf {A} ^{-1})^{-1}=\mathbf {A} }$
• ${\displaystyle (k\mathbf {A} )^{-1}=k^{-1}\mathbf {A} ^{-1}}$para un escalar k distinto de cero
• ${\displaystyle (\mathbf {Ax} )^{+}=\mathbf {x} ^{+}\mathbf {A} ^{-1}}$Si A tiene columnas ortonormales, donde ⁺ denota la inversa de Moore-Penrose y x es un vector
• ${\displaystyle (\mathbf {A} ^{\mathrm {T} })^{-1}=(\mathbf {A} ^{-1})^{\mathrm {T} }}$
• Para cualquier matriz invertible n por n, A y B , de manera más general, si son matrices invertibles n por n , entonces${\displaystyle (\mathbf {AB} )^{-1}=\mathbf {B} ^{-1}\mathbf {A} ^{-1}.}$${\displaystyle \mathbf {A} _{1},\dots ,\mathbf {A} _{k}}$${\displaystyle (\mathbf {A} _{1}\mathbf {A} _{2}\cdots \mathbf {A} _{k-1}\mathbf {A} _{k})^{-1}=\mathbf {A} _{k}^{-1}\mathbf {A} _{k-1}^{-1}\cdots \mathbf {A} _{2}^{-1}\mathbf {A} _{1}^{-1}.}$
• ${\displaystyle \det \mathbf {A} ^{-1}=(\det \mathbf {A} )^{-1}.}$

Las filas de la matriz inversa V de una matriz U son ortonormales a las columnas de U (y viceversa intercambiando filas por columnas). Para ver esto, supongamos que UV = VU = I donde las filas de V se denotan como y las columnas de U como para Entonces claramente, el producto interno euclidiano de cualesquiera dos Esta propiedad también puede ser útil para construir la inversa de una matriz cuadrada en algunos casos, donde se conoce un conjunto de vectores ortogonales (pero no necesariamente vectores ortonormales) a las columnas de U. En cuyo caso, se puede aplicar el proceso iterativo de Gram-Schmidt a este conjunto inicial para determinar las filas de la inversa V . ${\displaystyle v_{i}^{\mathrm {T} }}$${\displaystyle u_{j}}$${\displaystyle 1\leq i,j\leq n.}$${\displaystyle v_{i}^{\mathrm {T} }u_{j}=\delta _{i,j}.}$

Una matriz que es su propia inversa (es decir, una matriz A tal que A = A ⁻¹ , y en consecuencia A ² = I ), se denomina matriz involutiva .

El adjunto de una matriz A se puede utilizar para encontrar la inversa de A de la siguiente manera:

Si A es una matriz invertible, entonces

${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}\operatorname {adj} (\mathbf {A} ).}$

De la asociatividad de la multiplicación de matrices se deduce que si

${\displaystyle \mathbf {AB} =\mathbf {I} \ }$

para matrices cuadradas finitas A y B , entonces también

${\displaystyle \mathbf {BA} =\mathbf {I} \ }$^[4]

En el campo de los números reales, el conjunto de matrices singulares n por n , consideradas como un subconjunto de ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{n\times n},}$ es un conjunto nulo , es decir, tiene medida de Lebesgue cero. Esto es cierto porque las matrices singulares son las raíces de la función determinante . Esta es una función continua porque es un polinomio en las entradas de la matriz. Así, en el lenguaje de la teoría de la medida , casi todas las matrices n por n son invertibles.

Además, el conjunto de matrices invertibles n por n es abierto y denso en el espacio topológico de todas las matrices n por n. De manera equivalente, el conjunto de matrices singulares es cerrado y no es denso en ningún lugar del espacio de matrices n por n .

Sin embargo, en la práctica, se pueden encontrar matrices no invertibles. Y en los cálculos numéricos , las matrices que son invertibles, pero cercanas a una matriz no invertible, pueden seguir siendo problemáticas; se dice que dichas matrices están mal condicionadas .

Un ejemplo con rango de n − 1 es una matriz no invertible

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}2&4\\2&4\end{pmatrix}}.}$

Podemos ver que el rango de esta matriz de 2 por 2 es 1, que es n − 1 ≠ n , por lo que no es invertible.

