Tipo binomial

En matemáticas , una secuencia polinómica , es decir, una secuencia de polinomios indexados por números enteros no negativos en la que el índice de cada polinomio es igual a su grado , se dice que es de tipo binomial si satisface la secuencia de identidades. ${\textstyle \left\{0,1,2,3,\ldots \right\}}$

${\displaystyle p_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\,p_{k}(x)\,p_{n-k}(y).}$

Existen muchas de estas secuencias. El conjunto de todas estas secuencias forma un grupo de Lie bajo la operación de composición umbral , que se explica a continuación. Toda secuencia de tipo binomial puede expresarse en términos de los polinomios de Bell . Toda secuencia de tipo binomial es una secuencia de Sheffer (pero la mayoría de las secuencias de Sheffer no son de tipo binomial). Las secuencias polinomiales dan una base sólida a las vagas nociones del siglo XIX del cálculo umbral .

• Como consecuencia de esta definición el teorema binomial puede enunciarse diciendo que la secuencia es de tipo binomial.${\displaystyle \{x^{n}:n=0,1,2,\ldots \}}$
• La sucesión de " factoriales inferiores " se define por (En la teoría de funciones especiales , esta misma notación denota factoriales superiores , pero este uso actual es universal entre los combinatorios ). El producto se entiende que es 1 si n = 0, ya que en ese caso es un producto vacío . Esta sucesión polinómica es de tipo binomial. ^[1]$${\displaystyle (x)_{n}=x(x-1)(x-2)\cdot \cdots \cdot (x-n+1).}$$
• De manera similar, los " factoriales superiores " son una secuencia polinómica de tipo binomial.$${\displaystyle x^{(n)}=x(x+1)(x+2)\cdot \cdots \cdot (x+n-1)}$$
• Los polinomios de Abel son una secuencia polinómica de tipo binomial.$${\displaystyle p_{n}(x)=x(x-an)^{n-1}}$$
• Los polinomios de Touchard , donde es el número de particiones de un conjunto de tamaño en subconjuntos no vacíos disjuntos , es una secuencia polinómica de tipo binomial. Eric Temple Bell los llamó "polinomios exponenciales" y ese término también se ve a veces en la literatura. Los coeficientes son " números de Stirling de segunda especie". Esta secuencia tiene una curiosa conexión con la distribución de Poisson : si es una variable aleatoria con una distribución de Poisson con valor esperado entonces . En particular, cuando , vemos que el ésimo momento de la distribución de Poisson con valor esperado es el número de particiones de un conjunto de tamaño , llamado el ésimo número de Bell . Este hecho sobre el ésimo momento de esa distribución de Poisson en particular es la " fórmula de Dobinski ".$${\displaystyle p_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}S(n,k)x^{k}}$$${\displaystyle S(n,k)}$ ${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$ ${\displaystyle S(n,k)}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle E(X^{n})=p_{n}(\lambda )}$${\displaystyle \lambda =1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

Se puede demostrar que una secuencia polinómica { p _n (x) : n  = 0, 1, 2, … } es de tipo binomial si y solo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

• La transformación lineal en el espacio de polinomios en x que se caracteriza por es equivariante al desplazamiento , y$${\displaystyle p_{n}(x)\mapsto np_{n-1}(x)}$$
• p ₀ ( x ) = 1 para todo x , y
• p _n (0) = 0 para n > 0.

(La afirmación de que este operador es equivariante respecto del desplazamiento es lo mismo que decir que la secuencia polinomial es una secuencia de Sheffer ; el conjunto de secuencias de tipo binomial está incluido adecuadamente dentro del conjunto de secuencias de Sheffer).

