Polinomios de Bell

En matemáticas combinatorias , los polinomios de Bell , llamados así en honor a Eric Temple Bell , se utilizan en el estudio de particiones de conjuntos. Están relacionados con los números de Stirling y Bell . También aparecen en muchas aplicaciones, como en la fórmula de Faà di Bruno .

Los polinomios de Bell exponenciales parciales o incompletos son una matriz triangular de polinomios dada por

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{n,k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1})&=\sum {n! \sobre j_{1}!j_{2}!\cdots j_{n-k+1}!}\left({x_{1} \sobre 1!}\right)^{j_{1}}\left({x_{2} \sobre 2!}\right)^{j_{2}}\cdots \left({x_{n-k+1} \sobre (n-k+1)!}\right)^{j_{n-k+1}}\\&=n!\sum \prod _{i=1}^{n-k+1}{\frac {x_{i}^{j_{i}}}{(i!)^{j_{i}}j_{i}!}},\end{aligned}}}$

donde la suma se toma sobre todas las secuencias j ₁ , j ₂ , j ₃ , ..., j _{n − k +1} de números enteros no negativos tales que se satisfacen estas dos condiciones:

${\displaystyle j_{1}+j_{2}+\cdots +j_{n-k+1}=k,}$

${\displaystyle j_{1}+2j_{2}+3j_{3}+\cdots +(n-k+1)j_{n-k+1}=n.}$

La suma

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})&=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1})\\&=n!\sum _{1j_{1}+\ldots +nj_{n}=n}\prod _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}^{j_{i}}}{(i!)^{j_{i}}j_{i}!}}\end{aligned}}}$

se llama polinomio de Bell exponencial completo n- ésimo .

Del mismo modo, el polinomio de Bell ordinario parcial se define por

${\displaystyle {\hat {B}}_{n,k}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n-k+1})=\sum {\frac {k!}{j_{1}!j_{2}!\cdots j_{n-k+1}!}}x_{1}^{j_{1}}x_{2}^{j_{2}}\cdots x_{n-k+1}^{j_{n-k+1}},}$

donde la suma recorre todas las secuencias j ₁ , j ₂ , j ₃ , ..., j _{n − k +1} de números enteros no negativos tales que

${\displaystyle j_{1}+j_{2}+\cdots +j_{n-k+1}=k,}$

${\displaystyle j_{1}+2j_{2}+\cdots +(n-k+1)j_{n-k+1}=n.}$

Gracias a la primera condición sobre los índices, podemos reescribir la fórmula como

${\displaystyle {\hat {B}}_{n,k}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n-k+1})=\sum {\binom {k}{j_{1},j_{2},\ldots ,j_{n-k+1}}}x_{1}^{j_{1}}x_{2}^{j_{2}}\cdots x_{n-k+1}^{j_{n-k+1}},}$

donde hemos utilizado el coeficiente multinomial .

Los polinomios de Bell ordinarios se pueden expresar en términos de polinomios de Bell exponenciales:

${\displaystyle {\hat {B}}_{n,k}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n-k+1})={\frac {k!}{n!}}B_{n,k}(1!\cdot x_{1},2!\cdot x_{2},\ldots ,(n-k+1)!\cdot x_{n-k+1}).}$

En general, el polinomio de Bell se refiere al polinomio de Bell exponencial, a menos que se indique explícitamente lo contrario.

El polinomio de Bell exponencial codifica la información relacionada con las formas en que se puede dividir un conjunto. Por ejemplo, si consideramos un conjunto {A, B, C}, se puede dividir en dos subconjuntos no vacíos y no superpuestos, que también se denominan partes o bloques, de tres formas diferentes:

{{A}, {B, C}}

{{B}, {A, C}}

{{C}, {B, A}}

De esta manera, podemos codificar la información relativa a estas particiones como

${\displaystyle B_{3,2}(x_{1},x_{2})=3x_{1}x_{2}.}$

Aquí, los subíndices de B _3,2 nos indican que estamos considerando la partición de un conjunto con 3 elementos en 2 bloques. El subíndice de cada x _i indica la presencia de un bloque con i elementos (o bloque de tamaño i ) en una partición dada. Así que aquí, x ₂ indica la presencia de un bloque con dos elementos. De manera similar, x ₁ indica la presencia de un bloque con un solo elemento. El exponente de x _i ^j indica que hay j bloques de tamaño i en una sola partición. Aquí, el hecho de que tanto x ₁ como x ₂ tengan exponente 1 indica que solo hay un bloque de este tipo en una partición dada. El coeficiente del monomio indica cuántas particiones de este tipo hay. Aquí, hay 3 particiones de un conjunto con 3 elementos en 2 bloques, donde en cada partición los elementos se dividen en dos bloques de tamaños 1 y 2.