Considere la siguiente matriz de 2 por 2:

${\displaystyle \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}-1&{\tfrac {3}{2}}\\1&-1\end{pmatrix}}.}$

La matriz es invertible. Para comprobarlo, se puede calcular que , que no es cero. ${\displaystyle \mathbf {B} }$${\textstyle \det \mathbf {B} =-{\frac {1}{2}}}$

Como ejemplo de una matriz no invertible o singular, considere la matriz

${\displaystyle \mathbf {C} ={\begin{pmatrix}-1&{\tfrac {3}{2}}\\{\tfrac {2}{3}}&-1\end{pmatrix}}.}$

El determinante de es 0, lo cual es una condición necesaria y suficiente para que una matriz sea no invertible. ${\displaystyle \mathbf {C} }$

La eliminación gaussiana es una forma útil y sencilla de calcular la inversa de una matriz. Para calcular la inversa de una matriz con este método, primero se crea una matriz aumentada en la que el lado izquierdo es la matriz que se va a invertir y el lado derecho es la matriz identidad . Luego, se utiliza la eliminación gaussiana para convertir el lado izquierdo en la matriz identidad, lo que hace que el lado derecho se convierta en la inversa de la matriz de entrada.

Por ejemplo, tomemos la siguiente matriz:${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}-1&{\tfrac {3}{2}}\\1&-1\end{pmatrix}}.}$

El primer paso para calcular su inversa es crear la matriz aumentada${\displaystyle \left({\begin{array}{cc|cc}-1&{\tfrac {3}{2}}&1&0\\1&-1&0&1\end{array}}\right).}$

Llame a la primera fila de esta matriz y a la segunda fila . Luego, sume la fila 1 a la fila 2. Esto da como resultado${\displaystyle R_{1}}$${\displaystyle R_{2}}$${\displaystyle (R_{1}+R_{2}\to R_{2}).}$${\displaystyle \left({\begin{array}{cc|cc}-1&{\tfrac {3}{2}}&1&0\\0&{\tfrac {1}{2}}&1&1\end{array}}\right).}$

A continuación, resta la fila 2, multiplicada por 3, de la fila 1, lo que da como resultado${\displaystyle (R_{1}-3\,R_{2}\to R_{1}),}$${\displaystyle \left({\begin{array}{cc|cc}-1&0&-2&-3\\0&{\tfrac {1}{2}}&1&1\end{array}}\right).}$

Por último, multiplica la fila 1 por −1 y la fila 2 por 2. Esto produce la matriz identidad en el lado izquierdo y la matriz inversa en el derecho:${\displaystyle (-R_{1}\to R_{1})}$${\displaystyle (2\,R_{2}\to R_{2}).}$${\displaystyle \left({\begin{array}{cc|cc}1&0&2&3\\0&1&2&2\end{array}}\right).}$

De este modo,${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\begin{pmatrix}2&3\\2&2\end{pmatrix}}.}$

La razón por la que funciona es que el proceso de eliminación gaussiana se puede ver como una secuencia de aplicación de la multiplicación de matrices izquierdas utilizando operaciones de fila elementales utilizando matrices elementales ( ), como${\displaystyle \mathbf {E} _{n}}$${\displaystyle \mathbf {E} _{n}\mathbf {E} _{n-1}\cdots \mathbf {E} _{2}\mathbf {E} _{1}\mathbf {A} =\mathbf {I} .}$

Aplicando la multiplicación por la derecha obtenemos Y el lado derecho que es el inverso que queremos. ${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1},}$${\displaystyle \mathbf {E} _{n}\mathbf {E} _{n-1}\cdots \mathbf {E} _{2}\mathbf {E} _{1}\mathbf {I} =\mathbf {I} \mathbf {A} ^{-1}.}$${\displaystyle \mathbf {I} \mathbf {A} ^{-1}=\mathbf {A} ^{-1},}$

Para obtener, creamos la matriz aumentada combinando A con I y aplicando la eliminación gaussiana . Las dos partes se transformarán utilizando la misma secuencia de operaciones elementales por filas. Cuando la parte izquierda se convierte en I , la parte derecha, a la que se le haya aplicado la misma secuencia de operaciones elementales por filas, se convertirá en A ⁻¹ . ${\displaystyle \mathbf {E} _{n}\mathbf {E} _{n-1}\cdots \mathbf {E} _{2}\mathbf {E} _{1}\mathbf {I} ,}$

