Ínfimo y supremo

Finalmente, un conjunto parcialmente ordenado puede tener muchos límites superiores mínimos sin tener un límite superior mínimo. Los límites superiores mínimos son aquellos para los que no existe un elemento estrictamente menor que también sea un límite superior. Esto no significa que cada límite superior mínimo sea menor que todos los demás, sino simplemente que no es mayor. La distinción entre "mínimo" y "mínimo" solo es posible cuando el orden dado no es total . En un conjunto totalmente ordenado, como los números reales, los conceptos son los mismos.

Como ejemplo, dejemos${\displaystyle S}$Sea el conjunto de todos los subconjuntos finitos de números naturales y consideremos el conjunto parcialmente ordenado obtenido al tomar todos los conjuntos de${\displaystyle S}$junto con el conjunto de números enteros${\displaystyle \mathbb {Z} }$y el conjunto de números reales positivos${\displaystyle \mathbb {R} ^{+},}$ordenado por inclusión de subconjuntos como se indicó anteriormente. Entonces claramente ambos${\displaystyle \mathbb {Z} }$y${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$son mayores que todos los conjuntos finitos de números naturales. Sin embargo, tampoco lo es${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$más pequeño que${\displaystyle \mathbb {Z} }$Tampoco es cierto lo contrario: ambos conjuntos son cotas superiores mínimas, pero ninguno es un supremo.

La propiedad de cota superior mínima es un ejemplo de las propiedades de completitud mencionadas anteriormente , típicas del conjunto de los números reales. Esta propiedad a veces se denomina completitud de Dedekind .

Si un conjunto ordenado${\displaystyle S}$tiene la propiedad de que cada subconjunto no vacío de${\displaystyle S}$tener un límite superior también implica tener un límite superior mínimo, entonces${\displaystyle S}$Se dice que tiene la propiedad de límite superior mínimo. Como se mencionó anteriormente, el conjunto${\displaystyle \mathbb {R} }$de todos los números reales tiene la propiedad de cota superior mínima. De manera similar, el conjunto${\displaystyle \mathbb {Z} }$de enteros tiene la propiedad de límite superior mínimo; si${\displaystyle S}$es un subconjunto no vacío de${\displaystyle \mathbb {Z} }$y hay algún número${\displaystyle n}$de tal manera que cada elemento${\displaystyle s}$de${\displaystyle S}$es menor o igual que${\displaystyle n,}$entonces existe un límite superior mínimo${\displaystyle u}$para${\displaystyle S,}$un número entero que es un límite superior para${\displaystyle S}$y es menor o igual que cualquier otro límite superior para${\displaystyle S.}$Un conjunto bien ordenado también tiene la propiedad de cota superior mínima, y ​​el subconjunto vacío también tiene una cota superior mínima: el mínimo de todo el conjunto.

Un ejemplo de un conjunto que carece de la propiedad de límite superior mínimo es${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$el conjunto de los números racionales. Sea${\displaystyle S}$Sea el conjunto de todos los números racionales.${\displaystyle q}$de tal manera que${\displaystyle q^{2}<2.}$Entonces${\displaystyle S}$tiene un límite superior (${\displaystyle 1000,}$por ejemplo, o${\displaystyle 6}$) pero no hay límite superior mínimo en${\displaystyle \mathbb {Q} }$: Si suponemos${\displaystyle p\in \mathbb {Q} }$es el límite superior más pequeño, se deduce inmediatamente una contradicción porque entre cualesquiera dos reales${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$(incluido${\displaystyle {\sqrt {2}}}$y${\displaystyle p}$) existe alguna racionalidad${\displaystyle r,}$que en sí mismo tendría que ser el límite superior más bajo (si${\displaystyle p>{\sqrt {2}}}$) o un miembro de${\displaystyle S}$más que${\displaystyle p}$(si${\displaystyle p<{\sqrt {2}}}$Otro ejemplo son los hiperreales ; no existe una cota superior mínima del conjunto de infinitesimales positivos.

Existe una propiedad correspondiente de cota inferior máxima ; un conjunto ordenado posee la propiedad de cota inferior máxima si y solo si también posee la propiedad de cota superior mínima; la cota superior mínima del conjunto de cotas inferiores de un conjunto es la cota inferior máxima, y ​​la cota inferior máxima del conjunto de cotas superiores de un conjunto es la cota superior mínima del conjunto.

