Semigrupo inverso

En teoría de grupos , un semigrupo inverso (ocasionalmente llamado semigrupo de inversión ^{[ 1 ]} ) S es un semigrupo en el que cada elemento x de S tiene un único inverso y en S, en el sentido de que x = xyx e y = yxy , es decir, un semigrupo regular en el que cada elemento tiene un único inverso. Los semigrupos inversos aparecen en diversos contextos; por ejemplo, pueden emplearse en el estudio de simetrías parciales . ^{[ 2 ]}

(En este artículo se seguirá la convención de escribir una función a la derecha de su argumento, por ejemplo, x f en lugar de f ( x ), y de componer funciones de izquierda a derecha, una convención que se observa a menudo en la teoría de semigrupos). 

Los semigrupos inversos fueron introducidos independientemente por Viktor Vladimirovich Wagner ^{[ 3 ]} en la Unión Soviética en 1952, ^{[ 4 ]} y por Gordon Preston en el Reino Unido en 1954. ^{[ 5 ]} Ambos autores llegaron a los semigrupos inversos mediante el estudio de biyecciones parciales de un conjunto : una transformación parcial α de un conjunto X es una función de A a B , donde A y B son subconjuntos de X. Sean α y β transformaciones parciales de un conjunto X ; α y β pueden componerse (de izquierda a derecha) en el dominio más grande sobre el cual "tiene sentido" componerlas:

${\displaystyle \operatorname {dom} \alpha \beta =[\operatorname {im} \alpha \cap \operatorname {dom} \beta ]\alpha ^{-1}\,}$

donde α ^{− 1} denota la preimagen bajo α . Las transformaciones parciales ya se habían estudiado en el contexto de los pseudogrupos . ^{[ 6 ]} Sin embargo, fue Wagner quien observó por primera vez que la composición de transformaciones parciales es un caso especial de la composición de relaciones binarias . ^{[ 7 ]} También reconoció que el dominio de composición de dos transformaciones parciales puede ser el conjunto vacío , por lo que introdujo una transformación vacía para tener esto en cuenta. Con la adición de esta transformación vacía, la composición de transformaciones parciales de un conjunto se convierte en una operación binaria asociativa definida en todas partes . Bajo esta composición, la colección ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{X}}$de todas las transformaciones biyectivas parciales de un conjunto X forman un semigrupo inverso, llamado semigrupo inverso simétrico (o monoide) en X , con inverso la inversa funcional definida de la imagen al dominio (equivalentemente, la relación inversa ). ^{[ 8 ]} Este es el semigrupo inverso "arquetípico", de la misma manera que un grupo simétrico es el grupo arquetípico . Por ejemplo, así como todo grupo puede estar incrustado en un grupo simétrico , todo semigrupo inverso puede estar incrustado en un semigrupo inverso simétrico (véase §  Homomorfismos y representaciones de semigrupos inversos más adelante).

El inverso de un elemento x de un semigrupo inverso S se suele escribir x ^{− 1} . Los inversos en un semigrupo inverso tienen muchas de las mismas propiedades que los inversos en un grupo , por ejemplo, ( ab ) ^{− 1} = b ^{− 1} a ^{− 1} . En un monoide inverso , xx ^{− 1} y x ^{− 1} x no son necesariamente iguales a la identidad, pero ambos son idempotentes . ^{[ 9 ]} Un monoide inverso S en el que xx ^{− 1} = 1 = x ^{− 1} x , para todo x en S (un monoide inverso unipotente ), es, por supuesto, un grupo .

Hay varias caracterizaciones equivalentes de un semigrupo inverso S : ^{[ 10 ]}

• Cada elemento de S tiene un inverso único, en el sentido antes mencionado.
• Cada elemento de S tiene al menos un inverso ( S es un semigrupo regular ) y los idempotentes conmutan (es decir, los idempotentes de S forman un semiretículo ).
• Cada${\displaystyle {\mathcal {L}}}$-clase y cada${\displaystyle {\mathcal {R}}}$-clase contiene precisamente un idempotente , donde${\displaystyle {\mathcal {L}}}$y${\displaystyle {\mathcal {R}}}$son dos de los parientes de Green .