Puede resultar conveniente generalizar el método de Newton utilizado para un algoritmo inverso multiplicativo , si es conveniente encontrar una semilla inicial adecuada:

${\displaystyle X_{k+1}=2X_{k}-X_{k}AX_{k}.}$

Victor Pan y John Reif han realizado trabajos que incluyen formas de generar una semilla inicial. ^{[5] [6]}

El método de Newton es particularmente útil cuando se trabaja con familias de matrices relacionadas que se comportan de manera bastante similar a la secuencia fabricada para la homotopía anterior: a veces un buen punto de partida para refinar una aproximación para la nueva inversa puede ser la inversa ya obtenida de una matriz anterior que casi coincide con la matriz actual, por ejemplo, el par de secuencias de matrices inversas utilizadas para obtener raíces cuadradas de matrices mediante la iteración de Denman-Beavers ; esto puede requerir más de una pasada de la iteración en cada nueva matriz, si no están lo suficientemente próximas entre sí para que una sola sea suficiente. El método de Newton también es útil para realizar correcciones de "retoque" al algoritmo de Gauss-Jordan que ha sido contaminado por pequeños errores debido a una aritmética informática imperfecta .

El teorema de Cayley-Hamilton permite expresar la inversa de A en términos de det( A ) , trazas y potencias de A : ^[7]

${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}\sum _{s=0}^{n-1}\mathbf {A} ^{s}\sum _{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{n-1}}\prod _{l=1}^{n-1}{\frac {(-1)^{k_{l}+1}}{l^{k_{l}}k_{l}!}}\operatorname {tr} \left(\mathbf {A} ^{l}\right)^{k_{l}},}$

donde n es el tamaño de A y tr( A ) es la traza de la matriz A dada por la suma de la diagonal principal . La suma se toma sobre s y los conjuntos de todos los que satisfacen la ecuación diofántica lineal${\displaystyle k_{l}\geq 0}$

${\displaystyle s+\sum _{l=1}^{n-1}lk_{l}=n-1.}$

La fórmula se puede reescribir en términos de polinomios de Bell completos de argumentos como ${\displaystyle t_{l}=-(l-1)!\operatorname {tr} \left(A^{l}\right)}$

${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}\sum _{s=1}^{n}\mathbf {A} ^{s-1}{\frac {(-1)^{n-1}}{(n-s)!}}B_{n-s}(t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n-s}).}$

Esto se describe con más detalle en el método Cayley-Hamilton .

Si la matriz A se puede descomponer automáticamente, y si ninguno de sus valores propios es cero, entonces A es invertible y su inversa está dada por

${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}=\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } ^{-1}\mathbf {Q} ^{-1},}$

donde Q es la matriz cuadrada ( N × N ) cuya i ésima columna es el vector propio de A , y Λ es la matriz diagonal cuyas entradas diagonales son los valores propios correspondientes, es decir, si A es simétrica, se garantiza que Q es una matriz ortogonal , por lo tanto Además, debido a que Λ es una matriz diagonal, su inversa es fácil de calcular: ${\displaystyle q_{i}}$${\displaystyle \Lambda _{ii}=\lambda _{i}.}$${\displaystyle \mathbf {Q} ^{-1}=\mathbf {Q} ^{\mathrm {T} }.}$

${\displaystyle \left[\Lambda ^{-1}\right]_{ii}={\frac {1}{\lambda _{i}}}.}$

Si la matriz A es definida positiva , entonces su inversa se puede obtener como

${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}=\left(\mathbf {L} ^{*}\right)^{-1}\mathbf {L} ^{-1},}$

donde L es la descomposición triangular inferior de Cholesky de A , y L * denota la transpuesta conjugada de L .