Si en un conjunto parcialmente ordenado${\displaystyle P}$todo subconjunto acotado tiene un supremo, esto también se aplica a cualquier conjunto${\displaystyle X,}$en el espacio de funciones que contiene todas las funciones de${\displaystyle X}$a${\displaystyle P,}$dónde${\displaystyle f\leq g}$si y solo si${\displaystyle f(x)\leq g(x)}$a pesar de${\displaystyle x\in X.}$Por ejemplo, se aplica a funciones reales y, dado que estas pueden considerarse casos especiales de funciones, para funciones reales${\displaystyle n}$-tuplas y secuencias de números reales.

La propiedad del límite superior mínimo es un indicador del supremo.

Si${\displaystyle A}$es cualquier conjunto de números reales entonces${\displaystyle A\neq \varnothing }$si y solo si${\displaystyle \sup A\geq \inf A,}$y de otro modo${\displaystyle -\infty =\sup \varnothing <\inf \varnothing =\infty .}$^{[ 2 ]}

Inclusión del conjunto

Si${\displaystyle A\subsetequ B}$son conjuntos de números reales entonces${\displaystyle \inf A\geq \inf B}$(si${\displaystyle A=\varnothing }$Esto se lee como${\displaystyle \inf B\leq \infty }$) y${\displaystyle \sup A\leq \sup B.}$

Imagen en funciones Si${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ is a nondecreasing function and ${\displaystyle S}$ is a nonempty bounded subset of ${\displaystyle \mathbb {R} }$, then ${\displaystyle f(\inf(S))\leq \inf(f[S])}$ and ${\displaystyle f(\sup(S))\geq \sup(f[S])}$, where the image is defined as ${\displaystyle f[S]\,{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\,\{f(s):s\in S\}.}$

Identifying infima and suprema

If the infimum of ${\displaystyle A}$ exists (that is, ${\displaystyle \inf A}$ is a real number) and if ${\displaystyle p}$ is any real number then ${\displaystyle p=\inf A}$ if and only if ${\displaystyle p}$ is a lower bound and for every ${\displaystyle \epsilon >0}$ there is an ${\displaystyle a_{\epsilon }\in A}$ with ${\displaystyle a_{\epsilon }<p+\epsilon .}$ Similarly, if ${\displaystyle \sup A}$ is a real number and if ${\displaystyle p}$ is any real number then ${\displaystyle p=\sup A}$ if and only if ${\displaystyle p}$ is an upper bound and if for every ${\displaystyle \epsilon >0}$ there is an ${\displaystyle a_{\epsilon }\in A}$ with ${\displaystyle a_{\epsilon }>p-\epsilon .}$

Relation to limits of sequences

If ${\displaystyle S\neq \varnothing }$ is any non-empty set of real numbers then there always exists a non-decreasing sequence ${\displaystyle s_{1}\leq s_{2}\leq \cdots }$ in ${\displaystyle S}$ such that ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }s_{n}=\sup S.}$ Similarly, there will exist a (possibly different) non-increasing sequence ${\displaystyle s_{1}\geq s_{2}\geq \cdots }$ in ${\displaystyle S}$ such that ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }s_{n}=\inf S.}$ In particular, the infimum and supremum of a set belong to its closure if ${\displaystyle \inf S\in \mathbb {R} }$ then ${\displaystyle \inf S\in {\bar {S}}}$ and if ${\displaystyle \sup S\in \mathbb {R} }$ then ${\displaystyle \sup S\in {\bar {S}}}$