El idempotente en el${\displaystyle {\mathcal {L}}}$-clase de s es s ^{− 1} s , mientras que el idempotente en el${\displaystyle {\mathcal {R}}}$-clase de s es ss ^{− 1} . Por lo tanto, existe una caracterización simple de las relaciones de Green en un semigrupo inverso: ^{[ 11 ]}

${\displaystyle a\,{\mathcal {L}}\,b\Longleftrightarrow a^{-1}a=b^{-1}b,\quad a\,{\mathcal {R}}\,b\Longleftrightarrow aa^{-1}=bb^{-1}}$

A menos que se indique lo contrario, E(S) denotará el semirretículo de idempotentes de un semigrupo inverso S.

Un semigrupo inverso S posee una relación de orden parcial natural ≤ (a veces denotada por ω), que se define de la siguiente manera: ^{[ 12 ]}

${\displaystyle a\leq b\Longleftrightarrow a=eb,}$

para algún idempotente e en S. Equivalentemente,

${\displaystyle a\leq b\Longleftrightarrow a=bf,}$

para algún idempotente f en S (en general, diferente) . De hecho, se puede tomar e como aa ^{− 1} y f como a ^{− 1} a . ^{[ 13 ]}

El orden parcial natural es compatible tanto con la multiplicación como con la inversión, es decir, ^{[ 14 ]}

${\displaystyle a\leq b,c\leq d\Longrightarrow ac\leq bd}$

y

${\displaystyle a\leq b\Longrightarrow a^{-1}\leq b^{-1}.}$

En un grupo , este orden parcial se reduce simplemente a la igualdad, ya que la identidad es el único idempotente . En un semigrupo inverso simétrico, el orden parcial se reduce a la restricción de aplicaciones, es decir, α ≤ β si y solo si el dominio de α está contenido en el dominio de β y xα = xβ , para todo x en el dominio de α . ^{[ 15 ]}

El orden parcial natural en un semigrupo inverso interactúa con las relaciones de Green de la siguiente manera: si s ≤ t y s${\displaystyle \,{\mathcal {L}}\,}$t , entonces s = t . De manera similar, si s${\displaystyle \,{\mathcal {R}}\,}$t . ^{[ 16 ]}

En E ( S ), el orden parcial natural se convierte en:

${\displaystyle e\leq f\Longleftrightarrow e=ef,}$

Así pues, dado que los idempotentes forman un semiretículo bajo la operación de producto, los productos en E ( S ) dan los límites superiores más bajos con respecto a ≤.

Si E ( S ) es finito y forma una cadena (es decir, E ( S ) está totalmente ordenado por ≤), entonces S es una unión de grupos . ^{[ 17 ]} Si E ( S ) es una cadena infinita, es posible obtener un resultado análogo bajo hipótesis adicionales sobre S y E ( S ). ^{[ 18 ]}

Un homomorfismo (o morfismo ) de semigrupos inversos se define exactamente igual que para cualquier otro semigrupo: para los semigrupos inversos S y T , una función θ de S a T es un morfismo si ( sθ )( tθ ) = ( st ) θ , para todo s , t en S. La definición de un morfismo de semigrupos inversos podría ampliarse incluyendo la condición ( sθ ) ^{− 1} = s ^{− 1} θ ; sin embargo, no es necesario hacerlo, ya que esta propiedad se deduce de la definición anterior, mediante el siguiente teorema:

Teorema. La imagen homomórfica de un semigrupo inverso es un semigrupo inverso; el inverso de un elemento siempre se corresponde con el inverso de la imagen de ese elemento. ^{[ 19 ]}

Uno de los primeros resultados demostrados sobre semigrupos inversos fue el teorema de Wagner-Preston , que es un análogo del teorema de Cayley para grupos :

Teorema de Wagner-Preston. Si S es un semigrupo inverso, entonces la función φ de S a${\displaystyle {\mathcal {I}}_{S}}$, dado por

dom ( aφ ) = Sa ^{− 1} y x ( aφ ) = xa

^es una representación fiel de S. [ ^{20 ]}

Así, cualquier semigrupo inverso puede incrustarse en un semigrupo inverso simétrico, y su imagen es cerrada bajo la operación inversa sobre biyecciones parciales. Recíprocamente, cualquier subsemigrupo del semigrupo inverso simétrico cerrado bajo la operación inversa es un semigrupo inverso. Por lo tanto, un semigrupo S es isomorfo a un subsemigrupo del semigrupo inverso simétrico cerrado bajo inversas si y solo si S es un semigrupo inverso.