Como cualquier conjunto se puede dividir en un único bloque de una sola manera, la interpretación anterior significaría que B _{n ,1} = x _n . De manera similar, como solo hay una manera de dividir un conjunto con n elementos en n singletons, B _{n , n} = x ₁ ⁿ .

Como ejemplo más complicado, considere

${\displaystyle B_{6,2}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})=6x_{5}x_{1}+15x_{4}x_{2}+10x_{3}^{2}.}$

Esto nos dice que si un conjunto con 6 elementos se divide en 2 bloques, entonces podemos tener 6 particiones con bloques de tamaño 1 y 5, 15 particiones con bloques de tamaño 4 y 2, y 10 particiones con 2 bloques de tamaño 3.

La suma de los subíndices de un monomio es igual al número total de elementos. Por lo tanto, el número de monomios que aparecen en el polinomio de Bell parcial es igual al número de formas en que el entero n puede expresarse como una suma de k enteros positivos. Esto es lo mismo que la partición entera de n en k partes. Por ejemplo, en los ejemplos anteriores, el entero 3 puede dividirse en dos partes como 2+1 solamente. Por lo tanto, solo hay un monomio en B _3,2 . Sin embargo, el entero 6 puede dividirse en dos partes como 5+1, 4+2 y 3+3. Por lo tanto, hay tres monomios en B _6,2 . De hecho, los subíndices de las variables en un monomio son los mismos que los dados por la partición entera, lo que indica los tamaños de los diferentes bloques. El número total de monomios que aparecen en un polinomio de Bell completo B _n es, por lo tanto, igual al número total de particiones enteras de  n .

Además, el grado de cada monomio, que es la suma de los exponentes de cada variable del monomio, es igual al número de bloques en que se divide el conjunto. Es decir, j ₁ + j ₂ + ... = k . Por lo tanto, dado un polinomio de Bell completo B _n , podemos separar el polinomio de Bell parcial B _n,k agrupando todos aquellos monomios con grado k .

Finalmente, si ignoramos los tamaños de los bloques y ponemos todos los x _i = x , entonces la suma de los coeficientes del polinomio de Bell parcial B _{n , k} dará el número total de formas en que un conjunto con n elementos puede ser dividido en k bloques, que es lo mismo que los números de Stirling de segunda especie . Además, la suma de todos los coeficientes del polinomio de Bell completo B _n nos dará el número total de formas en que un conjunto con n elementos puede ser dividido en subconjuntos no superpuestos, que es lo mismo que el número de Bell.

En general, si el entero n se divide en una suma en la que "1" aparece j ₁ veces, "2" aparece j ₂ veces, y así sucesivamente, entonces el número de particiones de un conjunto de tamaño n que colapsan en esa partición del entero n cuando los miembros del conjunto se vuelven indistinguibles es el coeficiente correspondiente en el polinomio.

Por ejemplo, tenemos

${\displaystyle B_{6,2}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})=6x_{5}x_{1}+15x_{4}x_{2}+10x_{3}^{2}}$

porque las formas de particionar un conjunto de 6 elementos como 2 bloques son

6 formas de particionar un conjunto de 6 como 5 + 1,

15 formas de particionar un conjunto de 6 como 4 + 2, y

10 formas de particionar un conjunto de 6 como 3 + 3.

Similarmente,

${\displaystyle B_{6,3}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=15x_{4}x_{1}^{2}+60x_{3}x_{2}x_{1}+15x_{2}^{3}}$

porque las formas de particionar un conjunto de 6 elementos como 3 bloques son

15 formas de particionar un conjunto de 6 como 4 + 1 + 1,

60 formas de particionar un conjunto de 6 como 3 + 2 + 1, y

15 formas de particionar un conjunto de 6 como 2 + 2 + 2.