Esa transformación lineal es claramente un operador delta , es decir, una transformación lineal equivalente al desplazamiento en el espacio de polinomios en x que reduce los grados de los polinomios en 1. Los ejemplos más obvios de operadores delta son los operadores de diferencia ^[1] y la diferenciación . Se puede demostrar que cada operador delta se puede escribir como una serie de potencias de la forma

${\displaystyle Q=\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}D^{n}}$

donde D es la diferenciación (nótese que el límite inferior de la suma es 1). Cada operador delta Q tiene una secuencia única de "polinomios básicos", es decir, una secuencia polinómica que satisface

1. ${\displaystyle p_{0}(x)=1,}$
2. ${\displaystyle p_{n}(0)=0\quad {\rm {for\ }}n\geq 1,{\rm {\ and}}}$
3. ${\displaystyle Qp_{n}(x)=np_{n-1}(x).}$

En 1973, Rota , Kahaner y Odlyzko demostraron que una secuencia polinómica es de tipo binomial si y solo si es la secuencia de polinomios básicos de algún operador delta. Por lo tanto, este párrafo equivale a una receta para generar tantas secuencias polinómicas de tipo binomial como se desee.

Para cualquier secuencia a ₁ , a ₂ , a ₃ , … de escalares , sea

${\displaystyle p_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(a_{1},\dots ,a_{n-k+1})x^{k}}$

donde B _{n , k} ( a ₁ , …, a _{n − k +1} ) es el polinomio de Bell . Entonces esta secuencia polinómica es de tipo binomial. Nótese que para cada n ≥ 1,

${\displaystyle p_{n}'(0)=a_{n}.}$

Aquí está el resultado principal de esta sección:

Teorema: Todas las secuencias polinómicas de tipo binomial son de esta forma.

Un resultado de Mullin y Rota, repetido en Rota, Kahaner y Odlyzko (ver Referencias a continuación) establece que cada secuencia polinomial {  p _n ( x ) } _n de tipo binomial está determinada por la secuencia {  p _n ′(0) } _n , pero esas fuentes no mencionan los polinomios de Bell.

Esta secuencia de escalares también está relacionada con el operador delta. Sea

${\displaystyle P(t)=\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n} \over n!}t^{n}.}$

Entonces

${\displaystyle P^{-1}\left({d \over dx}\right),}$

donde , es el operador delta de esta secuencia. ${\displaystyle P^{-1}(P(x))=P(P^{-1}(x))=1}$

Para las secuencias a _n , b _n , n = 0, 1, 2, …, defina un tipo de convolución mediante

${\displaystyle (a{\mathbin {\diamondsuit }}b)_{n}=\sum _{j=0}^{n}{n \choose j}a_{j}b_{n-j}.}$

Sea el n- ésimo término de la secuencia ${\displaystyle a_{n}^{k\diamondsuit }}$

${\displaystyle \underbrace {a\mathbin {\diamondsuit } \cdots \mathbin {\diamondsuit } a} _{k{\text{ factors}}}.}$

Entonces, para cualquier secuencia a _i , i = 0, 1, 2, ..., con a ₀ = 0, la secuencia definida por p ₀ ( x ) = 1 y

${\displaystyle p_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}{a_{n}^{k\diamondsuit }x^{k} \over k!}\,}$

para n ≥ 1, es de tipo binomial, y toda secuencia de tipo binomial es de esta forma.

Las sucesiones polinómicas de tipo binomial son precisamente aquellas cuyas funciones generadoras son series de potencias formales (no necesariamente convergentes ) de la forma

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{p_{n}(x) \over n!}t^{n}=e^{xf(t)}}$

donde f ( t ) es una serie de potencias formal cuyo término constante es cero y cuyo término de primer grado no es cero. ^[2] Se puede demostrar mediante el uso de la versión de serie de potencias de la fórmula de Faà di Bruno que

${\displaystyle f(t)=\sum _{n=1}^{\infty }{p_{n}\,'(0) \over n!}t^{n}.}$

El operador delta de la secuencia es el inverso compositivo , de modo que ${\displaystyle f^{-1}(D)}$

${\displaystyle f^{-1}(D)p_{n}(x)=np_{n-1}(x).}$

Los coeficientes en el producto de dos series de potencias formales

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{a_{n} \over n!}t^{n}}$

y

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{b_{n} \over n!}t^{n}}$

son

${\displaystyle c_{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a_{k}b_{n-k}}$

(ver también producto de Cauchy ). Si pensamos en x como un parámetro que indexa una familia de tales series de potencias, entonces la identidad binomial dice en efecto que la serie de potencias indexada por x + y es el producto de aquellas indexadas por x y por y . Por lo tanto, x es el argumento de una función que convierte las sumas en productos: una función exponencial.