Las congruencias se definen en semigrupos inversos exactamente de la misma manera que para cualquier otro semigrupo: una congruencia ρ es una relación de equivalencia que es compatible con la multiplicación de semigrupos, es decir,

${\displaystyle a\,\rho \,b,\quad c\,\rho \,d\Longrightarrow ac\,\rho \,bd.}$^{[ 21 ]}

De particular interés es la relación${\displaystyle \sigma }$, definido en un semigrupo inverso S por

${\displaystyle a\,\sigma \,b\Longleftrightarrow }$existe un${\displaystyle c\in S}$con${\displaystyle c\leq a,b.}$^{[ 22 ]}

Se puede demostrar que σ es una congruencia y, de hecho, es una congruencia de grupo , lo que significa que el semigrupo factor S / σ es un grupo. En el conjunto de todas las congruencias de grupo en un semigrupo S , el elemento mínimo (para el orden parcial definido por la inclusión de conjuntos) no tiene por qué ser el elemento más pequeño. En el caso específico en que S es un semigrupo inverso, σ es la congruencia más pequeña en S tal que S / σ es un grupo, es decir, si τ es cualquier otra congruencia en S con S / τ un grupo, entonces σ está contenida en τ . La congruencia σ se llama la congruencia de grupo mínima en S. ^{[ 23 ]} La congruencia de grupo mínima se puede usar para dar una caracterización de los semigrupos inversos E -unitarios (ver más adelante).

Una congruencia ρ en un semigrupo inverso S se llama idempotente pura si

${\displaystyle a\in S,e\in E(S),a\,\rho \,e\Longrightarrow a\in E(S).}$^{[ 24 ]}

Una clase de semigrupos inversos que se ha estudiado extensamente a lo largo de los años es la clase de semigrupos inversos E -unitarios: un semigrupo inverso S (con semiretículo E de idempotentes ) es E - unitario si, para todo e en E y todo s en S ,

${\displaystyle es\in E\Longrightarrow s\in E.}$

De forma equivalente,

${\displaystyle se\in E\Rightarrow s\in E.}$^{[ 25 ]}

Otra caracterización de un ^semigrupo inverso E -unitario S es la siguiente: si e está en E y e ≤ s , para algún s en S , entonces s está en E. ^{[ 26} ]

Teorema. Sea S un semigrupo inverso con semirretículo E de idempotentes y congruencia de grupo mínima σ . Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes: ^{[ 27 ]}

• S es E -unitario;
• σ es idempotente puro;
• ${\displaystyle \sim }$= σ ,

dónde${\displaystyle \sim }$es la relación de compatibilidad en S , definida por

${\displaystyle a\sim b\Longleftrightarrow ab^{-1},a^{-1}b}$son idempotentes.

Teorema de recubrimiento de McAlister. Todo semigrupo inverso S tiene un recubrimiento E-unitario; es decir, existe un homomorfismo sobreyectivo separador idempotente de algún semigrupo E-unitario T sobre S. ^{[ 28 ]}

Fundamental para el estudio de los semigrupos inversos E -unitarios es la siguiente construcción. ^{[ 29 ]} Sea${\displaystyle {\mathcal {X}}}$Sea un conjunto parcialmente ordenado , con ordenación ≤, y sea${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$ser un subconjunto de${\displaystyle {\mathcal {X}}}$con las propiedades que

• ${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$es una semirretícula inferior , es decir, cada par de elementos A , B en${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$tiene el mayor límite inferior A${\displaystyle \wedge }$Papelera​${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$(con respecto a ≤);
• ${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$es un ideal de orden de${\displaystyle {\mathcal {X}}}$, es decir, para A , B en${\displaystyle {\mathcal {X}}}$, si A está en${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$y B ≤ A , entonces B está en${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$.

Ahora bien, sea G un grupo que actúa sobre${\displaystyle {\mathcal {X}}}$(a la izquierda), de tal manera que

• para todo g en G y todo A , B en${\displaystyle {\mathcal {X}}}$, gA = gB si, y solo si, A = B ;
• para cada g en G y cada B en${\displaystyle {\mathcal {X}}}$, existe una A en${\displaystyle {\mathcal {X}}}$de tal manera que gA = B ;
• para todos A , B en${\displaystyle {\mathcal {X}}}$, A ≤ B si, y solo si, gA ≤ gB ;
• para todo g , h en G y todo A en${\displaystyle {\mathcal {X}}}$, g ( hA ) = ( gh ) A .