A continuación se muestra una matriz triangular de los polinomios de Bell incompletos : ${\displaystyle B_{n,k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1})}$

Los polinomios de Bell parciales exponenciales se pueden definir mediante la expansión en doble serie de su función generadora:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (t,u)&=\exp \left(u\sum _{j=1}^{\infty }x_{j}{\frac {t^{j}}{j!}}\right)=\sum _{n\geq k\geq 0}B_{n,k}(x_{1},\ldots ,x_{n-k+1}){\frac {t^{n}}{n!}}u^{k}\\&=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}\sum _{k=1}^{n}u^{k}B_{n,k}(x_{1},\ldots ,x_{n-k+1}).\end{aligned}}}$

En otras palabras, por lo que equivale a lo mismo, por la expansión en serie de la k -ésima potencia:

${\displaystyle {\frac {1}{k!}}\left(\sum _{j=1}^{\infty }x_{j}{\frac {t^{j}}{j!}}\right)^{k}=\sum _{n=k}^{\infty }B_{n,k}(x_{1},\ldots ,x_{n-k+1}){\frac {t^{n}}{n!}},\qquad k=0,1,2,\ldots }$

El polinomio de Bell exponencial completo se define por , o en otras palabras: ${\displaystyle \Phi (t,1)}$

${\displaystyle \Phi (t,1)=\exp \left(\sum _{j=1}^{\infty }x_{j}{\frac {t^{j}}{j!}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n}){\frac {t^{n}}{n!}}.}$

Por lo tanto, el n -ésimo polinomio de Bell completo está dado por

${\displaystyle B_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\left.\left({\frac {\partial }{\partial t}}\right)^{n}\exp \left(\sum _{j=1}^{n}x_{j}{\frac {t^{j}}{j!}}\right)\right|_{t=0}.}$

Del mismo modo, el polinomio de Bell parcial ordinario puede definirse mediante la función generadora

${\displaystyle {\hat {\Phi }}(t,u)=\exp \left(u\sum _{j=1}^{\infty }x_{j}t^{j}\right)=\sum _{n\geq k\geq 0}{\hat {B}}_{n,k}(x_{1},\ldots ,x_{n-k+1})t^{n}{\frac {u^{k}}{k!}}.}$

O, equivalentemente, por desarrollo en serie de la k -ésima potencia:

${\displaystyle \left(\sum _{j=1}^{\infty }x_{j}t^{j}\right)^{k}=\sum _{n=k}^{\infty }{\hat {B}}_{n,k}(x_{1},\ldots ,x_{n-k+1})t^{n}.}$

Véase también transformaciones de funciones generadoras para expansiones de funciones generadoras de polinomios de Bell de composiciones de funciones generadoras de secuencias y potencias , logaritmos y exponenciales de una función generadora de secuencias. Cada una de estas fórmulas se cita en las secciones respectivas de Comtet. ^[1]

Los polinomios de Bell completos se pueden definir de forma recurrente como

${\displaystyle B_{n+1}(x_{1},\ldots ,x_{n+1})=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}B_{n-i}(x_{1},\ldots ,x_{n-i})x_{i+1}}$

con el valor inicial . ${\displaystyle B_{0}=1}$

Los polinomios de Bell parciales también se pueden calcular de manera eficiente mediante una relación de recurrencia:

${\displaystyle B_{n+1,k+1}(x_{1},\ldots ,x_{n-k+1})=\sum _{i=0}^{n-k}{\binom {n}{i}}x_{i+1}B_{n-i,k}(x_{1},\ldots ,x_{n-k-i+1})}$

dónde

${\displaystyle B_{0,0}=1;}$

${\displaystyle B_{n,0}=0{\text{ for }}n\geq 1;}$

${\displaystyle B_{0,k}=0{\text{ for }}k\geq 1.}$

Además: ^[2]

${\displaystyle B_{n,k_{1}+k_{2}}(x_{1},\ldots ,x_{n-k_{1}-k_{2}+1})={\frac {k_{1}!\,k_{2}!}{(k_{1}+k_{2})!}}\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}B_{i,k_{1}}(x_{1},\ldots ,x_{i-k_{1}+1})B_{n-i,k_{2}}(x_{1},\ldots ,x_{n-i-k_{2}+1}).}$

Cuando , ${\displaystyle 1\leq a<n}$

${\displaystyle B_{n,n-a}(x_{1},\ldots ,x_{a+1})=\sum _{j=a+1}^{2a}{\frac {j!}{a!}}{\binom {n}{j}}x_{1}^{n-j}B_{a,j-a}{\Bigl (}{\frac {x_{2}}{2}},{\frac {x_{3}}{3}},\ldots ,{\frac {x_{2(a+1)-j}}{2(a+1)-j}}{\Bigr )}.}$