Escribir la transpuesta de la matriz de cofactores , conocida como matriz adjunta , también puede ser una forma eficiente de calcular la inversa de matrices pequeñas , pero este método recursivo es ineficiente para matrices grandes. Para determinar la inversa, calculamos una matriz de cofactores:

${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={1 \over {\begin{vmatrix}\mathbf {A} \end{vmatrix}}}\mathbf {C} ^{\mathrm {T} }={1 \over {\begin{vmatrix}\mathbf {A} \end{vmatrix}}}{\begin{pmatrix}\mathbf {C} _{11}&\mathbf {C} _{21}&\cdots &\mathbf {C} _{n1}\\\mathbf {C} _{12}&\mathbf {C} _{22}&\cdots &\mathbf {C} _{n2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\mathbf {C} _{1n}&\mathbf {C} _{2n}&\cdots &\mathbf {C} _{nn}\\\end{pmatrix}}}$

de modo que

${\displaystyle \left(\mathbf {A} ^{-1}\right)_{ij}={1 \over {\begin{vmatrix}\mathbf {A} \end{vmatrix}}}\left(\mathbf {C} ^{\mathrm {T} }\right)_{ij}={1 \over {\begin{vmatrix}\mathbf {A} \end{vmatrix}}}\left(\mathbf {C} _{ji}\right)}$

donde | A | es el determinante de A , C es la matriz de cofactores y C ^T representa la matriz transpuesta .

La ecuación de cofactores mencionada anteriormente arroja el siguiente resultado para matrices de 2 × 2. La inversión de estas matrices se puede realizar de la siguiente manera: ^[8]

${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{\det \mathbf {A} }}{\begin{bmatrix}\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end{bmatrix}}={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{bmatrix}\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end{bmatrix}}.}$

Esto es posible porque 1/( ad − bc ) es el recíproco del determinante de la matriz en cuestión, y la misma estrategia podría usarse para otros tamaños de matriz.

El método Cayley-Hamilton proporciona

${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\det \mathbf {A} }}\left[\left(\operatorname {tr} \mathbf {A} \right)\mathbf {I} -\mathbf {A} \right].}$

Una inversión de matriz 3 × 3 computacionalmente eficiente está dada por

${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\\\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}{\begin{bmatrix}\,A&\,B&\,C\\\,D&\,E&\,F\\\,G&\,H&\,I\\\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}{\begin{bmatrix}\,A&\,D&\,G\\\,B&\,E&\,H\\\,C&\,F&\,I\\\end{bmatrix}}}$

(donde el escalar A no debe confundirse con la matriz A ).

Si el determinante no es cero, la matriz es invertible, y las entradas de la matriz intermedia del lado derecho de arriba están dadas por

${\displaystyle {\begin{alignedat}{6}A&={}&(ei-fh),&\quad &D&={}&-(bi-ch),&\quad &G&={}&(bf-ce),\\B&={}&-(di-fg),&\quad &E&={}&(ai-cg),&\quad &H&={}&-(af-cd),\\C&={}&(dh-eg),&\quad &F&={}&-(ah-bg),&\quad &I&={}&(ae-bd).\\\end{alignedat}}}$

El determinante de A se puede calcular aplicando la regla de Sarrus de la siguiente manera:

${\displaystyle \det(\mathbf {A} )=aA+bB+cC.}$

La descomposición de Cayley-Hamilton da

${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}\left({\frac {1}{2}}\left[(\operatorname {tr} \mathbf {A} )^{2}-\operatorname {tr} (\mathbf {A} ^{2})\right]\mathbf {I} -\mathbf {A} \operatorname {tr} \mathbf {A} +\mathbf {A} ^{2}\right).}$

La inversa general de 3 × 3 se puede expresar de manera concisa en términos del producto vectorial y el producto triple . Si una matriz (que consta de tres vectores columna, , , y ) es invertible, su inversa está dada por ${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}\mathbf {x} _{0}&\mathbf {x} _{1}&\mathbf {x} _{2}\end{bmatrix}}}$${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$${\displaystyle \mathbf {x} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {x} _{2}}$

${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}{\begin{bmatrix}{(\mathbf {x} _{1}\times \mathbf {x} _{2})}^{\mathrm {T} }\\{(\mathbf {x} _{2}\times \mathbf {x} _{0})}^{\mathrm {T} }\\{(\mathbf {x} _{0}\times \mathbf {x} _{1})}^{\mathrm {T} }\end{bmatrix}}.}$

El determinante de A , det( A ) , es igual al triple producto de x ₀ , x ₁ y x ₂ —el volumen del paralelepípedo formado por las filas o columnas:

