Elemento inverso

En matemáticas , el concepto de elemento inverso generaliza los conceptos de opuesto ( $- x$ ) y recíproco ( $1/ x$ ) de los números.

Dada una operación denotada aquí $*$ y un elemento identidad denotado $e$ , si $x * y = e$ , se dice que $x$ es el inverso izquierdo de $y$ , y que $y$ es el inverso derecho de $x$ . (Un elemento identidad es un elemento tal que $x * e = x$ y $e * y = y$ para todo $x$ $e$ y para los cuales los miembros izquierdos están definidos. ^{[ 1 ]} )

Cuando la operación $*$ es asociativa , si un elemento $x$ tiene un inverso izquierdo y un inverso derecho, entonces estos dos inversos son iguales y únicos; se les llama elemento inverso o simplemente inverso . A menudo se añade un adjetivo para especificar la operación, como en inverso aditivo , inverso multiplicativo e inverso funcional . En este caso (operación asociativa), un elemento invertible es un elemento que tiene un inverso. En un anillo , un elemento invertible , también llamado unidad , es un elemento que es invertible bajo la multiplicación (esto no es ambiguo, ya que todo elemento es invertible bajo la suma).

Las inversas se utilizan comúnmente en grupos —donde cada elemento es invertible— y en anillos —donde los elementos invertibles también se denominan unidades— . También se utilizan comúnmente para operaciones que no están definidas para todos los operandos posibles, como matrices inversas y funciones inversas . Esto se ha generalizado a la teoría de categorías , donde, por definición, un isomorfismo es un morfismo invertible .

La palabra 'inverso' deriva del latín : inversus que significa 'volteado', 'invertido'. Esto puede tener su origen en el caso de las fracciones , donde el inverso (multiplicativo) se obtiene intercambiando el numerador y el denominador (el inverso de ${\tfrac {x}{y}}$ es ${\tfrac {y}{x}}$ ).

Definiciones y propiedades básicas

Los conceptos de elemento inverso y elemento invertible se definen comúnmente para operaciones binarias definidas en todo el dominio (es decir, la operación está definida para cualquier par de elementos de su dominio ). Sin embargo, estos conceptos también se utilizan comúnmente con operaciones parciales , es decir, operaciones que no están definidas en todo el dominio. Ejemplos comunes son la multiplicación de matrices , la composición de funciones y la composición de morfismos en una categoría . Por consiguiente, las definiciones comunes de asociatividad y elemento identidad deben extenderse a las operaciones parciales; este es el objetivo de las primeras subsecciones.

En esta sección, $X$ es un conjunto (posiblemente una clase propia ) sobre el cual se define una operación parcial (posiblemente total), que se denota con $*.$

Asociatividad

Una operación parcial es asociativa si

x*(y*z)=(x*y)*z

para cada $x, y, z$ en $X$ para el cual uno de los miembros de la igualdad está definido; la igualdad significa que el otro miembro de la igualdad también debe estar definido.

Ejemplos de operaciones asociativas no totales son la multiplicación de matrices de tamaño arbitrario y la composición de funciones .

Elementos de identidad

Dejar $*$ sea una operación asociativa posiblemente parcial en un conjunto $X.$

Un elemento identidad , o simplemente una identidad, es un elemento $e$ tal que

x*e=x\quad {\text{y}}\quad e*y=y

para cada $x$ $e$ y para los cuales se definen los lados izquierdos de las igualdades.

Si $e$ y $f$ son dos elementos identidad tales que $e*f$ se define, entonces $e=f.$ (Esto resulta inmediatamente de la definición, por $e=e*f=f.$ )

De ello se deduce que una operación total tiene como máximo un elemento neutro, y si $e$ y $f$ son elementos neutros diferentes, entonces $e*f$ no está definido.

Por ejemplo, en el caso de la multiplicación de matrices , existe una matriz identidad $de n \times n$ para cada entero positivo $n$ , y dos matrices identidad de diferente tamaño no se pueden multiplicar entre sí.