Los polinomios de Bell completos también satisfacen la siguiente fórmula diferencial de recurrencia: ^[3]

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})={\frac {1}{n-1}}\left[\sum _{i=2}^{n}\right.&\sum _{j=1}^{i-1}(i-1){\binom {i-2}{j-1}}x_{j}x_{i-j}{\frac {\partial B_{n-1}(x_{1},\dots ,x_{n-1})}{\partial x_{i-1}}}\\[5pt]&\left.{}+\sum _{i=2}^{n}\sum _{j=1}^{i-1}{\frac {x_{i+1}}{\binom {i}{j}}}{\frac {\partial ^{2}B_{n-1}(x_{1},\dots ,x_{n-1})}{\partial x_{j}\partial x_{i-j}}}\right.\\[5pt]&\left.{}+\sum _{i=2}^{n}x_{i}{\frac {\partial B_{n-1}(x_{1},\dots ,x_{n-1})}{\partial x_{i-1}}}\right].\end{aligned}}}$

Las derivadas parciales de los polinomios de Bell completos se dan por ^[4]

${\displaystyle {\frac {\partial B_{n}}{\partial x_{i}}}(x_{1},\ldots ,x_{n})={\binom {n}{i}}B_{n-i}(x_{1},\ldots ,x_{n-i}).}$

De manera similar, las derivadas parciales de los polinomios de Bell parciales se dan por

${\displaystyle {\frac {\partial B_{n,k}}{\partial x_{i}}}(x_{1},\ldots ,x_{n-k+1})={\binom {n}{i}}B_{n-i,k-1}(x_{1},\ldots ,x_{n-i-k+2}).}$

Si los argumentos de los polinomios de Bell son funciones unidimensionales, se puede utilizar la regla de la cadena para obtener

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(B_{n,k}(a_{1}(x),\cdots ,a_{n-k+1}(x))\right)=\sum _{i=1}^{n-k+1}{\binom {n}{i}}a_{i}'(x)B_{n-i,k-1}(a_{1}(x),\cdots ,a_{n-i-k+2}(x)).}$

El valor del polinomio de Bell B _{n , k} ( x ₁ , x ₂ ,...) en la secuencia de factoriales es igual a un número de Stirling sin signo del primer tipo :

${\displaystyle B_{n,k}(0!,1!,\dots ,(n-k)!)=c(n,k)=|s(n,k)|=\left[{n \atop k}\right].}$

La suma de estos valores da el valor del polinomio de Bell completo en la secuencia de factoriales:

${\displaystyle B_{n}(0!,1!,\dots ,(n-1)!)=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(0!,1!,\dots ,(n-k)!)=\sum _{k=1}^{n}\left[{n \atop k}\right]=n!.}$

El valor del polinomio de Bell B _{n , k} ( x ₁ , x ₂ ,...) en la secuencia de unos es igual a un número de Stirling de segundo tipo :

${\displaystyle B_{n,k}(1,1,\dots ,1)=S(n,k)=\left\{{n \atop k}\right\}.}$

La suma de estos valores da el valor del polinomio de Bell completo en la secuencia de unos:

${\displaystyle B_{n}(1,1,\dots ,1)=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(1,1,\dots ,1)=\sum _{k=1}^{n}\left\{{n \atop k}\right\},}$

cual es el n- ésimo número de Bell .

${\displaystyle B_{n,k}(1!,2!,\ldots ,(n-k+1)!)={\binom {n-1}{k-1}}{\frac {n!}{k!}}=L(n,k)}$

que da el número Lah .

El polinomio de Touchard se puede expresar como el valor del polinomio de Bell completo en todos los argumentos siendo x : ${\displaystyle T_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}\left\{{n \atop k}\right\}\cdot x^{k}}$

${\displaystyle T_{n}(x)=B_{n}(x,x,\dots ,x).}$

Si definimos

${\displaystyle y_{n}=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(x_{1},\ldots ,x_{n-k+1}),}$

entonces tenemos la relación inversa

${\displaystyle x_{n}=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}(k-1)!B_{n,k}(y_{1},\ldots ,y_{n-k+1}).}$

De manera más general, ^{[5] [6]} dada alguna función que admita una inversa ,${\displaystyle f}$${\displaystyle g=f^{-1}}$

