semigrupo cancelativo

En matemáticas , un semigrupo cancelativo (también llamado semigrupo de cancelación ) es un semigrupo que posee la propiedad de cancelación . ^{[ 1 ]} Intuitivamente, la propiedad de cancelación afirma que a partir de una igualdad de la forma a · b = a · c , donde · es una operación binaria , se puede cancelar el elemento a y deducir la igualdad b = c . En este caso, el elemento que se cancela aparece como los factores izquierdos de a · b y a · c , y por lo tanto es un caso de la propiedad de cancelación izquierda . La propiedad de cancelación derecha se puede definir de forma análoga. Ejemplos prototípicos de semigrupos cancelativos son los enteros positivos bajo la suma o la multiplicación . Los semigrupos cancelativos se consideran muy cercanos a ser grupos porque la cancelabilidad es una de las condiciones necesarias para que un semigrupo sea incrustable en un grupo. Además, todo semigrupo cancelativo finito es un grupo. Uno de los principales problemas asociados con el estudio de los semigrupos cancelativos es determinar las condiciones necesarias y suficientes para incrustar un semigrupo cancelativo en un grupo.

Los orígenes del estudio de los semigrupos cancelativos se remontan al primer artículo sustancial sobre semigrupos, ( Suschkewitsch 1928 ) . ^{[ 2 ]}

Sea S un semigrupo. Un elemento a en S es cancelativo por la izquierda (o es cancelable por la izquierda , o tiene la propiedad de cancelación por la izquierda ) si ab = ac implica b = c para todo b y c en S. Si cada elemento en S es cancelativo por la izquierda, entonces S se denomina semigrupo cancelativo por la izquierda .

Sea S un semigrupo. Un elemento a en S es cancelativo por la derecha (o es cancelable por la derecha , o tiene la propiedad de cancelación por la derecha ) si ba = ca implica b = c para todo b y c en S. Si cada elemento en S es cancelativo por la derecha, entonces S se denomina semigrupo cancelativo por la derecha .

Sea S un semigrupo. Si cada elemento de S es cancelativo por la izquierda y por la derecha, entonces S se llama semigrupo cancelativo .

Es posible reformular la propiedad característica de un elemento cancelativo en términos de una propiedad que poseen las multiplicaciones izquierdas correspondientes L _a  : S → S y derechas R _a  : S → S definidas por L _a ( b ) = ab y R _a ( b ) = ba : un elemento a en S es cancelativo por la izquierda si y solo si L _a es inyectivo , un elemento a es cancelativo por la derecha si y solo si R _a es inyectivo.

1. Cada grupo es un semigrupo cancelativo.
2. El conjunto de los enteros positivos bajo la suma es un semigrupo cancelativo.
3. El conjunto de enteros no negativos bajo la suma es un monoide cancelativo .
4. El conjunto de los enteros positivos bajo la multiplicación es un monoide cancelativo.
5. Un semigrupo cero izquierdo es cancelativo por la derecha pero no por la izquierda, a menos que sea trivial.
6. Un semigrupo cero derecho es cancelativo por la izquierda pero no por la derecha, a menos que sea trivial.
7. Un semigrupo nulo con más de un elemento no es ni cancelativo por la izquierda ni por la derecha. En dicho semigrupo no existe ningún elemento que sea cancelativo por la izquierda o por la derecha.
8. Sea S el semigrupo de matrices cuadradas reales de orden n bajo la multiplicación de matrices . Sea a un elemento cualquiera de S. Si a es no singular , entonces a es cancelativo por la izquierda y por la derecha. Si a es singular, entonces a no es cancelativo por la izquierda ni por la derecha.

Es un resultado elemental en teoría de grupos que un semigrupo cancelativo finito es un grupo. Sea S un semigrupo cancelativo finito.

1. La cancelatividad y la finitud, tomadas conjuntamente, implican que Sa = aS = S para todo a en S. Por lo tanto, dado un elemento a en S , existe un elemento e _a , que depende de a , en S tal que ae _a = a . La cancelatividad implica además que este e _a es independiente de a y que xe _a = e _a x = x para todo x en S. Así pues, e _a es el elemento identidad de S , que de ahora en adelante se puede denotar por e .
2. Utilizando la propiedad Sa = S, se observa que existe un elemento b en S tal que ba = e . Se puede recurrir a la cancelatividad para demostrar que ab = e también, estableciendo así que todo elemento a en S tiene un inverso en S. Por lo tanto, S debe ser necesariamente un grupo.

Además, cada epigrupo cancelativo es también un grupo. ^{[ 3 ]}

Un semigrupo conmutativo puede incrustarse en un grupo (es decir, es isomorfo a un subsemigrupo de un grupo) si y solo si es cancelativo. El procedimiento para lograr esto es similar al de incrustar un dominio de integridad en un cuerpo ( Clifford y Preston, 1961 , p. 34) ; se denomina construcción de grupo de Grothendieck y es la aplicación universal de un semigrupo conmutativo a grupos abelianos que constituye una incrustación si el semigrupo es cancelativo. 