De manera similar, las funciones identidad son elementos identidad para la composición de funciones , y la composición de las funciones identidad de dos conjuntos diferentes no está definida.

Inversos izquierdo y derecho

Si $x*y=e,$ donde $e$ es un elemento neutro, se dice que $x$ es el inverso izquierdo de $y$ , e $y$ es el inverso derecho de $x$ .

No siempre existen inversos por la izquierda y por la derecha, incluso cuando la operación es total y asociativa. Por ejemplo, la suma es una operación asociativa total sobre enteros no negativos , cuyo elemento neutro es $el 0$ , y $el 0$ es el único elemento que tiene un inverso aditivo . Esta falta de inversos es la principal motivación para extender los números naturales a los enteros.

Un elemento puede tener varios inversos por la izquierda y varios inversos por la derecha, incluso cuando la operación es total y asociativa. Por ejemplo, consideremos las funciones de los enteros a los enteros. La función de duplicación $x\mapsto 2x$ tiene infinitas inversas izquierdas bajo la composición de funciones , que son las funciones que dividen por dos los números pares y dan cualquier valor a los números impares. De manera similar, toda función que mapea $n$ a cualquiera de los dos $2n$ o $2n+1$ es la inversa derecha de la función ${\textstyle n\mapsto \left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor ,}$ la función piso que mapea $n$ a ${\textstyle {\frac {n}{2}}}$ o ${\textstyle {\frac {n-1}{2}},}$ dependiendo de si $n$ es par o impar.

En términos más generales, una función tiene una inversa izquierda para la composición de funciones si y solo si es inyectiva , y tiene una inversa derecha si y solo si es sobreyectiva .

En teoría de categorías , las inversas derechas también se denominan secciones , y las inversas izquierdas se denominan retracciones .

Inversos

Un elemento es invertible bajo una operación si tiene un inverso por la izquierda y un inverso por la derecha.

En el caso común donde la operación es asociativa, el inverso izquierdo y el inverso derecho de un elemento son iguales y únicos. De hecho, si $l$ y $r$ son respectivamente un inverso izquierdo y un inverso derecho de $x$ , entonces

l=l*(x*r)=(l*x)*r=r.

El inverso de un elemento invertible es su único inverso izquierdo o derecho.

Si la operación se denota como una suma, el inverso, o inverso aditivo , de un elemento $x$ se denota $-x.$ De lo contrario, el inverso de $x$ se denota generalmente $x^{-1},$ o, en el caso de una multiplicación conmutativa ${\textstyle {\frac {1}{x}}.}$ Cuando puede haber confusión entre varias operaciones, el símbolo de la operación puede agregarse antes del exponente, como en $x^{*-1}.$ La notación $f^{\circ -1}$ no se usa comúnmente para la composición de funciones , ya que ${\textstyle {\frac {1}{f}}}$ puede utilizarse para el inverso multiplicativo .

Si $x$ e $y$ son invertibles, y $x*y$ se define, entonces $x*y$ es invertible y su inversa es $y^{-1}x^{-1}.$

Un homomorfismo invertible se llama isomorfismo . En teoría de categorías , un morfismo invertible también se llama isomorfismo .

En grupos

Un grupo es un conjunto con una operación asociativa que tiene un elemento neutro y para el cual cada elemento tiene un inverso.

Así, la inversa es una función del grupo sobre sí mismo que también puede considerarse una operación de aridad uno. Es, además, una involución , puesto que la inversa de la inversa de un elemento es el elemento mismo.

Un grupo puede actuar sobre un conjunto como transformaciones de este conjunto. En este caso, la inversa $g^{-1}$ de un elemento de grupo $g$ define una transformación que es la inversa de la transformación definida por $g,$ es decir, la transformación que "deshace" la transformación definida por $g.$

Por ejemplo, el grupo del cubo de Rubik representa secuencias finitas de movimientos elementales. La inversa de dicha secuencia se obtiene aplicando la inversa de cada movimiento en orden inverso.