${\displaystyle y_{n}=\sum _{k=0}^{n}f^{(k)}(a)\,B_{n,k}(x_{1},\ldots ,x_{n-k+1})\quad \Leftrightarrow \quad x_{n}=\sum _{k=0}^{n}g^{(k)}{\big (}f(a){\big )}\,B_{n,k}(y_{1},\ldots ,y_{n-k+1}).}$

El polinomio de Bell completo se puede expresar como determinantes :

${\displaystyle B_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})=\det {\begin{bmatrix}x_{1}&{n-1 \choose 1}x_{2}&{n-1 \choose 2}x_{3}&{n-1 \choose 3}x_{4}&\cdots &\cdots &x_{n}\\\\-1&x_{1}&{n-2 \choose 1}x_{2}&{n-2 \choose 2}x_{3}&\cdots &\cdots &x_{n-1}\\\\0&-1&x_{1}&{n-3 \choose 1}x_{2}&\cdots &\cdots &x_{n-2}\\\\0&0&-1&x_{1}&\cdots &\cdots &x_{n-3}\\\\0&0&0&-1&\cdots &\cdots &x_{n-4}\\\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\\\0&0&0&0&\cdots &-1&x_{1}\end{bmatrix}}}$

y

${\displaystyle B_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})=\det {\begin{bmatrix}{\frac {x_{1}}{0!}}&{\frac {x_{2}}{1!}}&{\frac {x_{3}}{2!}}&{\frac {x_{4}}{3!}}&\cdots &\cdots &{\frac {x_{n}}{(n-1)!}}\\\\-1&{\frac {x_{1}}{0!}}&{\frac {x_{2}}{1!}}&{\frac {x_{3}}{2!}}&\cdots &\cdots &{\frac {x_{n-1}}{(n-2)!}}\\\\0&-2&{\frac {x_{1}}{0!}}&{\frac {x_{2}}{1!}}&\cdots &\cdots &{\frac {x_{n-2}}{(n-3)!}}\\\\0&0&-3&{\frac {x_{1}}{0!}}&\cdots &\cdots &{\frac {x_{n-3}}{(n-4)!}}\\\\0&0&0&-4&\cdots &\cdots &{\frac {x_{n-4}}{(n-5)!}}\\\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\\\0&0&0&0&\cdots &-(n-1)&{\frac {x_{1}}{0!}}\end{bmatrix}}.}$

Para las secuencias x _n , y _n , n = 1, 2, ..., defina una convolución mediante:

${\displaystyle (x{\mathbin {\diamondsuit }}y)_{n}=\sum _{j=1}^{n-1}{n \choose j}x_{j}y_{n-j}.}$

Los límites de la suma son 1 y n  − 1, no 0 y n .

Sea el n- ésimo término de la secuencia ${\displaystyle x_{n}^{k\diamondsuit }\,}$

${\displaystyle \displaystyle \underbrace {x{\mathbin {\diamondsuit }}\cdots {\mathbin {\diamondsuit }}x} _{k{\text{ factors}}}.\,}$

Entonces ^[2]

${\displaystyle B_{n,k}(x_{1},\dots ,x_{n-k+1})={x_{n}^{k\diamondsuit } \over k!}.\,}$

Por ejemplo, calculemos . Tenemos ${\displaystyle B_{4,3}(x_{1},x_{2})}$

${\displaystyle x=(x_{1}\ ,\ x_{2}\ ,\ x_{3}\ ,\ x_{4}\ ,\dots )}$

${\displaystyle x{\mathbin {\diamondsuit }}x=(0,\ 2x_{1}^{2}\ ,\ 6x_{1}x_{2}\ ,\ 8x_{1}x_{3}+6x_{2}^{2}\ ,\dots )}$

${\displaystyle x{\mathbin {\diamondsuit }}x{\mathbin {\diamondsuit }}x=(0\ ,\ 0\ ,\ 6x_{1}^{3}\ ,\ 36x_{1}^{2}x_{2}\ ,\dots )}$

y por lo tanto,

${\displaystyle B_{4,3}(x_{1},x_{2})={\frac {(x{\mathbin {\diamondsuit }}x{\mathbin {\diamondsuit }}x)_{4}}{3!}}=6x_{1}^{2}x_{2}.}$