El triple${\displaystyle (G,{\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})}$También se supone que posee las siguientes propiedades:

• por cada X en${\displaystyle {\mathcal {X}}}$, existe una g en G y una A en${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$de tal manera que gA = X ;
• para todo g en G , g${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$y${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$tener intersección no vacía.

Tal triple${\displaystyle (G,{\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})}$Se denomina triple de McAlister . Un triple de McAlister se utiliza para definir lo siguiente:

${\displaystyle P(G,{\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})=\{(A,g)\in {\mathcal {Y}}\times G:g^{-1}A\in {\mathcal {Y}}\}}$

junto con la multiplicación

${\displaystyle (A,g)(B,h)=(A\wedge gB,gh)}$.

Entonces${\displaystyle P(G,{\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})}$es un semigrupo inverso bajo esta multiplicación, con ( A , g ) ^{− 1} = ( g ^{− 1} A , g ^{− 1} ) . Uno de los principales resultados en el estudio de los semigrupos inversos E- unitarios es el teorema P de McAlister :

Teorema P de McAlister. Sea${\displaystyle (G,{\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})}$ser un triple McAlister. Entonces${\displaystyle P(G,{\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})}$es un semigrupo inverso E -unitario. Recíprocamente, todo semigrupo inverso E -unitario es isomorfo a uno de este tipo. ^{[ 30 ]}

Es posible una construcción similar a un grupo libre para semigrupos inversos. Una presentación del semigrupo inverso libre en un conjunto X se puede obtener considerando el semigrupo libre con involución , donde la involución es tomar el inverso, y luego tomando el cociente por la congruencia de Vagner.

${\displaystyle \{(xx^{-1}x,x),\;(xx^{-1}yy^{-1},yy^{-1}xx^{-1})\;|\;x,y\in (X\cup X^{-1})^{+}\}.}$

El problema de la multiplicación en semigrupos inversos libres es mucho más complejo que el de los grupos libres. W. D. Munn demostró que los elementos de un semigrupo inverso libre pueden considerarse naturalmente como árboles, conocidos como árboles de Munn. La multiplicación en un semigrupo inverso libre tiene un equivalente en los árboles de Munn , que consiste esencialmente en la superposición de porciones comunes de los árboles. (Véase Lawson, 1998, para más detalles).

Cualquier semigrupo inverso libre es F -inverso. ^{[ 31 ]}

La composición anterior de transformaciones parciales de un conjunto da lugar a un semigrupo inverso simétrico. Existe otra forma de componer transformaciones parciales, más restrictiva que la anterior: dos transformaciones parciales α y β se componen si y solo si la imagen de α es igual al dominio de β ; de lo contrario, la composición αβ no está definida. Bajo esta composición alternativa, el conjunto de todas las transformaciones parciales biyectivas de un conjunto no forma un semigrupo inverso, sino un grupoide inductivo , en el sentido de la teoría de categorías . Esta estrecha relación entre semigrupos inversos y grupoides inductivos se plasma en el teorema de Ehresmann-Schein-Nambooripad , que establece que un grupoide inductivo siempre puede construirse a partir de un semigrupo inverso, y viceversa. ^{[ 32 ]} Más precisamente, un semigrupo inverso es precisamente un grupoide en la categoría de posets que es un grupoide étale con respecto a su topología de Alexandrov (dual) y cuyo poset de objetos es un semiretículo de encuentro.

Como se indicó anteriormente, un semigrupo inverso S puede definirse mediante las condiciones (1) S es un semigrupo regular y (2) los idempotentes en S conmutan; esto ha llevado a dos clases distintas de generalizaciones de un semigrupo inverso: semigrupos en los que se cumple (1), pero no (2), y viceversa.

Ejemplos de generalizaciones regulares de un semigrupo inverso son: ^{[ 33 ]}

• Semigrupos regulares : un semigrupo S es regular si cada elemento tiene al menos un inverso; equivalentemente, para cada a en S , hay un x en S tal que axa = a .
• Semigrupos localmente inversos : un semigrupo regular S es localmente inverso si eSe es un semigrupo inverso, para cada idempotente e .
• Semigrupos ortodoxos : un semigrupo regular S es ortodoxo si su subconjunto de idempotentes forma un subsemigrupo.
• Semigrupos inversos generalizados : un semigrupo regular S se denomina semigrupo inverso generalizado si sus idempotentes forman una banda normal, es decir, xyzx = xzyx , para todos los idempotentes x , y , z .