En monoides

Un monoide es un conjunto con una operación asociativa que tiene un elemento neutro .

Los elementos invertibles de un monoide forman un grupo bajo la operación de monoide.

Un anillo es un monoide para la multiplicación de anillos. En este caso, los elementos invertibles también se denominan unidades y forman el grupo de unidades del anillo.

Si un monoide no es conmutativo , pueden existir elementos no invertibles que tengan un inverso por la izquierda o un inverso por la derecha (no ambos, ya que, de lo contrario, el elemento sería invertible).

Por ejemplo, el conjunto de funciones de un conjunto a sí mismo es un monoide bajo la composición de funciones . En este monoide, los elementos invertibles son las funciones biyectivas ; los elementos que tienen inversos izquierdos son las funciones inyectivas , y aquellos que tienen inversos derechos son las funciones sobreyectivas .

Dado un monoide, se puede querer extenderlo agregando inversos a algunos elementos. Esto generalmente es imposible para monoides no conmutativos, pero, en un monoide conmutativo, es posible agregar inversos a los elementos que tienen la propiedad de cancelación (un elemento $x$ tiene la propiedad de cancelación si $xy=xz$ implica $y=z,$ y $yx=zx$ implica $y=z$ Esta extensión de un monoide es posible gracias a la construcción de grupos de Grothendieck . Este es el método que se usa comúnmente para construir números enteros a partir de números naturales , números racionales a partir de enteros y, más generalmente, el cuerpo de fracciones de un dominio de integridad y localizaciones de anillos conmutativos .

En anillos

Un anillo es una estructura algebraica con dos operaciones, suma y multiplicación , que se denotan como las operaciones habituales con números.

En la suma, un anillo es un grupo abeliano , lo que significa que la suma es conmutativa y asociativa ; tiene un elemento neutro, llamado elemento neutro aditivo , que se denota como $0$ ; y cada elemento $x$ tiene un inverso, llamado su inverso aditivo , que se denota como $-x . Debido a la conmutatividad, los conceptos de inversos izquierdo y derecho carecen de sentido,$ ya que no se diferencian de los inversos.

Bajo la multiplicación, un anillo es un monoide ; esto significa que la multiplicación es asociativa y tiene una identidad llamada identidad multiplicativa y denotada $1.$ Un elemento invertible para la multiplicación se llama unidad . El inverso o inverso multiplicativo (para evitar confusiones con los inversos aditivos) de una unidad $x$ se denota $x^{-1},$ o, cuando la multiplicación es conmutativa, ${\textstyle {\frac {1}{x}}.}$

La identidad aditiva $0$ nunca es una unidad, excepto cuando el anillo es el anillo cero , que tiene $a 0$ como su único elemento.

Si $el 0$ es el único elemento distinto de la unidad, el anillo es un cuerpo si la multiplicación es conmutativa, o un anillo de división en caso contrario.

En un anillo no conmutativo (es decir, un anillo cuya multiplicación no es conmutativa), un elemento no invertible puede tener uno o varios inversos por la izquierda o por la derecha. Este es, por ejemplo, el caso de las funciones lineales de un espacio vectorial de dimensión infinita en sí mismo.

Un anillo conmutativo (es decir, un anillo cuya multiplicación es conmutativa) puede extenderse añadiendo inversos a elementos que no sean divisores de cero (es decir, cuyo producto con un elemento distinto de cero no puede ser $cero$ ). Este es el proceso de localización , que produce, en particular, el cuerpo de los números racionales a partir del anillo de los enteros y, de forma más general, el cuerpo de las fracciones de un dominio de integridad . La localización también se utiliza con divisores de cero, pero, en este caso, el anillo original no es un subanillo de la localización; en su lugar, se mapea de forma no inyectiva a la localización.