• ${\displaystyle B_{n,k}(1,2,3,\ldots ,n-k+1)={\binom {n}{k}}k^{n-k}}$lo que da el número idempotente .
• ${\displaystyle B_{n,k}(\alpha \beta x_{1},\alpha \beta ^{2}x_{2},\ldots ,\alpha \beta ^{n-k+1}x_{n-k+1})=\alpha ^{k}\beta ^{n}B_{n,k}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n-k+1})}$.
• Los polinomios de Bell completos satisfacen la relación de tipo binomial:

  ${\displaystyle B_{n}(x_{1}+y_{1},\ldots ,x_{n}+y_{n})=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}B_{n-i}(x_{1},\ldots ,x_{n-i})B_{i}(y_{1},\ldots ,y_{i}),}$

  ${\displaystyle B_{n,k}{\Bigl (}{\frac {x_{q+1}}{\binom {q+1}{q}}},{\frac {x_{q+2}}{\binom {q+2}{q}}},\ldots {\Bigr )}={\frac {n!(q!)^{k}}{(n+qk)!}}B_{n+qk,k}(\ldots ,0,0,x_{q+1},x_{q+2},\ldots ).}$

Esto corrige la omisión del factor en el libro de Comtet. ^[7]${\displaystyle (q!)^{k}}$

• Casos especiales de polinomios de Bell parciales:

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{n,1}(x_{1},\ldots ,x_{n})={}&x_{n}\\B_{n,2}(x_{1},\ldots ,x_{n-1})={}&{\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{n-1}{\binom {n}{k}}x_{k}x_{n-k}\\B_{n,n}(x_{1})={}&x_{1}^{n}\\B_{n,n-1}(x_{1},x_{2})={}&{\binom {n}{2}}x_{1}^{n-2}x_{2}\\B_{n,n-2}(x_{1},x_{2},x_{3})={}&{\binom {n}{3}}x_{1}^{n-3}x_{3}+3{\binom {n}{4}}x_{1}^{n-4}x_{2}^{2}\\B_{n,n-3}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})={}&{\binom {n}{4}}x_{1}^{n-4}x_{4}+10{\binom {n}{5}}x_{1}^{n-5}x_{2}x_{3}+15{\binom {n}{6}}x_{1}^{n-6}x_{2}^{3}\\B_{n,n-4}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})={}&{\binom {n}{5}}x_{1}^{n-5}x_{5}+5{\binom {n}{6}}x_{1}^{n-6}(3x_{2}x_{4}+2x_{3}^{2})+105{\binom {n}{7}}x_{1}^{n-7}x_{2}^{2}x_{3}\\&+105{\binom {n}{8}}x_{1}^{n-8}x_{2}^{4}.\end{aligned}}}$

Los primeros polinomios de Bell completos son:

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{0}={}&1,\\[8pt]B_{1}(x_{1})={}&x_{1},\\[8pt]B_{2}(x_{1},x_{2})={}&x_{1}^{2}+x_{2},\\[8pt]B_{3}(x_{1},x_{2},x_{3})={}&x_{1}^{3}+3x_{1}x_{2}+x_{3},\\[8pt]B_{4}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})={}&x_{1}^{4}+6x_{1}^{2}x_{2}+4x_{1}x_{3}+3x_{2}^{2}+x_{4},\\[8pt]B_{5}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})={}&x_{1}^{5}+10x_{2}x_{1}^{3}+15x_{2}^{2}x_{1}+10x_{3}x_{1}^{2}+10x_{3}x_{2}+5x_{4}x_{1}+x_{5}\\[8pt]B_{6}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},x_{6})={}&x_{1}^{6}+15x_{2}x_{1}^{4}+20x_{3}x_{1}^{3}+45x_{2}^{2}x_{1}^{2}+15x_{2}^{3}+60x_{3}x_{2}x_{1}\\&{}+15x_{4}x_{1}^{2}+10x_{3}^{2}+15x_{4}x_{2}+6x_{5}x_{1}+x_{6},\\[8pt]B_{7}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},x_{6},x_{7})={}&x_{1}^{7}+21x_{1}^{5}x_{2}+35x_{1}^{4}x_{3}+105x_{1}^{3}x_{2}^{2}+35x_{1}^{3}x_{4}\\&{}+210x_{1}^{2}x_{2}x_{3}+105x_{1}x_{2}^{3}+21x_{1}^{2}x_{5}+105x_{1}x_{2}x_{4}\\&{}+70x_{1}x_{3}^{2}+105x_{2}^{2}x_{3}+7x_{1}x_{6}+21x_{2}x_{5}+35x_{3}x_{4}+x_{7}.\end{aligned}}}$