${\displaystyle \det(\mathbf {A} )=\mathbf {x} _{0}\cdot (\mathbf {x} _{1}\times \mathbf {x} _{2}).}$

La exactitud de la fórmula se puede comprobar utilizando las propiedades de producto cruzado y triple y observando que para los grupos, las inversas izquierda y derecha siempre coinciden. Intuitivamente, debido a los productos cruzados, cada fila de A ^–1 es ortogonal a las dos columnas no correspondientes de A (lo que hace que los términos fuera de la diagonal de sean cero). Dividiendo por ${\displaystyle \mathbf {I} =\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {A} }$

${\displaystyle \det(\mathbf {A} )=\mathbf {x} _{0}\cdot (\mathbf {x} _{1}\times \mathbf {x} _{2})}$

hace que las entradas diagonales de I = A ⁻¹ A sean la unidad. Por ejemplo, la primera diagonal es:

${\displaystyle 1={\frac {1}{\mathbf {x_{0}} \cdot (\mathbf {x} _{1}\times \mathbf {x} _{2})}}\mathbf {x_{0}} \cdot (\mathbf {x} _{1}\times \mathbf {x} _{2}).}$

A medida que aumenta la dimensión, las expresiones para la inversa de A se complican. Para n = 4 , el método de Cayley-Hamilton conduce a una expresión que todavía es manejable:

${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}\left({\frac {1}{6}}\left[(\operatorname {tr} \mathbf {A} )^{3}-3\operatorname {tr} \mathbf {A} \operatorname {tr} (\mathbf {A} ^{2})+2\operatorname {tr} (\mathbf {A} ^{3})\right]\mathbf {I} -{\frac {1}{2}}\mathbf {A} \left[(\operatorname {tr} \mathbf {A} )^{2}-\operatorname {tr} (\mathbf {A} ^{2})\right]+\mathbf {A} ^{2}\operatorname {tr} \mathbf {A} -\mathbf {A} ^{3}\right).}$

Las matrices también se pueden invertir en bloques utilizando la siguiente fórmula de inversión analítica: ^[9]

donde A , B , C y D son subbloques matriciales de tamaño arbitrario. ( A debe ser cuadrado, para que pueda invertirse. Además, A y D − CA ⁻¹ B deben ser no singulares. ^[10] ) Esta estrategia es particularmente ventajosa si A es diagonal y D − CA ⁻¹ B (el complemento de Schur de A ) es una matriz pequeña, ya que son las únicas matrices que requieren inversión.

Esta técnica fue reinventada varias veces y se debe a Hans Boltz (1923), ^{[ cita requerida ]} quien la utilizó para la inversión de matrices geodésicas , y a Tadeusz Banachiewicz (1937), quien la generalizó y demostró su corrección.

El teorema de nulidad dice que la nulidad de A es igual a la nulidad del subbloque en la parte inferior derecha de la matriz inversa, y que la nulidad de B es igual a la nulidad del subbloque en la parte superior derecha de la matriz inversa.

El procedimiento de inversión que condujo a la ecuación ( 1 ) realizó operaciones de bloques de matriz que operaron primero sobre C y D. En cambio, si se opera primero sobre A y B , y siempre que D y A − BD ⁻¹ C no sean singulares, ^[11] el resultado es

Igualando las ecuaciones ( 1 ) y ( 2 ) se llega a

donde la ecuación ( 3 ) es la matriz identidad de Woodbury , que es equivalente al teorema del inverso binomial .

Si A y D son ambas invertibles, entonces las dos matrices de bloques inversas anteriores se pueden combinar para proporcionar la factorización simple.

Por la identidad de Weinstein-Aronszajn , una de las dos matrices en la matriz diagonal de bloques es invertible exactamente cuando la otra lo es.