Matrices

La multiplicación de matrices se define comúnmente para matrices sobre un cuerpo y se extiende fácilmente a matrices sobre anillos , rngs y semianillos . Sin embargo, en esta sección, solo se consideran matrices sobre un anillo conmutativo , debido al uso del concepto de rango y determinante .

Si $A$ es una matriz $m \times n$ (es decir, una matriz con $m$ filas y $n$ columnas) y $B$ es una matriz $p \times q$ , el producto $AB$ se define si $n = p$ , y solo en este caso. Una matriz identidad , es decir, un elemento identidad para la multiplicación de matrices, es una matriz cuadrada (mismo número de filas y columnas) cuyos elementos de la diagonal principal son todos iguales a $1$ , y todos los demás elementos son $0$ .

Una matriz invertible es un elemento invertible bajo la multiplicación de matrices. Una matriz sobre un anillo conmutativo $R$ es invertible si y solo si su determinante es una unidad en $R$ (es decir, es invertible en $R)$ . En este caso, su matriz inversa se puede calcular con la regla de Cramer .

Si $R$ es un cuerpo, el determinante es invertible si y solo si no es cero. Dado que el caso de los cuerpos es más común, a menudo se ven matrices invertibles definidas como matrices con determinante distinto de cero, pero esto es incorrecto en el caso de los anillos.

En el caso de matrices enteras (es decir, matrices con entradas enteras), una matriz invertible es aquella cuya inversa también es una matriz entera. Dicha matriz se denomina unimodular para distinguirla de las matrices invertibles sobre los números reales . Una matriz cuadrada entera es unimodular si y solo si su determinante es $1$ o $-1$ , ya que estos dos números son las únicas unidades en el anillo de los enteros.

Una matriz tiene una inversa izquierda si y solo si su rango es igual al número de columnas. Esta inversa izquierda no es única, excepto en el caso de matrices cuadradas, donde la inversa izquierda es igual a la matriz inversa. De manera similar, existe una inversa derecha si y solo si el rango es igual al número de filas; no es única en el caso de una matriz rectangular y es igual a la matriz inversa en el caso de una matriz cuadrada.

Funciones, homomorfismos y morfismos

La composición es una operación parcial que se generaliza a homomorfismos de estructuras algebraicas y morfismos de categorías en operaciones que también se denominan composición y comparten muchas propiedades con la composición de funciones.

En todos los casos, la composición es asociativa .

Si $f\colon X\to Y$ y $g\colon Y'\to Z,$ la composición $g\circ f$ se define si y solo si $Y'=Y$ o, en los casos de función y homomorfismo, $Y\subset Y'.$ En los casos de función y homomorfismo, esto significa que el codominio de $f$ es igual o está incluido en el dominio de $g$ . En el caso del morfismo, esto significa que el codominio de $f$ es igual al dominio de $g$ .

Hay una identidad $\operatorname {id} _{X}\colon X\to X$ para cada objeto $X$ ( conjunto , estructura algebraica u objeto ), que también se denomina función identidad en el caso de las funciones.

Una función es invertible si y solo si es una biyección . Un homomorfismo o morfismo invertible se denomina isomorfismo . Un homomorfismo de estructuras algebraicas es un isomorfismo si y solo si es una biyección. La inversa de una biyección se denomina función inversa . En los demás casos, se habla de isomorfismos inversos .

Una función tiene una inversa izquierda o una inversa derecha si y solo si es inyectiva o sobreyectiva , respectivamente. Un homomorfismo de estructuras algebraicas que tiene una inversa izquierda o una inversa derecha es, respectivamente, inyectiva o sobreyectiva, pero lo contrario no se cumple en algunas estructuras algebraicas. Por ejemplo, lo contrario se cumple para espacios vectoriales , pero no para módulos sobre un anillo: un homomorfismo de módulos que tiene una inversa izquierda o una inversa derecha se denomina, respectivamente, epimorfismo escindido o monomorfismo escindido . Esta terminología también se utiliza para morfismos en cualquier categoría.