La fórmula de Faà di Bruno puede enunciarse en términos de polinomios de Bell de la siguiente manera:

${\displaystyle {d^{n} \over dx^{n}}f(g(x))=\sum _{k=0}^{n}f^{(k)}(g(x))B_{n,k}\left(g'(x),g''(x),\dots ,g^{(n-k+1)}(x)\right).}$

De manera similar, una versión de la fórmula de Faà di Bruno en forma de serie de potencias se puede formular utilizando polinomios de Bell de la siguiente manera. Supongamos

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n} \over n!}x^{n}\qquad {\text{and}}\qquad g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{b_{n} \over n!}x^{n}.}$

Entonces

${\displaystyle g(f(x))=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sum _{k=0}^{n}b_{k}B_{n,k}(a_{1},\dots ,a_{n-k+1})}{n!}}x^{n}.}$

En particular, los polinomios de Bell completos aparecen en la exponencial de una serie de potencias formales :

${\displaystyle \exp \left(\sum _{i=1}^{\infty }{a_{i} \over i!}x^{i}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{B_{n}(a_{1},\dots ,a_{n}) \over n!}x^{n},}$

que también representa la función generadora exponencial de los polinomios de Bell completos en una secuencia fija de argumentos . ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots }$

Sean dos funciones f y g expresadas en series de potencias formales como

${\displaystyle f(w)=\sum _{k=0}^{\infty }f_{k}{\frac {w^{k}}{k!}},\qquad {\text{and}}\qquad g(z)=\sum _{k=0}^{\infty }g_{k}{\frac {z^{k}}{k!}},}$

de modo que g es la inversa compositiva de f definida por g ( f ( w )) = w o f ( g ( z )) = z . Si f ₀ = 0 y f ₁ ≠ 0, entonces se puede dar una forma explícita de los coeficientes de la inversa en términos de polinomios de Bell como ^[8]

${\displaystyle g_{n}={\frac {1}{f_{1}^{n}}}\sum _{k=1}^{n-1}(-1)^{k}n^{\bar {k}}B_{n-1,k}({\hat {f}}_{1},{\hat {f}}_{2},\ldots ,{\hat {f}}_{n-k}),\qquad n\geq 2,}$

con y es el factorial ascendente, y${\displaystyle {\hat {f}}_{k}={\frac {f_{k+1}}{(k+1)f_{1}}},}$${\displaystyle n^{\bar {k}}=n(n+1)\cdots (n+k-1)}$${\displaystyle g_{1}={\frac {1}{f_{1}}}.}$

Considere la integral de la forma

${\displaystyle I(\lambda )=\int _{a}^{b}e^{-\lambda f(x)}g(x)\,\mathrm {d} x,}$

donde ( a , b ) es un intervalo real (finito o infinito), λ es un parámetro positivo grande y las funciones f y g son continuas. Sea f un único mínimo en [ a , b ] que ocurre en x  =  a . Supongamos que cuando x  →  a ⁺ ,

${\displaystyle f(x)\sim f(a)+\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}(x-a)^{k+\alpha },}$

${\displaystyle g(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }b_{k}(x-a)^{k+\beta -1},}$

con α > 0, Re( β ) > 0; y que la expansión de f puede diferenciarse término por término. Entonces, el teorema de Laplace-Erdelyi establece que la expansión asintótica de la integral I ( λ ) está dada por

${\displaystyle I(\lambda )\sim e^{-\lambda f(a)}\sum _{n=0}^{\infty }\Gamma {\Big (}{\frac {n+\beta }{\alpha }}{\Big )}{\frac {c_{n}}{\lambda ^{(n+\beta )/\alpha }}}\qquad {\text{as}}\quad \lambda \rightarrow \infty ,}$

donde los coeficientes c _n se pueden expresar en términos de a _n y b _n utilizando polinomios de Bell ordinarios parciales , como se indica en la fórmula de Campbell–Froman–Walles–Wojdylo:

${\displaystyle c_{n}={\frac {1}{\alpha a_{0}^{(n+\beta )/\alpha }}}\sum _{k=0}^{n}b_{n-k}\sum _{j=0}^{k}{\binom {-{\frac {n+\beta }{\alpha }}}{j}}{\frac {1}{a_{0}^{j}}}{\hat {B}}_{k,j}(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k-j+1}).}$

