Sección (teoría de categorías)

En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , una sección es la inversa derecha de algún morfismo . De manera dual , una retracción es la inversa izquierda de algún morfismo . En otras palabras, si${\displaystyle f:X\to Y}$y${\displaystyle g:Y\to X}$son morfismos cuya composición${\displaystyle f\circ g:Y\to Y}$es el morfismo identidad en${\displaystyle Y}$, entonces${\displaystyle g}$es una sección de${\displaystyle f}$, y${\displaystyle f}$es una retractación de${\displaystyle g}$. ^{[ 1 ]}

Cada sección es un monomorfismo (todo morfismo con un inverso izquierdo es cancelable por la izquierda ), y cada retracción es un epimorfismo (todo morfismo con un inverso derecho es cancelable por la derecha ).

Si existe una sección de${\displaystyle Y}$a${\displaystyle X}$, entonces decimos que${\displaystyle Y}$es una retractación de${\displaystyle X}$.

En álgebra , las secciones también se denominan monomorfismos divididos y las retracciones también se denominan epimorfismos divididos . En una categoría abeliana , si${\displaystyle f:X\to Y}$es un epimorfismo dividido con monomorfismo dividido${\displaystyle g:Y\to X}$, entonces${\displaystyle X}$es isomorfo a la suma directa de${\displaystyle Y}$y el núcleo de${\displaystyle f}$. El sinónimo coretracción para sección se ve a veces en la literatura, aunque rara vez en trabajos recientes.

• Una sección que también es un epimorfismo es un isomorfismo . De igual modo, una retracción que también es un monomorfismo es un isomorfismo.

El concepto de retracción en la teoría de categorías proviene de la noción esencialmente similar de retracción en topología :${\displaystyle f:X\to Y}$dónde${\displaystyle Y}$es un subespacio de${\displaystyle X}$es una retracción en el sentido topológico, si es una retracción del mapa de inclusión${\displaystyle i:Y\hookrightarrow X}$en el sentido de la teoría de categorías. El concepto en topología fue definido por Karol Borsuk en 1931. ^{[ 2 ]}

Samuel Eilenberg , alumno de Borsuk , fue junto con Saunders Mac Lane el fundador de la teoría de categorías, y (dado que las primeras publicaciones sobre teoría de categorías se referían a diversos espacios topológicos) cabría esperar que este término se hubiera utilizado inicialmente. De hecho, sus publicaciones anteriores, hasta, por ejemplo, Homología de Mac Lane (1963) , utilizaban el término inverso derecho. No fue hasta 1965, cuando Eilenberg y John Coleman Moore acuñaron el término dual «coretracción», que el término de Borsuk se extendió a la teoría de categorías en general. ^{[ 3 ]} El término coretracción dio paso al término sección a finales de la década de 1960.

En la categoría de conjuntos , todo monomorfismo ( función inyectiva ) con un dominio no vacío es una sección, y todo epimorfismo ( función sobreyectiva ) es una retracción; esta última afirmación es equivalente al axioma de elección .

En la categoría de espacios vectoriales sobre un cuerpo K , todo monomorfismo y todo epimorfismo se escinde; esto se deduce del hecho de que las aplicaciones lineales pueden definirse de forma única especificando sus valores sobre una base .

En la categoría de grupos abelianos , el epimorfismo Z → Z /2 Z que envía cada entero a su resto módulo 2 no se divide; de ​​hecho, el único morfismo Z /2 Z → Z es el mapa cero . De manera similar, el monomorfismo natural Z / 2 Z → Z /4 Z no se divide aunque existe un morfismo no trivial Z /4 Z → Z /2 Z.

El concepto categórico de sección es importante en el álgebra homológica y también está estrechamente relacionado con la noción de sección de un fibrado en topología : en este último caso, una sección de un fibrado es una sección de la proyección del fibrado.

Dado un espacio cociente${\displaystyle {\bar {X}}}$con mapa de cocientes${\displaystyle \pi \colon X\to {\bar {X}}}$, una sección de${\displaystyle \pi }$se llama transversal .

• Mac Lane, Saunders (1978). Categorías para el matemático en activo (2.ª  ed.). Springer Verlag .
• Barry, Mitchell (1965). Teoría de las categorías . Academic Press .

• Lema de división
• Función inversa §  Inversas izquierda y derecha
• Transversal (combinatoria)