Generalizaciones

En un magma unitario

Dejar $S$ ser un magma unitario , es decir, un conjunto con una operación binaria $*$ y un elemento de identidad $e\in S$ . Si, por $a,b\in S$ , tenemos $a*b=e$ , entonces $a$ se llama una inversa izquierda de $b$ y $b$ se llama inversa derecha de $a$ . Si un elemento $x$ es tanto una inversa izquierda como una inversa derecha de $y$ , entonces $x$ se denomina inversa bilateral , o simplemente inversa , de $y$ . Un elemento con un inverso bilateral en $S$ se llama invertible en $S$ . Un elemento que tiene un elemento inverso solo en un lado es invertible por la izquierda o invertible por la derecha .

Elementos de un magma unitario $(S,*)$ puede tener múltiples inversas izquierdas, derechas o bilaterales. Por ejemplo, en el magma dado por la tabla de Cayley

Los elementos 2 y 3 tienen cada uno dos inversos bilaterales.

Un magma unitario en el que todos los elementos son invertibles no tiene por qué ser un bucle . Por ejemplo, en el magma $(S,*)$ dado por la tabla de Cayley

cada elemento tiene un inverso bilateral único (a saber, él mismo), pero $(S,*)$ no es un bucle porque la tabla de Cayley no es un cuadrado latino .

De manera similar, un bucle no necesita tener inversos bilaterales. Por ejemplo, en el bucle dado por la tabla de Cayley

El único elemento con un inverso bilateral es el elemento identidad 1.

Si la operación $*$ Si un elemento es asociativo y tiene tanto un inverso izquierdo como un inverso derecho, son iguales. En otras palabras, en un monoide (un magma unitario asociativo), cada elemento tiene como máximo un inverso (como se define en esta sección). En un monoide, el conjunto de elementos invertibles es un grupo , llamado grupo de unidades de $S$ y denotado por $U(S)$ o H ₁ .

En un semigrupo

La definición de la sección anterior generaliza la noción de inverso en un grupo en relación con la noción de identidad. También es posible, aunque menos obvio, generalizar la noción de inverso eliminando el elemento de identidad pero manteniendo la asociatividad; es decir, en un semigrupo .

En un semigrupo S, un elemento x se llama regular (de von Neumann) si existe algún elemento z en S tal que xzx = x ; z a veces se llama pseudoinverso . Un elemento y se llama (simplemente) inverso de x si xyx = x e y = yxy . Todo elemento regular tiene al menos un inverso: si x = xzx, entonces es fácil verificar que y = zxz es un inverso de x según se define en esta sección. Otro hecho fácil de probar: si y es un inverso de x , entonces e = xy y f = yx son idempotentes , es decir, ee = e y ff = f . Por lo tanto, todo par de elementos (mutuamente) inversos da lugar a dos idempotentes, y ex = xf = x , ye = fy = y , y e actúa como identidad izquierda en x , mientras que f actúa como identidad derecha, y los roles izquierda/derecha se invierten para y . Esta simple observación puede generalizarse utilizando las relaciones de Green : todo idempotente e en un semigrupo arbitrario es una identidad izquierda para R _e y una identidad derecha para L _e . ^{[ 2 ]} Una descripción intuitiva de este hecho es que todo par de elementos mutuamente inversos produce una identidad izquierda local y, respectivamente, una identidad derecha local.

En un monoide, la noción de inverso, tal como se define en la sección anterior, es estrictamente más restringida que la definición dada en esta sección. Solo los elementos de la clase de Green H ₁ tienen un inverso desde la perspectiva del magma unitario, mientras que para cualquier idempotente e , los elementos de H _e tienen un inverso según se define en esta sección. Bajo esta definición más general, los inversos no tienen por qué ser únicos (ni existir) en un semigrupo o monoide arbitrario. Si todos los elementos son regulares, entonces el semigrupo (o monoide) se llama regular, y cada elemento tiene al menos un inverso. Si cada elemento tiene exactamente un inverso según se define en esta sección, entonces el semigrupo se llama semigrupo inverso . Finalmente, un semigrupo inverso con un solo idempotente es un grupo. Un semigrupo inverso puede tener un elemento absorbente 0 porque 000 = 0, mientras que un grupo no puede.

