Polinomios de Abel

Los polinomios de Abel son una secuencia de polinomios que reciben su nombre de Niels Henrik Abel y se definen mediante la siguiente ecuación:

${\displaystyle p_{n}(x)=x(x-an)^{n-1}}$

Aparecen, por ejemplo, en la enumeración de árboles (específicamente, bosques con raíces y etiquetas), así como en relación con la probabilidad geométrica (la colocación aleatoria de arcos que no se superponen en un círculo). Esta secuencia polinómica es de tipo binomial ; a la inversa, toda secuencia polinómica de tipo binomial puede obtenerse a partir de la secuencia de Abel mediante el cálculo umbral .

Para a = 1 , los polinomios son (secuencia A137452 en el OEIS )

${\displaystyle p_{0}(x)=1;}$

${\displaystyle p_{1}(x)=x;}$

${\displaystyle p_{2}(x)=-2x+x^{2};}$

${\displaystyle p_{3}(x)=9x-6x^{2}+x^{3};}$

${\displaystyle p_{4}(x)=-64x+48x^{2}-12x^{3}+x^{4};}$

Para a = 2 , los polinomios son

${\displaystyle p_{0}(x)=1;}$

${\displaystyle p_{1}(x)=x;}$

${\displaystyle p_{2}(x)=-4x+x^{2};}$

${\displaystyle p_{3}(x)=36x-12x^{2}+x^{3};}$

${\displaystyle p_{4}(x)=-512x+192x^{2}-24x^{3}+x^{4};}$

${\displaystyle p_{5}(x)=10000x-4000x^{2}+600x^{3}-40x^{4}+x^{5};}$

${\displaystyle p_{6}(x)=-248832x+103680x^{2}-17280x^{3}+1440x^{4}-60x^{5}+x^{6};}$

• Rota, Gian-Carlo ; Shen, Jianhong; Taylor, Brian D. (1997). "Todos los polinomios de tipo binomial están representados por polinomios de Abel" . Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa - Classe di Scienze . Serie 4. 25 ( 3– 4): 731– 738. SEÑOR 1655539 . Zbl 1003.05011 .  
• Roman, S. (2013). El cálculo umbral . Dover Publications . pág.  208. ISBN 9780486153421.

• Weisstein, Eric W. "Polinomio de Abel" . MundoMatemático .