Esta fórmula se simplifica significativamente cuando la matriz de bloques superior derecha B es la matriz cero . Esta formulación es útil cuando las matrices A y D tienen fórmulas inversas relativamente simples (o pseudoinversas en el caso en que los bloques no sean todos cuadrados). En este caso especial, la fórmula de inversión de la matriz de bloques establecida con total generalidad anteriormente se convierte en

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {A} &\mathbf {0} \\\mathbf {C} &\mathbf {D} \end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}\mathbf {A} ^{-1}&\mathbf {0} \\-\mathbf {D} ^{-1}\mathbf {CA} ^{-1}&\mathbf {D} ^{-1}\end{bmatrix}}.}$

Si la matriz invertible dada es una matriz simétrica con bloque invertible A, se cumple la siguiente fórmula de bloque inverso ^[12]

donde . Esto requiere 2 inversiones de las matrices de tamaño medio A y S y solo 4 multiplicaciones de matrices de tamaño medio, si se organizan adecuadamente junto con algunas adiciones, sustracciones, negaciones y transposiciones de complejidad despreciable. Cualquier matriz tiene asociada una matriz semidefinida positiva, simétrica , que es exactamente invertible (y definida positiva), si y solo si es invertible. Al escribir la inversión de matrices se puede reducir a invertir matrices simétricas y 2 multiplicaciones de matrices adicionales, porque la matriz definida positiva satisface la condición de invertibilidad para su bloque superior izquierdo A . ${\displaystyle \mathbf {S} =\mathbf {D} -\mathbf {C} \mathbf {A} ^{-1}\mathbf {C} ^{T}}$${\displaystyle \mathbf {W} _{1}=\mathbf {C} \mathbf {A} ^{-1},}$ ${\displaystyle \mathbf {W} _{2}=\mathbf {W} _{1}\mathbf {C} ^{T}=\mathbf {C} \mathbf {A} ^{-1}\mathbf {C} ^{T},}$ ${\displaystyle \mathbf {W} _{3}=\mathbf {S} ^{-1}\mathbf {W} _{1}=\mathbf {S} ^{-1}\mathbf {C} \mathbf {A} ^{-1},}$ ${\displaystyle \mathbf {W} _{4}=\mathbf {W} _{1}^{T}\mathbf {W} _{3}=\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {C} ^{T}\mathbf {S} ^{-1}\mathbf {C} \mathbf {A} ^{-1},}$${\displaystyle \mathbf {M} }$${\displaystyle \mathbf {M} ^{T}\mathbf {M} }$${\displaystyle \mathbf {M} }$${\displaystyle \mathbf {M} ^{-1}=\left(\mathbf {M} ^{T}\mathbf {M} \right)^{-1}\mathbf {M} ^{T}}$ ${\displaystyle \mathbf {M} ^{T}\mathbf {M} }$

These formulas together allow to construct a divide and conquer algorithm that uses blockwise inversion of associated symmetric matrices to invert a matrix with the same time complexity as the matrix multiplication algorithm that is used internally.^[12] Research into matrix multiplication complexity shows that there exist matrix multiplication algorithms with a complexity of O(n^2.371552) operations, while the best proven lower bound is Ω(n² log n).^[13]

If a matrix A has the property that

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }(\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{n}=0}$

then A is nonsingular and its inverse may be expressed by a Neumann series:^[14]

${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}=\sum _{n=0}^{\infty }(\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{n}.}$

Truncating the sum results in an "approximate" inverse which may be useful as a preconditioner. Note that a truncated series can be accelerated exponentially by noting that the Neumann series is a geometric sum. As such, it satisfies

${\displaystyle \sum _{n=0}^{2^{L}-1}(\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{n}=\prod _{l=0}^{L-1}\left(\mathbf {I} +(\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{2^{l}}\right)}$.

Therefore, only 2L − 2 matrix multiplications are needed to compute 2^L terms of the sum.

More generally, if A is "near" the invertible matrix X in the sense that

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(\mathbf {I} -\mathbf {X} ^{-1}\mathbf {A} \right)^{n}=0\mathrm {~~or~~} \lim _{n\to \infty }\left(\mathbf {I} -\mathbf {A} \mathbf {X} ^{-1}\right)^{n}=0}$

then A is nonsingular and its inverse is

${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\mathbf {X} ^{-1}(\mathbf {X} -\mathbf {A} )\right)^{n}\mathbf {X} ^{-1}~.}$

If it is also the case that A − X has rank 1 then this simplifies to

${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}=\mathbf {X} ^{-1}-{\frac {\mathbf {X} ^{-1}(\mathbf {A} -\mathbf {X} )\mathbf {X} ^{-1}}{1+\operatorname {tr} \left(\mathbf {X} ^{-1}(\mathbf {A} -\mathbf {X} )\right)}}~.}$