Fuera de la teoría de semigrupos, una inversa única, tal como se define en esta sección, a veces se denomina cuasi-inversa . Esto se justifica generalmente porque en la mayoría de las aplicaciones (por ejemplo, todos los ejemplos de este artículo) se cumple la asociatividad, lo que convierte esta noción en una generalización de la inversa izquierda/derecha con respecto a una identidad (véase Inversa generalizada ).

Semigrupos U

Una generalización natural del semigrupo inverso consiste en definir una operación unaria (arbitraria) $°$ tal que $(a$ ° $)° =$ $a$ para todo $a$ en $S$ ; esto dota $a S$ de un álgebra de tipo ⟨2,1⟩ . Un semigrupo dotado de dicha operación se denomina U -semigrupo . Aunque pueda parecer que $a$ $°$ será el inverso de $a$ , esto no es necesariamente así. Para obtener nociones interesantes, la operación unaria debe interactuar de alguna manera con la operación de semigrupo. Se han estudiado dos clases de U -semigrupos: ^[³^]

I -semigrupos , en los que el axioma de interacción es $aa ° a = a$
*-semigrupos , en los que el axioma de interacción es $(ab)° = b ° a °$ . Dicha operación se suele denotar por $a *.$

Claramente, un grupo es a la vez un I- semigrupo y un *-semigrupo. Una clase de semigrupos importantes en la teoría de semigrupos son los semigrupos completamente regulares ; estos son I -semigrupos en los que además se tiene $aa ° = a ° a$ ; en otras palabras, cada elemento tiene un pseudoinverso conmutativo $a °$ . Sin embargo, hay pocos ejemplos concretos de tales semigrupos; la mayoría son semigrupos completamente simples . En contraste, una subclase de *-semigrupos, los *-semigrupos regulares (en el sentido de Drazin), producen uno de los ejemplos más conocidos de un pseudoinverso (único), el inverso de Moore-Penrose . En este caso, sin embargo, la involución $a *$ no es el pseudoinverso. Más bien, el pseudoinverso de $x$ es el único elemento $y$ tal que $xyx = x$ , $yxy = y$ , $(xy)* = xy$ , $(yx)* = yx$ . Dado que los semigrupos *-regulares generalizan los semigrupos inversos, el elemento único definido de esta manera en un semigrupo *-regular se denomina inverso generalizado o inverso de Moore-Penrose .

Semianillos

Ejemplos

Todos los ejemplos de esta sección involucran operadores asociativos.

Conexiones de Galois

En una conexión de Galois (monótona), los adjuntos inferior y superior , L y G, son cuasi-inversos entre sí; es decir, LGL = L y GLG = G , y uno determina unívocamente al otro. Sin embargo, no son inversos por la izquierda ni por la derecha.

Inversas generalizadas de matrices

Una matriz cuadrada $M$ con entradas en un campo $K$ es invertible (en el conjunto de todas las matrices cuadradas del mismo tamaño, bajo la multiplicación de matrices ) si y solo si su determinante es distinto de cero. Si el determinante de $M$ Si es cero, es imposible que tenga una inversa unilateral; por lo tanto, una inversa izquierda o derecha implica la existencia de la otra. Consulte la sección sobre matrices invertibles para obtener más información.

De forma más general, una matriz cuadrada sobre un anillo conmutativo $R$ es invertible si y solo si su determinante es invertible en $R$ .