El polinomio simétrico elemental y el polinomio simétrico de suma de potencias se pueden relacionar entre sí utilizando polinomios de Bell como: ${\displaystyle e_{n}}$ ${\displaystyle p_{n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{n}&={\frac {1}{n!}}\;B_{n}(p_{1},-1!p_{2},2!p_{3},-3!p_{4},\ldots ,(-1)^{n-1}(n-1)!p_{n})\\&={\frac {(-1)^{n}}{n!}}\;B_{n}(-p_{1},-1!p_{2},-2!p_{3},-3!p_{4},\ldots ,-(n-1)!p_{n}),\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{n}&={\frac {(-1)^{n-1}}{(n-1)!}}\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}(k-1)!\;B_{n,k}(e_{1},2!e_{2},3!e_{3},\ldots ,(n-k+1)!e_{n-k+1})\\&=(-1)^{n}\;n\;\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\;{\hat {B}}_{n,k}(-e_{1},\dots ,-e_{n-k+1}).\end{aligned}}}$

Estas fórmulas permiten expresar los coeficientes de polinomios mónicos en términos de los polinomios de Bell de sus ceros. Por ejemplo, junto con el teorema de Cayley-Hamilton conducen a la expresión del determinante de una matriz cuadrada A de n × n en términos de las trazas de sus potencias:

${\displaystyle \det(A)={\frac {(-1)^{n}}{n!}}B_{n}(s_{1},s_{2},\ldots ,s_{n}),~\qquad {\text{where }}s_{k}=-(k-1)!\operatorname {tr} (A^{k}).}$

El índice de ciclo del grupo simétrico se puede expresar en términos de polinomios de Bell completos de la siguiente manera: ${\displaystyle S_{n}}$

${\displaystyle Z(S_{n})={\frac {B_{n}(0!\,a_{1},1!\,a_{2},\dots ,(n-1)!\,a_{n})}{n!}}.}$

La suma

${\displaystyle \mu _{n}'=B_{n}(\kappa _{1},\dots ,\kappa _{n})=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(\kappa _{1},\dots ,\kappa _{n-k+1})}$

es el n -ésimo momento bruto de una distribución de probabilidad cuyos primeros n cumulantes son κ ₁ , ..., κ _n . En otras palabras, el n- ésimo momento es el n -ésimo polinomio de Bell completo evaluado en los primeros n cumulantes. Asimismo, el n -ésimo cumulante puede darse en términos de los momentos como

${\displaystyle \kappa _{n}=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}(k-1)!B_{n,k}(\mu '_{1},\ldots ,\mu '_{n-k+1}).}$

Los polinomios de Hermite se pueden expresar en términos de polinomios de Bell como

${\displaystyle \operatorname {He} _{n}(x)=B_{n}(x,-1,0,\ldots ,0),}$

donde x _i = 0 para todo i > 2, lo que permite una interpretación combinatoria de los coeficientes de los polinomios de Hermite. Esto se puede ver comparando la función generadora de los polinomios de Hermite

${\displaystyle \exp \left(xt-{\frac {t^{2}}{2}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\operatorname {He} _{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}}$

con el de los polinomios de Bell.

Para cualquier secuencia a ₁ , a ₂ , …, a _n de escalares, sea

${\displaystyle p_{n}(x)=B_{n}(a_{1}x,\ldots ,a_{n}x)=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(a_{1},\dots ,a_{n-k+1})x^{k}.}$

Entonces esta secuencia polinomial es de tipo binomial , es decir, satisface la identidad binomial

${\displaystyle p_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}p_{k}(x)p_{n-k}(y).}$

Ejemplo: Para a ₁ = … = a _n = 1, los polinomios representan polinomios de Touchard .${\displaystyle p_{n}(x)}$

De manera más general, tenemos este resultado:

Teorema: Todas las secuencias polinómicas de tipo binomial son de esta forma.

Si definimos una serie de potencias formales

${\displaystyle h(x)=\sum _{k=1}^{\infty }{a_{k} \over k!}x^{k},}$

entonces para todo n ,

${\displaystyle h^{-1}\left({d \over dx}\right)p_{n}(x)=np_{n-1}(x).}$

Los polinomios de Bell se implementan en:

• Mathematica como BellY
• Arce como IncompleteBellB
• SageMath como bell_polynomial

• Matriz de campana
• Fórmula exponencial