If A is a matrix with integer or rational entries and we seek a solution in arbitrary-precision rationals, then a p-adic approximation method converges to an exact solution in O(n⁴ log² n), assuming standard O(n³) matrix multiplication is used.^[15] The method relies on solving n linear systems via Dixon's method of p-adic approximation (each in O(n³ log² n)) and is available as such in software specialized in arbitrary-precision matrix operations, for example, in IML.^[16]

Given an n × n square matrix ${\displaystyle \mathbf {X} =\left[x^{ij}\right]}$, ${\displaystyle 1\leq i,j\leq n}$, with n rows interpreted as n vectors ${\displaystyle \mathbf {x} _{i}=x^{ij}\mathbf {e} _{j}}$ (Einstein summation assumed) where the ${\displaystyle \mathbf {e} _{j}}$ are a standard orthonormal basis of Euclidean space ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ (${\displaystyle \mathbf {e} _{i}=\mathbf {e} ^{i},\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} ^{j}=\delta _{i}^{j}}$), then using Clifford algebra (or geometric algebra) we compute the reciprocal (sometimes called dual) column vectors:

${\displaystyle \mathbf {x} ^{i}=x_{ji}\mathbf {e} ^{j}=(-1)^{i-1}(\mathbf {x} _{1}\wedge \cdots \wedge ()_{i}\wedge \cdots \wedge \mathbf {x} _{n})\cdot (\mathbf {x} _{1}\wedge \ \mathbf {x} _{2}\wedge \cdots \wedge \mathbf {x} _{n})^{-1}}$

as the columns of the inverse matrix ${\displaystyle \mathbf {X} ^{-1}=[x_{ji}].}$ Note that, the place "${\displaystyle ()_{i}}$" indicates that "${\displaystyle \mathbf {x} _{i}}$" is removed from that place in the above expression for ${\displaystyle \mathbf {x} ^{i}}$. We then have ${\displaystyle \mathbf {X} \mathbf {X} ^{-1}=\left[\mathbf {x} _{i}\cdot \mathbf {x} ^{j}\right]=\left[\delta _{i}^{j}\right]=\mathbf {I} _{n}}$, where ${\displaystyle \delta _{i}^{j}}$ is the Kronecker delta. We also have ${\displaystyle \mathbf {X} ^{-1}\mathbf {X} =\left[\left(\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {x} ^{k}\right)\left(\mathbf {e} ^{j}\cdot \mathbf {x} _{k}\right)\right]=\left[\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} ^{j}\right]=\left[\delta _{i}^{j}\right]=\mathbf {I} _{n}}$, as required. If the vectors ${\displaystyle \mathbf {x} _{i}}$ are not linearly independent, then ${\displaystyle (\mathbf {x} _{1}\wedge \mathbf {x} _{2}\wedge \cdots \wedge \mathbf {x} _{n})=0}$ and the matrix ${\displaystyle \mathbf {X} }$ is not invertible (has no inverse).

Suppose that the invertible matrix A depends on a parameter t. Then the derivative of the inverse of A with respect to t is given by^[17]

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} ^{-1}}{\mathrm {d} t}}=-\mathbf {A} ^{-1}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {A} ^{-1}.}$

To derive the above expression for the derivative of the inverse of A, one can differentiate the definition of the matrix inverse ${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}\mathbf {A} =\mathbf {I} }$ and then solve for the inverse of A:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} (\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {A} )}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} ^{-1}}{\mathrm {d} t}}\mathbf {A} +\mathbf {A} ^{-1}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {I} }{\mathrm {d} t}}=\mathbf {0} .}$

Subtracting ${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}}$ from both sides of the above and multiplying on the right by ${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}}$ gives the correct expression for the derivative of the inverse:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} ^{-1}}{\mathrm {d} t}}=-\mathbf {A} ^{-1}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {A} ^{-1}.}$

Similarly, if ${\displaystyle \varepsilon }$ is a small number then

${\displaystyle \left(\mathbf {A} +\varepsilon \mathbf {X} \right)^{-1}=\mathbf {A} ^{-1}-\varepsilon \mathbf {A} ^{-1}\mathbf {X} \mathbf {A} ^{-1}+{\mathcal {O}}(\varepsilon ^{2})\,.}$