Las matrices no cuadradas de rango completo tienen varias inversas unilaterales: ^{[ 4 ]}

Para $A:m\times n\mid m>n$ Hemos dejado inversos; por ejemplo, $\underbrace {\left(A^{\text{T}}A\right)^{-1}A^{\text{T}}} _{A_{\text{left}}^{-1}}A=I_{n}$
Para $A:m\times n\mid m<n$ tenemos inversas derechas; por ejemplo, $A\underbrace {A^{\text{T}}\left(AA^{\text{T}}\right)^{-1}} _{A_{\text{right}}^{-1}}=I_{m}$

La inversa izquierda se puede utilizar para determinar la solución de norma mínima de $Ax=b$ , que también es la fórmula de mínimos cuadrados para la regresión y viene dada por $x=\left(A^{\text{T}}A\right)^{-1}A^{\text{T}}b.$

Ninguna matriz con rango deficiente tiene inversa (ni siquiera unilateral). Sin embargo, la inversa de Moore-Penrose existe para todas las matrices y coincide con la inversa izquierda o derecha (o verdadera) cuando existe.

Como ejemplo de matrices inversas, consideremos lo siguiente:

A:2\times 3={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}}

Entonces, como m < n , tenemos una inversa derecha, $A_{\text{right}}^{-1}=A^{\text{T}}\left(AA^{\text{T}}\right)^{-1}.$ Por componentes se calcula como

{\begin{aligned}AA^{\text{T}}&={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}14&32\\32&77\end{bmatrix}}\\[3pt]\left(AA^{\text{T}}\right)^{-1}&={\begin{bmatrix}14&32\\32&77\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{54}}{\begin{bmatrix}77&-32\\-32&14\end{bmatrix}}\\[3pt]A^{\text{T}}\left(AA^{\text{T}}\right)^{-1}&={\frac {1}{54}}{\begin{bmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}77&-32\\-32&14\end{bmatrix}}={\frac {1}{18}}{\begin{bmatrix}-17&8\\-2&2\\13&-4\end{bmatrix}}=A_{\text{right}}^{-1}\end{aligned}}

La inversa izquierda no existe, porque

A^{\text{T}}A={\begin{bmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}17&22&27\\22&29&36\\27&36&45\end{bmatrix}}

que es una matriz singular y no se puede invertir.

Véase también

Notas

↑ La definición habitual de un elemento identidad se ha generalizado para incluir las funciones identidad como elementos identidad para la composición de funciones y las matrices identidad como elementos identidad para la multiplicación de matrices .
↑ Howie, prop. 2.3.3, pág. 51
↑ Howie pág. 102
↑ "Clase número 33 del profesor Gilbert Strang del MIT sobre álgebra lineal: inversas izquierdas y derechas; pseudoinversas" .

Referencias

M. Kilp, U. Knauer, AV Mikhalev, Monoides, actos y categorías con aplicaciones a gráficos y productos de coronas , Exposiciones de De Gruyter en Matemáticas vol. 29, Walter de Gruyter, 2000, ISBN 3-11-015248-7, pág. 15 (definición en magma unitario) y pág. 33 (definición en semigrupo)
Howie, John M. (1995). Fundamentos de la teoría de semigrupos . Clarendon Press . ISBN 0-19-851194-9.contiene todo el material de semigrupos aquí presente, excepto los semigrupos *-regulares.
Drazin, MP, Semigrupos regulares con involución , Actas del Simposio sobre Semigrupos Regulares (DeKalb, 1979), 29–46
Miyuki Yamada, Sistemas P en semigrupos regulares , Semigroup Forum , 24(1), diciembre de 1982, págs. 173–187
Nordahl, TE y HE Scheiblich, Semigrupos regulares *, Foro de semigrupos , 16 (1978), 369–377.

[1] La definición habitual de un elemento identidad se ha generalizado para incluir las funciones identidad como elementos identidad para la composición de funciones y las matrices identidad como elementos identidad para la multiplicación de matrices .

[2] Howie, prop. 2.3.3, pág. 51

[3] Howie pág. 102

[4] "Clase número 33 del profesor Gilbert Strang del MIT sobre álgebra lineal: inversas izquierdas y derechas; pseudoinversas" .

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