Para la incrustación de semigrupos no conmutativos en grupos, la cancelatividad es obviamente una condición necesaria . Sin embargo, no es suficiente: hay semigrupos cancelativos (no conmutativos e infinitos) que no pueden incrustarse en un grupo. ^{[ 4 ]} Para obtener una condición suficiente (pero no necesaria), puede observarse que la demostración del resultado de que un semigrupo cancelativo finito S es un grupo dependía críticamente del hecho de que Sa = S para todo a en S. El artículo ( Dubreil 1941 ) generalizó esta idea e introdujo el concepto de un semigrupo reversible por la derecha . Se dice que un semigrupo S es reversible por la derecha si cualesquiera dos ideales principales de S se intersecan, es decir, Sa ∩ Sb ≠ Ø para todo a y b en S. La condición suficiente para la incrustación de semigrupos en grupos se puede enunciar ahora de la siguiente manera: ( Teorema de Ore ) Cualquier semigrupo cancelativo reversible derecho puede incrustarse en un grupo, ( Clifford y Preston 1961 , p. 35) . 

El primer conjunto de condiciones necesarias y suficientes para la incrustabilidad de un semigrupo en un grupo se dio en ( MaLCev 1939 ) . ^{[ 5 ]} Aunque teóricamente importantes, las condiciones son infinitamente numerables en número y ningún subconjunto finito será suficiente, como se muestra en ( MaLCev 1940 ) . ^{[ 6 ]} Un conjunto diferente (pero también infinitamente numerable) de condiciones necesarias y suficientes se dio en ( Lambek 1951 ) , donde se demostró que un semigrupo puede incrustarse en un grupo si y solo si es cancelativo y satisface una llamada "condición poliédrica". Los dos teoremas de incrustación de Malcev y Lambek se compararon en ( Bush 1963 ) y luego fueron revisados ​​y generalizados por ( Johnstone 2008 ) , quien también explicó la estrecha relación entre el problema de la incrustabilidad de semigrupos y el problema más general de incrustar una categoría en un grupoide .

• Propiedad de cancelación
• Clases especiales de semigrupos

• Bush, George C. (1963), "Los teoremas de incrustación de Malcev y Lambek", Canadian Journal of Mathematics , 15 : 49–58 , doi : 10.4153/CJM-1963-006-x
• Clifford, Alfred Hoblitzelle ; Preston, Gordon Bamford (1961), La teoría algebraica de los semigrupos. Vol. I , Mathematical Surveys, n.º 7, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-0272-4, MR 0132791 {{citation}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )
• Clifford, Alfred Hoblitzelle ; Preston, Gordon Bamford (1967), La teoría algebraica de los semigrupos. Vol. II , Mathematical Surveys, n.º 7, Providence, RI: American Mathematical Society , MR 0218472 
• Dubreil, Paul (1941), "Contribución a la teoría de los demi-groupes", Mém. Acad. Ciencia. Inst. Francia (2) , 63 (3): 52, MR 0016424 
• Johnstone, Peter (2008), "Sobre la incrustación de categorías en grupoides", Actas Matemáticas de la Sociedad Filosófica de Cambridge , 145 (2): 273– 294, doi : 10.1017/S0305004108001345
• Lambek, J. (1951), "La inmersibilidad de un semigrupo en un grupo", Canadian Journal of Mathematics , 3 : 34–43 , doi : 10.4153/CJM-1951-005-8
• Malcev, AI (1939), "Über die Einbettung von assoziativen Systemen in Gruppen", Rec. Matemáticas. (Mat. Sbornik) , Nouvelle Série, 6 : 331– 336, SEÑOR 0002152 
• Malcev, AI (1940), "Über die Einbettung von assoziativen Systemen in Gruppen. II", Rec. Matemáticas. (Mat. Sbornik) , Nouvelle Série, 8 : 251– 264, SEÑOR 0002895 
• Preston, Gordon Bamford (1991), "Reminiscencias personales de la historia temprana de los semigrupos" , Conferencia de Monash sobre la teoría de los semigrupos (Melbourne, 1990) , World Sci. Publ., River Edge, NJ, pp. 16–30 , MR 1232669 , archivado del original el 9 de enero de 2009 , recuperado el 12 de mayo de 2009.  
• Suschkewitsch, Anton (1928), "Über die endlichen Gruppen ohne das Gesetz der eindeutigen Umkehrbarkeit", Mathematische Annalen , 99 (1): 30– 50, doi : 10.1007/BF01459084 , hdl : 10338.dmlcz/100078 , ISSN 0025-5831 , SEÑOR 1512437