More generally, if

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f(\mathbf {A} )}{\mathrm {d} t}}=\sum _{i}g_{i}(\mathbf {A} ){\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}h_{i}(\mathbf {A} ),}$

then,

${\displaystyle f(\mathbf {A} +\varepsilon \mathbf {X} )=f(\mathbf {A} )+\varepsilon \sum _{i}g_{i}(\mathbf {A} )\mathbf {X} h_{i}(\mathbf {A} )+{\mathcal {O}}\left(\varepsilon ^{2}\right).}$

Given a positive integer ${\displaystyle n}$,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} ^{n}}{\mathrm {d} t}}&=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {A} ^{i-1}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {A} ^{n-i},\\{\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} ^{-n}}{\mathrm {d} t}}&=-\sum _{i=1}^{n}\mathbf {A} ^{-i}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {A} ^{-(n+1-i)}.\end{aligned}}}$

Therefore,

${\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbf {A} +\varepsilon \mathbf {X} )^{n}&=\mathbf {A} ^{n}+\varepsilon \sum _{i=1}^{n}\mathbf {A} ^{i-1}\mathbf {X} \mathbf {A} ^{n-i}+{\mathcal {O}}\left(\varepsilon ^{2}\right),\\(\mathbf {A} +\varepsilon \mathbf {X} )^{-n}&=\mathbf {A} ^{-n}-\varepsilon \sum _{i=1}^{n}\mathbf {A} ^{-i}\mathbf {X} \mathbf {A} ^{-(n+1-i)}+{\mathcal {O}}\left(\varepsilon ^{2}\right).\end{aligned}}}$

Some of the properties of inverse matrices are shared by generalized inverses (for example, the Moore–Penrose inverse), which can be defined for any m-by-n matrix.^[18]

For most practical applications, it is not necessary to invert a matrix to solve a system of linear equations; however, for a unique solution, it is necessary that the matrix involved be invertible.

Decomposition techniques like LU decomposition are much faster than inversion, and various fast algorithms for special classes of linear systems have also been developed.

Although an explicit inverse is not necessary to estimate the vector of unknowns, it is the easiest way to estimate their accuracy, found in the diagonal of a matrix inverse (the posterior covariance matrix of the vector of unknowns). However, faster algorithms to compute only the diagonal entries of a matrix inverse are known in many cases.^[19]

Matrix inversion plays a significant role in computer graphics, particularly in 3D graphics rendering and 3D simulations. Examples include screen-to-world ray casting, world-to-subspace-to-world object transformations, and physical simulations.

Matrix inversion also plays a significant role in the MIMO (Multiple-Input, Multiple-Output) technology in wireless communications. The MIMO system consists of N transmit and M receive antennas. Unique signals, occupying the same frequency band, are sent via N transmit antennas and are received via M receive antennas. The signal arriving at each receive antenna will be a linear combination of the N transmitted signals forming an N × M transmission matrix H. It is crucial for the matrix H to be invertible for the receiver to be able to figure out the transmitted information.

• "Inversion of a matrix", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Cormen, Thomas H.; Leiserson, Charles E.; Rivest, Ronald L.; Stein, Clifford (2001) [1990]. "28.4: Inverting matrices". Introduction to Algorithms (2nd ed.). MIT Press and McGraw-Hill. pp. 755–760. ISBN 0-262-03293-7.
• Bernstein, Dennis S. (2009). Matrix Mathematics: Theory, Facts, and Formulas (2nd ed.). Princeton University Press. ISBN 978-0691140391 – via Google Books.
• Petersen, Kaare Brandt; Pedersen, Michael Syskind (November 15, 2012). "The Matrix Cookbook" (PDF). pp. 17–23.

• Sanderson, Grant (August 15, 2016). "Inverse Matrices, Column Space and Null Space". Essence of Linear Algebra. Archived from the original on 2021-11-03 – via YouTube.
• Strang, Gilbert. "Linear Algebra Lecture on Inverse Matrices". MIT OpenCourseWare.
• Moore-Penrose Inverse Matrix