semigrupo regular

En matemáticas , un semigrupo regular es un semigrupo S en el que cada elemento es regular , es decir, para cada elemento a en S existe un elemento x en S tal que axa = a . ^{[ 1 ]} Los semigrupos regulares son una de las clases de semigrupos más estudiadas, y su estructura es particularmente susceptible de estudio mediante las relaciones de Green . ^{[ 2 ]}

Los semigrupos regulares fueron introducidos por J.A. Green en su influyente artículo de 1951 «Sobre la estructura de los semigrupos»; este fue también el artículo en el que se introdujeron las relaciones de Green . El concepto de regularidad en un semigrupo se adaptó de una condición análoga para anillos , ya considerada por John von Neumann . ^{[ 3 ]} Fue el estudio de Green sobre los semigrupos regulares lo que lo llevó a definir sus célebres relaciones . Según una nota a pie de página en Green 1951, la sugerencia de que la noción de regularidad se aplicara a los semigrupos fue hecha por primera vez por David Rees .

El término semigrupo inverso (en francés: demi-groupe inversif) se utilizó históricamente como sinónimo en los trabajos de Gabriel Thierrin (alumno de Paul Dubreil ) en la década de 1950, ^{[ 4 ] [ 5 ]} y todavía se usa ocasionalmente. ^{[ 6 ]}

Hay dos maneras equivalentes de definir un semigrupo regular S :

(1) para cada a en S , hay un x en S , que se llama pseudoinversa , ^{[ 7 ]} con axa = a ;

(2) todo elemento a tiene al menos un inverso b , en el sentido de que aba = a y bab = b .

Para ver la equivalencia de estas definiciones, supongamos primero que S se define mediante (2). Entonces b sirve como la x requerida en (1). Recíprocamente, si S se define mediante (1), entonces xax es un inverso de a , ya que a ( xax ) a = axa ( xa ) = axa = a y ( xax ) a ( xax ) = x ( axa )( xax ) = xa ( xax ) = x ( axa ) x = xax . ^{[ 8 ]}

El conjunto de inversos (en el sentido anterior) de un elemento a en un semigrupo arbitrario S se denota por V ( a ). ^{[ 9 ]} Por lo tanto, otra forma de expresar la definición (2) anterior es decir que en un semigrupo regular, V ( a ) no es vacío, para todo a en S. El producto de cualquier elemento a con cualquier b en V ( a ) es siempre idempotente : abab = ab , ya que aba = a . ^{[ 10 ]}

Recordemos que los ideales principales de un semigrupo S se definen en términos de S ¹ , el semigrupo con identidad adjunta ; esto garantiza que un elemento a pertenezca a los ideales principales derecho, izquierdo y bilateral que genera. Sin embargo, en un semigrupo regular S , un elemento a = axa pertenece automáticamente a estos ideales, sin necesidad de adjuntar una identidad. Por lo tanto , las relaciones de Green pueden redefinirse para semigrupos regulares de la siguiente manera:

${\displaystyle a\,{\mathcal {L}}\,b}$si, y solo si , Sa = Sb ;

${\displaystyle a\,{\mathcal {R}}\,b}$si, y solo si, aS = bS ;

${\displaystyle a\,{\mathcal {J}}\,b}$si, y solo si, SaS = SbS . ^{[ 13 ]}

En un semigrupo regular S , cada${\displaystyle {\mathcal {L}}}$- y${\displaystyle {\mathcal {R}}}$-clase contiene al menos un idempotente . Si a es cualquier elemento de S y a ′ es cualquier inverso de a , entonces a es${\displaystyle {\mathcal {L}}}$-relacionado con un ′ a y${\displaystyle {\mathcal {R}}}$-relacionado con un a ′ . ^{[ 14 ]}

Teorema. Sea S un semigrupo regular; sean a y b elementos de S , y sea V(x) el conjunto de inversos de x en S. Entonces

• ${\displaystyle a\,{\mathcal {L}}\,b}$si y solo si existen a ′ en V ( a ) y b ′ en V ( b ) tales que a ′ a = b ′ b ;
• ${\displaystyle a\,{\mathcal {R}}\,b}$si y solo si existen a ′ en V ( a ) y b ′ en V ( b ) tales que a a ′ = b b ′ ,
• ${\displaystyle a\,{\mathcal {H}}\,b}$si y solo si existen a ′ en V ( a ) y b ′ en V ( b ) tales que a ′ a = b ′ b y a a ′ = b b ′ . ^{[ 15 ]}

Si S es un semigrupo inverso , entonces el idempotente en cada${\displaystyle {\mathcal {L}}}$- y${\displaystyle {\mathcal {R}}}$-La clase es única. ^{[ 12 ]}

Algunas clases especiales de semigrupos regulares son: ^{[ 16 ]}

• Semigrupos localmente inversos : un semigrupo regular S es localmente inverso si eSe es un semigrupo inverso, para cada idempotente e .
• Semigrupos ortodoxos : un semigrupo regular S es ortodoxo si su subconjunto de idempotentes forma un subsemigrupo.
• Semigrupos inversos generalizados : un semigrupo regular S se denomina semigrupo inverso generalizado si sus idempotentes forman una banda normal, es decir, xyzx = xzyx para todos los idempotentes x , y , z .

La clase de semigrupos inversos generalizados es la intersección de la clase de semigrupos localmente inversos y la clase de semigrupos ortodoxos. ^{[ 17 ]}

Todos los semigrupos inversos son ortodoxos y localmente inversos. Las afirmaciones recíprocas no son ciertas.

• eventualmente semigrupo regular
• Semigrupo E -denso (también conocido como E -inversivo)

• Conjunto biordenado
• Clases especiales de semigrupos
• Pedido de Nambooripad
• Inversa generalizada

• Clifford, Alfred Hoblitzelle ; Preston, Gordon Bamford (2010) [1967]. La teoría algebraica de los semigrupos . Vol.  2. American Mathematical Society . ISBN 978-0-8218-0272-4.
• Howie, John Mackintosh (1995). Fundamentos de la teoría de semigrupos (1.ª  ed.). Clarendon Press . ISBN 978-0-19-851194-6.
• M. Kilp, U. Knauer, AV Mikhalev, Monoides, actos y categorías con aplicaciones a gráficos y productos de coronas , Exposiciones de De Gruyter en Matemáticas vol. 29, Walter de Gruyter, 2000, ISBN 3-11-015248-7.
• JA Green (1951). "Sobre la estructura de los semigrupos". Annals of Mathematics . Segunda serie. 54 (1): 163– 172. doi : 10.2307/1969317 . hdl : 10338.dmlcz/100067 . JSTOR 1969317 . 
• JM Howie, Semigrupos, pasado, presente y futuro, Actas de la Conferencia Internacional sobre Álgebra y sus Aplicaciones , 2002, 6–20.
• J. von Neumann (1936). " Sobre anillos regulares" . Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos . 22 (12): 707– 713. Bibcode : 1936PNAS...22..707V . doi : 10.1073/pnas.22.12.707 . PMC 1076849. PMID 16577757 .