Epigrupo

En álgebra abstracta , un epigrupo es un semigrupo en el que cada elemento tiene una potencia que pertenece a un subgrupo . Formalmente, para todo x en un semigrupo S , existe un entero positivo n y un subgrupo G de S tal que x ⁿ pertenece a G.

Los epigrupos son conocidos por una amplia variedad de otros nombres, incluyendo semigrupo cuasiperiódico , semigrupo ligado a grupo , semigrupo completamente π-regular, semigrupo fuertemente π-regular ( sπr ^{[ 1 ]} ), ^{[ 2 ]} o simplemente semigrupo π-regular ^{[ 3 ]} (aunque este último es ambiguo).

En términos más generales, en un semigrupo arbitrario, un elemento se denomina ligado al grupo si tiene una potencia que pertenece a un subgrupo.

Los epigrupos tienen aplicaciones en la teoría de anillos . Muchas de sus propiedades se estudian en este contexto. ^{[ 4 ]}

Los epigrupos fueron estudiados por primera vez por Douglas Munn en 1961, quien los llamó pseudoinvertibles . ^{[ 5 ]}

Propiedades

Los epigrupos son una generalización de los semigrupos periódicos , ^{[ 6 ]} por lo tanto, todos los semigrupos finitos también son epigrupos.
La clase de epigrupos también contiene todos los semigrupos completamente regulares y todos los semigrupos completamente 0-simples . ^{[ 5 ]}
Todos los epigrupos son también semigrupos eventualmente regulares . ^{[ 7 ]} (también conocidos como semigrupos π-regulares)
Un epigrupo cancelativo es un grupo . ^{[ 8 ]}
Las relaciones D y J de Green coinciden para cualquier epigrupo. ^{[ 9 ]}
Si S es un epigrupo, cualquier subsemigrupo regular de S también es un epigrupo. ^[¹^]
En un epigrupo, el orden de Nambooripad (tal como lo extendió PR Jones) y el orden parcial natural (de Mitsch) coinciden. ^{[ 10 ]}

Ejemplos

El semigrupo de todas las matrices cuadradas de un tamaño dado sobre un anillo de división es un epigrupo. ^{[ 5 ]}
El semigrupo multiplicativo de todo anillo artiniano semisimple es un epigrupo. ^{[ 4 ]}^{: 5}
Cualquier semigrupo algebraico es un epigrupo.

Estructura

Por analogía con los semigrupos periódicos, un epigrupo S se particiona en clases dadas por sus idempotentes , que actúan como identidades para cada subgrupo. Para cada idempotente e de S , el conjunto: $K_{e}=\{x\in S\mid \exists n>0:x^{n}\in G_{e}\}$ se denomina clase de unipotencia (mientras que para los semigrupos periódicos el nombre habitual es clase de torsión). ^{[ 5 ]}

Los subsemigrupos de un epigrupo no necesariamente son epigrupos, pero si lo son, se denominan subepigrupos. Si un epigrupo S tiene una partición en subepigrupos unipotentes (es decir, cada uno contiene un único idempotente), entonces esta partición es única y sus componentes son precisamente las clases de unipotencia definidas anteriormente; dicho epigrupo se denomina unipotentemente particionable . Sin embargo, no todos los epigrupos poseen esta propiedad. Un contraejemplo sencillo es el semigrupo de Brandt con cinco elementos B₂ porque la clase de unipotencia de su elemento cero no es un subsemigrupo. B₂ es _{, de hecho}_, el epigrupo por excelencia que no es unipotentemente particionable. Un epigrupo es unipotentemente particionable si y solo si ^no contiene ningún subsemigrupo que sea una extensión ideal de un epigrupo unipotente por B₂ . ^[₅^]

Véase también

Clases especiales de semigrupos

Referencias

1 2 Lex E. Renner (2005). Monoides algebraicos lineales . Springer. págs. 27–28 . ISBN 978-3-540-24241-3.
↑ AV Kelarev, Aplicaciones de epigrupos a la teoría de anillos graduados , Semigroup Forum , Volumen 50, Número 1 (1995), 327–350 doi : 10.1007/BF02573530
↑ Eric Jespers; Jan Okninski (2007). Álgebras de semigrupos noetherianos . Springer. pág. 16. ISBN 978-1-4020-5809-7.
1 2 Andrei V. Kelarev (2002). Construcciones de anillos y aplicaciones . World Scientific. ISBN 978-981-02-4745-4.
1 2 3 4 5 Lev N. Shevrin (2002). «Epigrupos». En Aleksandr Vasilʹevich Mikhalev y Günter Pilz (eds.). Manual conciso de álgebra . Springer. págs. 23–26 . ISBN 978-0-7923-7072-7.
↑ Peter M. Higgins (1992). Técnicas de la teoría de semigrupos . Oxford University Press. pág. 4. ISBN 978-0-19-853577-5.
↑ Peter M. Higgins (1992). Técnicas de la teoría de semigrupos . Oxford University Press. pág. 50. ISBN 978-0-19-853577-5.
↑ Peter M. Higgins (1992). Técnicas de la teoría de semigrupos . Oxford University Press. pág. 12. ISBN 978-0-19-853577-5.
↑ Peter M. Higgins (1992). Técnicas de la teoría de semigrupos . Oxford University Press. pág. 28. ISBN 978-0-19-853577-5.
↑ Peter M. Higgins (1992). Técnicas de la teoría de semigrupos . Oxford University Press. pág. 48. ISBN 978-0-19-853577-5.

[Renner2005-1] 1 2 Lex E. Renner (2005). Monoides algebraicos lineales . Springer. págs. 27–28 . ISBN 978-3-540-24241-3.

[2] AV Kelarev, Aplicaciones de epigrupos a la teoría de anillos graduados , Semigroup Forum , Volumen 50, Número 1 (1995), 327–350 doi : 10.1007/BF02573530

[JespersOkninski2007-3] Eric Jespers; Jan Okninski (2007). Álgebras de semigrupos noetherianos . Springer. pág. 16. ISBN 978-1-4020-5809-7.

[Kelarev2002-4] 1 2 Andrei V. Kelarev (2002). Construcciones de anillos y aplicaciones . World Scientific. ISBN 978-981-02-4745-4.

[MikhalevPilz2002-5] 1 2 3 4 5 Lev N. Shevrin (2002). «Epigrupos». En Aleksandr Vasilʹevich Mikhalev y Günter Pilz (eds.). Manual conciso de álgebra . Springer. págs. 23–26 . ISBN 978-0-7923-7072-7.

[6] Peter M. Higgins (1992). Técnicas de la teoría de semigrupos . Oxford University Press. pág. 4. ISBN 978-0-19-853577-5.

[7] Peter M. Higgins (1992). Técnicas de la teoría de semigrupos . Oxford University Press. pág. 50. ISBN 978-0-19-853577-5.

[8] Peter M. Higgins (1992). Técnicas de la teoría de semigrupos . Oxford University Press. pág. 12. ISBN 978-0-19-853577-5.

[9] Peter M. Higgins (1992). Técnicas de la teoría de semigrupos . Oxford University Press. pág. 28. ISBN 978-0-19-853577-5.

[10] Peter M. Higgins (1992). Técnicas de la teoría de semigrupos . Oxford University Press. pág. 48. ISBN 978-0-19-853577-5.

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