Propiedad de cancelación

En matemáticas , la noción de cancelabilidad (o cancelabilidad ) es una generalización de la noción de invertibilidad que no depende de un elemento inverso.

Un elemento ${\displaystyle a}$ en un magma${\displaystyle (M,*)}$tiene la propiedad de cancelación izquierda (o es cancelable por la izquierda ) si para todo ${\displaystyle b}$ y ${\displaystyle c}$ en ${\displaystyle M}$,${\displaystyle a*b=a*c}$siempre implica que ${\displaystyle b=c}$.

Un elemento ${\displaystyle a}$ en un magma${\displaystyle (M,*)}$tiene la propiedad de cancelación derecha (o es cancelable por derecho ) si para todo ${\displaystyle b}$ y ${\displaystyle c}$ en ${\displaystyle M}$,${\displaystyle b*a=c*a}$siempre implica que ${\displaystyle b=c}$.

Un elemento ${\displaystyle a}$ en un magma${\displaystyle (M,*)}$tiene la propiedad de cancelación bilateral (o es cancelativo ) si es cancelativo tanto por la izquierda como por la derecha.

Un magma${\displaystyle (M,*)}$es cancelable por la izquierda si todo ${\displaystyle a}$ En el magma, las propiedades cancelativas por la izquierda se aplican, y se aplican definiciones similares para las propiedades cancelativas por la derecha o bilaterales.

En un semigrupo , un elemento invertible por la izquierda es cancelativo por la izquierda, y análogamente para los elementos invertibles por la derecha y bilaterales. Si${\displaystyle a^{-1}}$es la inversa izquierda de ${\displaystyle a}$, entonces${\displaystyle a*b=a*c}$implica${\displaystyle a^{-1}*(a*b)=a^{-1}*(a*c)}$, lo cual implica ${\displaystyle b=c}$ por asociatividad.

Por ejemplo, todo cuasigrupo , y por lo tanto todo grupo , es cancelativo.

Para decir que un elemento${\textstyle a}$en un magma${\displaystyle (M,*)}$es cancelativo por la izquierda, es decir que la función${\displaystyle g:x\mapsto a*x}$es inyectivo donde${\displaystyle x}$es también un elemento de${\displaystyle M}$. ^{[ 1 ]} Que la función ${\displaystyle g}$ es inyectivo implica que dada alguna igualdad de la forma${\displaystyle a*x=b}$donde lo único desconocido es ${\displaystyle x}$, solo hay un valor posible de ${\displaystyle x}$ que satisface la igualdad. Más precisamente, podemos definir alguna función. ${\displaystyle f}$, lo contrario de ${\displaystyle g}$, de tal manera que para todo ${\displaystyle x}$,${\displaystyle f(g(x))=f(a*x)=x}$Dicho de otra manera, para todos ${\displaystyle x}$ y en ​${\displaystyle M}$, si${\displaystyle a*x=a*y}$, entonces ${\displaystyle x=y}$. ^{[ 2 ]}

De manera similar, decir que el elemento ${\displaystyle a}$ es cancelativo por la derecha, es decir que la función${\displaystyle h:x\mapsto x*a}$es inyectivo y eso para todos ${\displaystyle x}$ y en ​${\displaystyle M}$, si${\displaystyle x*a=y*a}$, entonces ${\displaystyle x=y}$.

Los enteros positivos (igualmente no negativos) forman un semigrupo cancelativo bajo la suma. Los enteros no negativos forman un monoide cancelativo bajo la suma. Cada uno de estos es un ejemplo de un magma cancelativo que no es un cuasigrupo.

Cualquier semigrupo o monoide libre obedece la ley de cancelación y, en general, cualquier semigrupo o monoide que se incruste en un grupo (como lo hacen claramente los ejemplos anteriores) obedecerá la ley de cancelación.

En otro orden de cosas, (un subsemigrupo de) el semigrupo multiplicativo de elementos de un anillo que no son divisores de cero (que es simplemente el conjunto de todos los elementos distintos de cero si el anillo en cuestión es un dominio , como los números enteros) posee la propiedad de cancelación. Esto sigue siendo válido incluso si el anillo en cuestión no es conmutativo y/o no unitario.

Aunque la propiedad de cancelación se cumple para la suma y resta de números enteros , reales y complejos , no se cumple para la multiplicación debido a la excepción de la multiplicación por cero . La propiedad de cancelación no se cumple para ninguna estructura no trivial que tenga un elemento absorbente (como${\displaystyle 0}$).

Mientras que los números enteros y reales no son cancelables bajo la multiplicación, con la eliminación de${\displaystyle 0}$, cada uno de ellos forma una estructura cancelativa bajo la multiplicación.

• Grupo Grothendieck
• Elemento reversible
• semigrupo cancelativo
• Dominio integral