Polinomios de Touchard

Los polinomios de Touchard , estudiados por Jacques Touchard  (1939), también llamados polinomios exponenciales o polinomios de Bell , comprenden una secuencia polinómica de tipo binomial definida por

${\displaystyle T_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}S(n,k)x^{k}=\sum _{k=0}^{n}\left\{{n \atop k}\right\}x^{k},}$

donde es un número de Stirling de segundo tipo , es decir, el número de particiones de un conjunto de tamaño n en k subconjuntos disjuntos no vacíos. ^{[1] [2] [3] [4]}${\displaystyle S(n,k)=\left\{{n \encima de k}\right\}}$

Los primeros polinomios de Touchard son

$Estilo de visualización T_{1}(x)=x,$

$Estilo de visualización T_{2}(x)=x^{2}+x,}$

$Estilo de visualización T_{3}(x)=x^{3}+3x^{2}+x,}$

$Estilo de visualización T_{4}(x)=x^{4}+6x^{3}+7x^{2}+x,}$

${\displaystyle T_{5}(x)=x^{5}+10x^{4}+25x^{3}+15x^{2}+x.}$

El valor en 1 del n -ésimo polinomio de Touchard es el n -ésimo número de Bell , es decir, el número de particiones de un conjunto de tamaño n :

${\displaystyle T_{n}(1)=B_{n}.}$

Si X es una variable aleatoria con una distribución de Poisson con valor esperado λ, entonces su momento n es E( X ⁿ ) = T _n (λ), lo que lleva a la definición:

${\displaystyle T_{n}(x)=e^{-x}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}k^{n}}{k!}}.}$

Utilizando este hecho se puede demostrar rápidamente que esta secuencia polinomial es de tipo binomial , es decir, satisface la secuencia de identidades:

${\displaystyle T_{n}(\lambda +\mu )=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}T_{k}(\lambda )T_{nk}(\mu ).}$

Los polinomios de Touchard constituyen la única secuencia polinómica de tipo binomial con el coeficiente de x igual a 1 en cada polinomio.

Los polinomios de Touchard satisfacen la fórmula tipo Rodrigues:

${\displaystyle T_{n}(e^{x}\right)=e^{-e^{x}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\;e^{e^{x}}.}$

Los polinomios de Touchard satisfacen la relación de recurrencia

${\displaystyle T_{n+1}(x)=x\left(1+{\frac {d}{dx}}\right)T_{n}(x)}$

y

${\displaystyle T_{n+1}(x)=x\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}T_{k}(x).}$

En el caso de x = 1, esto se reduce a la fórmula de recurrencia para los números de Bell .

Una generalización tanto de esta fórmula como de la definición es una generalización de la fórmula de Spivey ^[5]

$${\displaystyle T_{n+m}(x)=\sum _{k=0}^{n}\left\{{n \atop k}\right\}x^{k}\sum _{j=0}^{m}{\binom {m}{j}}k^{mj}T_{j}(x)}$$

Usando la notación umbral T ⁿ ( x )= T _n ( x ), estas fórmulas se convierten en:

${\displaystyle T_{n}(\lambda +\mu )=\left(T(\lambda )+T(\mu )\right)^{n},}$^{[ aclaración necesaria ]}

${\displaystyle T_{n+1}(x)=x\left(1+T(x)\right)^{n}.}$

La función generadora de los polinomios de Touchard es

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{T_{n}(x) \sobre n!}t^{n}=e^{x\left(e^{t}-1\right)},}$

que corresponde a la función generadora de números de Stirling de segundo tipo .

Los polinomios de Touchard tienen representación integral de contorno :

${\displaystyle T_{n}(x)={\frac {n!}{2\pi i}}\oint {\frac {e^{x({e^{t}}-1)}}{t^{n+1}}}\,dt.}$

Todos los ceros de los polinomios de Touchard son reales y negativos. Este hecho fue observado por L. H. Harper en 1967. ^[6]

El valor absoluto del cero más a la izquierda está acotado desde arriba por ^[7]

${\displaystyle {\frac {1}{n}}{\binom {n}{2}}+{\frac {n-1}{n}}{\sqrt {{\binom {n}{2}}^{2}-{\frac {2n}{n-1}}\left({\binom {n}{3}}+3{\binom {n}{4}}\right)}},}$

Aunque se conjetura que el cero más a la izquierda crece linealmente con el índice n .

La medida de Mahler de los polinomios de Touchard se puede estimar de la siguiente manera: ^[8]${\displaystyle M(T_{n})}$

${\displaystyle {\frac {\lbrace \textstyle {n \encima \Omega _{n}}\rbrace }{\binom {n}{\Omega _{n}}}}\leq M(T_{n})\leq {\sqrt {n+1}}\left\{{n \encima K_{n}}\right\},}$

donde y son los más pequeños de los dos índices k máximos tales que y son máximos, respectivamente. ${\displaystyle \Omega_{n}}$$Estilo de visualización K_{n}$${\displaystyle \lbrace \textstyle {n \atop k}\rbrace /{\binom {n}{k}}}$${\displaystyle \lbrace \textstyle {n \atop k}\rbrace }$

• El polinomio de Bell completo puede verse como una generalización multivariada del polinomio de Touchard , ya que${\displaystyle B_{n}(x_{1},x_{2},\puntos ,x_{n})}$$Estilo de visualización T_{n}(x)}$${\displaystyle T_{n}(x)=B_{n}(x,x,\puntos ,x).}$
• Los polinomios de Touchard (y por tanto los números de Bell ) se pueden generalizar, utilizando la parte real de la integral anterior, al orden no entero:

  ${\displaystyle T_{n}(x)={\frac {n!}{\pi }}\int _{0}^{\pi }e^{x{\bigl (}e^{\cos(\theta )}\cos(\sin(\theta ))-1{\bigr )}}\cos {\bigl (}xe^{\cos(\theta )}\sin(\sin(\theta ))-n\theta {\bigr )}\,d\theta \,.}$

• Polinomios de Bell

• Touchard, Jacques (1939), "Sur les Cycles des substitutions", Acta Mathematica , 70 (1): 243–297, doi : 10.1007/BF02547349 , ISSN  0001-5962, SEÑOR  1555449