Operador Delta

En matemáticas , un operador delta es un operador lineal equivariante por desplazamiento.${\displaystyle Q\colon \mathbb {K} [x]\longrightarrow \mathbb {K} [x]}$en el espacio vectorial de polinomios en una variable${\displaystyle x}$sobre un campo${\displaystyle \mathbb {K} }$eso reduce los grados en uno.

Decir eso${\displaystyle Q}$es equivariante al desplazamiento significa que si${\displaystyle g(x)=f(x+a)}$, entonces

${\displaystyle {(Qg)(x)=(Qf)(x+a)}.\,}$

En otras palabras, si${\displaystyle f}$es un "cambio" de${\displaystyle g}$, entonces${\displaystyle Qf}$También es un cambio de${\displaystyle Qg}$y tiene el mismo "vector de desplazamiento".${\displaystyle a}$.

Decir que un operador reduce el grado en uno significa que si${\displaystyle f}$es un polinomio de grado${\displaystyle n}$, entonces${\displaystyle Qf}$es o bien un polinomio de grado${\displaystyle n-1}$, o, en caso${\displaystyle n=0}$,${\displaystyle Qf}$es 0.

A veces, un operador delta se define como una transformación lineal equivariante por desplazamiento en polinomios en${\displaystyle x}$que mapas${\displaystyle x}$a una constante distinta de cero. Aparentemente más débil que la definición dada anteriormente, se puede demostrar que esta última caracterización es equivalente a la definición enunciada cuando${\displaystyle \mathbb {K} }$tiene característica cero, ya que la equivariancia de desplazamiento es una condición bastante fuerte.

• El operador de diferencia a plazo

${\displaystyle (\Delta f)(x)=f(x+1)-f(x)\,}$

es un operador delta.

• La diferenciación con respecto a x , escrita como D , también es un operador delta.
• Cualquier operador del formulario

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }c_{k}D^{k}}$

(donde D ⁿ ( ƒ ) = ƒ ^{( n )} es la n ^-ésima derivada ) con${\displaystyle c_{1}\neq 0}$es un operador delta. Se puede demostrar que todos los operadores delta se pueden escribir de esta forma. Por ejemplo, el operador de diferencia dado anteriormente se puede expandir como

${\displaystyle \Delta =e^{D}-1=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {D^{k}}{k!}}.}$

• La derivada generalizada del cálculo de escalas de tiempo que unifica el operador de diferencias finitas hacia adelante con la derivada del cálculo estándar es un operador delta.
• En informática y cibernética , el término "operador delta de tiempo discreto" ( δ ) generalmente se refiere a un operador de diferencia.

${\displaystyle {(\delta f)(x)={{f(x+\Delta t)-f(x)} \over {\Delta t}}},}$

la aproximación de Euler de la derivada usual con un tiempo de muestreo discreto${\displaystyle \Delta t}$La formulación delta obtiene un número significativo de ventajas numéricas en comparación con el operador de desplazamiento en muestreos rápidos.

Cada operador delta${\displaystyle Q}$posee una secuencia única de "polinomios básicos", una secuencia de polinomios definida por tres condiciones:

• ${\displaystyle p_{0}(x)=1;}$
• ${\displaystyle p_{n}(0)=0;}$
• ${\displaystyle (Qp_{n})(x)=np_{n-1}(x){\text{ para todo }}n\in \mathbb {N} .}$

Dicha sucesión de polinomios básicos es siempre de tipo binomial , y se puede demostrar que no existen otras sucesiones de tipo binomial. Si se omiten las dos primeras condiciones anteriores, la tercera condición indica que esta sucesión de polinomios es una sucesión de Sheffer , un concepto más general.

• Derivado de Pincherle
• Operador de turno
• Cálculo umbral

• Nikol'Skii, Nikolai Kapitonovich (1986), Tratado sobre el operador de desplazamiento: teoría de la función espectral , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-15021-5

• Weisstein, Eric W. "Operador Delta" . MundoMatemático .