${\displaystyle g(t)^{x}=e^{xf(t)}}$

donde f ( t ) tiene la forma dada anteriormente.

El conjunto de todas las sucesiones polinómicas de tipo binomial es un grupo en el que la operación de grupo es la "composición umbral" de sucesiones polinómicas. Esa operación se define de la siguiente manera. Supóngase que { p _n ( x ) : n = 0, 1, 2, 3, ... } y { q _n ( x ) : n = 0, 1, 2, 3, ... } son sucesiones polinómicas, y

${\displaystyle p_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}\,x^{k}.}$

Entonces la composición umbral p o q es la secuencia polinómica cuyo término n es

${\displaystyle (p_{n}\circ q)(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}\,q_{k}(x)}$

(el subíndice n aparece en p _n , ya que éste es el término n de esa secuencia, pero no en q , ya que éste se refiere a la secuencia como un todo y no a uno de sus términos).

Con el operador delta definido por una serie de potencias en D como la anterior, la biyección natural entre operadores delta y secuencias polinomiales de tipo binomial, también definidas anteriormente, es un isomorfismo de grupo , en el que la operación de grupo sobre series de potencias es una composición formal de series de potencias formales.

La secuencia κ _n de coeficientes de los términos de primer grado en una secuencia polinómica de tipo binomial puede denominarse cumulantes de la secuencia polinómica. Se puede demostrar que toda la secuencia polinómica de tipo binomial está determinada por sus cumulantes, de la manera que se explica en el artículo titulado cumulante . Por lo tanto

${\displaystyle p_{n}'(0)=\kappa _{n}=}$el n -ésimo cumulante

y

${\displaystyle p_{n}(1)=\mu _{n}'=}$el n- ésimo momento.

Se trata de cumulantes "formales" y momentos "formales" , a diferencia de los cumulantes de una distribución de probabilidad y los momentos de una distribución de probabilidad.

Dejar

${\displaystyle f(t)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\kappa _{n}}{n!}}t^{n}}$

sea ​​la función generadora de cumulantes (formal). Entonces

${\displaystyle f^{-1}(D)}$

es el operador delta asociado con la secuencia polinomial, es decir, tenemos

${\displaystyle f^{-1}(D)p_{n}(x)=np_{n-1}(x).}$

El concepto de tipo binomial tiene aplicaciones en combinatoria , probabilidad , estadística y una variedad de otros campos.

• Lista de temas factoriales y binomiales
• Filtros wavelet de Daubechies ( QMF binomial )

• G.-C. Rota , D. Kahaner y A. Odlyzko , "Cálculo de operadores finitos", Journal of Mathematical Analysis and its Applications , vol. 42, núm. 3, junio de 1973. Reimpreso en el libro con el mismo título, Academic Press, Nueva York, 1975.
• R. Mullin y G.-C. Rota, "Sobre los fundamentos de la teoría combinatoria III: teoría de la enumeración binomial", en Teoría de grafos y sus aplicaciones , editado por Bernard Harris, Academic Press, Nueva York, 1970.
• Roman, Stephen (2008). Álgebra lineal avanzada . Textos de posgrado en matemáticas (tercera edición). Springer. ISBN 978-0-387-72828-5.

Como sugiere el título, el segundo de los puntos anteriores trata explícitamente de aplicaciones a la enumeración combinatoria .

• di Bucchianico, Alessandro. Aspectos probabilísticos y analíticos del cálculo umbral , Ámsterdam, CWI , 1997.
• Weisstein, Eric W. "Sucesión de tipo binomial". MathWorld .