La clase de semigrupos inversos generalizados es la intersección de la clase de semigrupos localmente inversos y la clase de semigrupos ortodoxos. ^{[ 34 ]}

Entre las generalizaciones no regulares de un semigrupo inverso se encuentran: ^{[ 35 ]}

• Semigrupos adecuados (izquierdo, derecho, bilateral).
• (Izquierda, derecha, bilateral) amplios semigrupos.
• Semigrupos semiadecuados (izquierdo, derecho, bilateral).
• Semigrupos débilmente amplios (izquierdo, derecho, bilateral).

• Clifford, AH; Preston, GB (1967). La teoría algebraica de los semigrupos . Mathematical Surveys of the American Mathematical Society. Vol.  7. ISBN 978-0-8218-0272-4.
• Fountain, JB (1979). "Semigrupos adecuados" . Actas de la Sociedad Matemática de Edimburgo . 22 (2): 113– 125. doi : 10.1017/S0013091500016230 .
• Gołab, San (1939). "Über den Begriff der" Pseudogruppe von Transformationen"". Mathematische Annalen (en alemán). 116 : 768– 780. doi : 10.1007/BF01597390 .
• Exel, R. (1998). "Acciones parciales de grupos y acciones de semigrupos inversos". Actas de la Sociedad Matemática Americana . 126 (12): 3481– 4. arXiv : funct-an/9511003 . doi : 10.1090/S0002-9939-98-04575-4 .
• Gould, V. "(Débilmente) izquierda E-ample semigrupos" . Archivado del original (Postscript) el 26 de agosto de 2005. Recuperado el 28 de agosto de 2006 .
• Howie, JM (1995). Fundamentos de la teoría de semigrupos . Oxford: Clarendon Press. ISBN 0198511949.
• Lawson, MV (1998). Semigrupos inversos: La teoría de las simetrías parciales . World Scientific. ISBN 9810233167.
• McAlister, DB (1974a). "Grupos, semirretículos y semigrupos inversos". Transactions of the American Mathematical Society . 192 : 227–244 . doi : 10.2307/1996831 . JSTOR 1996831 . 
• McAlister, DB (1974b). "Grupos, semirretículos y semigrupos inversos II" . Transactions of the American Mathematical Society . 196 : 351–370 . doi : 10.2307/1997032 . JSTOR 1997032 . 
• Petrich, M. (1984). Semigrupos inversos . Wiley. ISBN 0471875457.
• Preston, GB (1954a). "Semigrupos inversos". Journal of the London Mathematical Society . 29 (4): 396– 403. doi : 10.1112/jlms/s1-29.4.396 .
• Preston, GB (1954b). "Semigrupos inversos con ideales derechos mínimos". Journal of the London Mathematical Society . 29 (4): 404– 411. doi : 10.1112/jlms/s1-29.4.404 .
• Preston, GB (1954c). "Representaciones de semigrupos inversos". Journal of the London Mathematical Society . 29 (4): 411– 9. doi : 10.1112/jlms/s1-29.4.411 .
• Schein, BM (1981). "Obituario: Viktor Vladimirovich Vagner (1908–1981)" . Semigroup Forum . 28 : 189–200 . doi : 10.1007/BF02676643 .
• Schein, BM (2002). "Reseña del libro: "Semigrupos inversos: la teoría de las simetrías parciales" de Mark V. Lawson". Semigroup Forum . 65 : 149–158 . doi : 10.1007/s002330010132 .
• Wagner, VV (1952). "Grupos generalizados". Actas de la Academia de Ciencias de la URSS (en ruso). 84 : 1119–1122 .Traducción al inglés (PDF)
• Wagner, VV (1953). "La teoría de los montones generalizados y los grupos generalizados". Matematicheskii Sbornik . Novaya Seriya (en ruso). 32 (74): 545– 632.

• Para una breve introducción a los semigrupos inversos, consulte Clifford y Preston 1967 , Capítulo 7 o Howie 1995 , Capítulo 5 .
• Se pueden encontrar introducciones más completas en Petrich 1984 y Lawson 1998 .
• Linckelmann, M. (2012). "Sobre categorías inversas y transferencia en cohomología" (PDF) . Actas de la Sociedad Matemática de Edimburgo . 56 : 187. doi : 10.1017/S0013091512000211 .Preimpresión de acceso abierto