Expressing the infimum and supremum as a limit of a such a sequence allows theorems from various branches of mathematics to be applied. Consider for example the well-known fact from topology that if ${\displaystyle f}$ is a continuous function and ${\displaystyle s_{1},s_{2},\ldots }$ is a sequence of points in its domain that converges to a point ${\displaystyle p,}$ then ${\displaystyle f\left(s_{1}\right),f\left(s_{2}\right),\ldots }$ necessarily converges to ${\displaystyle f(p).}$ It implies that if ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }s_{n}=\sup S}$ is a real number (where all ${\displaystyle s_{1},s_{2},\ldots }$ are in ${\displaystyle S}$) and if ${\displaystyle f}$ is a continuous function whose domain contains ${\displaystyle S}$ and ${\displaystyle \sup S,}$ then $${\displaystyle f(\sup S)=f\left(\lim _{n\to \infty }s_{n}\right)=\lim _{n\to \infty }f\left(s_{n}\right),}$$ which (for instance) guarantees^{[note 1]} that ${\displaystyle f(\sup S)}$ is an adherent point of the set ${\displaystyle f(S)\,{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\,\{f(s):s\in S\}.}$ If in addition to what has been assumed, the continuous function ${\displaystyle f}$ is also an increasing or non-decreasing function, then it is even possible to conclude that ${\displaystyle \sup f(S)=f(\sup S).}$ This may be applied, for instance, to conclude that whenever ${\displaystyle g}$ is a real (or complex) valued function with domain ${\displaystyle \Omega \neq \varnothing }$ whose sup norm${\displaystyle \|g\|_{\infty }\,{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\,\sup _{x\in \Omega }|g(x)|}$ is finite, then for every non-negative real number ${\displaystyle q,}$$${\displaystyle \|g\|_{\infty }^{q}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(\sup _{x\in \Omega }|g(x)|\right)^{q}=\sup _{x\in \Omega }\left(|g(x)|^{q}\right)}$$ since the map ${\displaystyle f:[0,\infty )\to \mathbb {R} }$ defined by ${\displaystyle f(x)=x^{q}}$ is a continuous non-decreasing function whose domain ${\displaystyle [0,\infty )}$ always contains ${\displaystyle S:=\{|g(x)|:x\in \Omega \}}$ and ${\displaystyle \sup S\,{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\,\|g\|_{\infty }.}$

Although this discussion focused on ${\displaystyle \sup ,}$ similar conclusions can be reached for ${\displaystyle \inf }$ with appropriate changes (such as requiring that ${\displaystyle f}$ be non-increasing rather than non-decreasing). Other norms defined in terms of ${\displaystyle \sup }$ or ${\displaystyle \inf }$ include the weak ${\displaystyle L^{p,w}}$ space norms (for ${\displaystyle 1\leq p<\infty }$), the norm on Lebesgue space${\displaystyle L^{\infty }(\Omega ,\mu ),}$ and operator norms. Monotone sequences in ${\displaystyle S}$ that converge to ${\displaystyle \sup S}$ (or to ${\displaystyle \inf S}$) can also be used to help prove many of the formula given below, since addition and multiplication of real numbers are continuous operations.

The following formulas depend on a notation that conveniently generalizes arithmetic operations on sets. Throughout, ${\displaystyle A,B\subseteq \mathbb {R} }$ are sets of real numbers.

Sum of sets

The Minkowski sum of two sets ${\displaystyle A}$ and ${\displaystyle B}$ of real numbers is the set $${\displaystyle A+B~:=~\{a+b:a\in A,b\in B\}}$$ que consta de todas las posibles sumas aritméticas de pares de números, una de cada conjunto. El ínfimo y el supremo de la suma de Minkowski satisfacen, si${\displaystyle A\neq \varnothing \neq B}$$${\displaystyle \inf(A+B)=(\inf A)+(\inf B)}$$ y $${\displaystyle \sup(A+B)=(\sup A)+(\sup B).}$$

Producto de conjuntos

La multiplicación de dos conjuntos${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$La suma de números reales se define de forma similar a su suma de Minkowski: $${\displaystyle A\cdot B~:=~\{a\cdot b:a\in A,b\in B\}.}$$

Si${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$son conjuntos no vacíos de números reales positivos entonces${\displaystyle \inf(A\cdot B)=(\inf A)\cdot (\inf B)}$y de forma similar para suprema${\displaystyle \sup(A\cdot B)=(\sup A)\cdot (\sup B).}$^{[ 3 ]}

Producto escalar de un conjunto

El producto de un número real${\displaystyle r}$y un conjunto${\displaystyle B}$de números reales es el conjunto $${\displaystyle rB~:=~\{r\cdot b:b\in B\}.}$$

Si${\displaystyle r>0}$entonces $${\displaystyle \inf(r\cdot A)=r(\inf A)\quad {\text{ and }}\quad \sup(r\cdot A)=r(\sup A),}$$ mientras que si${\displaystyle r<0}$entonces $${\displaystyle \inf(r\cdot A)=r(\sup A)\quad {\text{ and }}\quad \sup(r\cdot A)=r(\inf A).}$$ En el caso${\displaystyle r=0}$, uno tiene, si${\displaystyle A\neq \varnothing }$$${\displaystyle \inf(0\cdot A)=0\quad {\text{ and }}\quad \sup(0\cdot A)=0}$$ Usando${\displaystyle r=-1}$y la notación${\textstyle -A:=(-1)A=\{-a:a\in A\},}$resulta que, $${\displaystyle \inf(-A)=-\sup A\quad {\text{ and }}\quad \sup(-A)=-\inf A.}$$

Inverso multiplicativo de un conjunto

Para cualquier conjunto${\displaystyle S}$que no contiene${\displaystyle 0,}$dejar $${\displaystyle {\frac {1}{S}}~:=\;\left\{{\tfrac {1}{s}}:s\in S\right\}.}$$

Si${\displaystyle S\subseteq (0,\infty )}$entonces no está vacío $${\displaystyle {\frac {1}{\sup _{}S}}~=~\inf _{}{\frac {1}{S}}}$$ donde esta ecuación también se cumple cuando${\displaystyle \sup _{}S=\infty }$si la definición${\displaystyle {\frac {1}{\infty }}:=0}$se utiliza. ^{[ nota 2 ]} Esta igualdad también puede escribirse como ${\displaystyle {\frac {1}{\displaystyle \sup _{s\in S}s}}=\inf _{s\in S}{\tfrac {1}{s}}.}$ Además,${\displaystyle \inf _{}S=0}$si y solo si${\displaystyle \sup _{}{\tfrac {1}{S}}=\infty ,}$donde si ^{[ nota 2 ]}${\displaystyle \inf _{}S>0,}$entonces${\displaystyle {\tfrac {1}{\inf _{}S}}=\sup _{}{\tfrac {1}{S}}.}$

• El ínfimo del conjunto de números${\displaystyle \{2,3,4\}}$es${\displaystyle 2.}$El número${\displaystyle 1}$es un límite inferior, pero no el mayor límite inferior, y por lo tanto no es el ínfimo.
• En términos más generales, si un conjunto tiene un elemento mínimo, este se denomina ínfimo. En este caso, también se le conoce como el mínimo del conjunto.
• ${\displaystyle \inf\{1,2,3,\ldots \}=1.}$
• ${\displaystyle \inf\{x\in \mathbb {R} :0<x<1\}=0.}$
• ${\displaystyle \inf \left\{x\in \mathbb {Q} :x^{3}>2\right\}={\sqrt[{3}]{2}}.}$
• ${\displaystyle \inf \left\{(-1)^{n}+{\tfrac {1}{n}}:n=1,2,3,\ldots \right\}=-1.}$
• Si${\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$es una secuencia decreciente con límite${\displaystyle x,}$entonces${\displaystyle \inf x_{n}=x.}$

• El supremo del conjunto de números${\displaystyle \{1,2,3\}}$es${\displaystyle 3.}$El número${\displaystyle 4}$es una cota superior, pero no es la menor cota superior y, por lo tanto, no es el supremo.
• ${\displaystyle \sup\{x\in \mathbb {R} :0<x<1\}=\sup\{x\in \mathbb {R} :0\leq x\leq 1\}=1.}$
• ${\displaystyle \sup \left\{(-1)^{n}-{\tfrac {1}{n}}:n=1,2,3,\ldots \right\}=1.}$
• ${\displaystyle \sup\{a+b:a\in A,b\in B\}=\sup A+\sup B.}$
• ${\displaystyle \sup \left\{x\in \mathbb {Q} :x^{2}<2\right\}={\sqrt {2}}.}$

En el último ejemplo, el supremo de un conjunto de racionales es irracional , lo que significa que los racionales son incompletos .

Una propiedad básica del supremo es $${\displaystyle \sup\{f(t)+g(t):t\in A\}~\leq ~\sup\{f(t):t\in A\}+\sup\{g(t):t\in A\}}$$ para cualquier funcional${\displaystyle f}$y${\displaystyle g.}$

El supremo de un subconjunto${\displaystyle S}$de${\displaystyle (\mathbb {N} ,\mid \,)}$dónde${\displaystyle \,\mid \,}$denota " divide ", es el mínimo común múltiplo de los elementos de${\displaystyle S.}$

El supremo de un conjunto${\displaystyle S}$que contiene subconjuntos de algún conjunto${\displaystyle X}$es la unión de los subconjuntos cuando se considera el conjunto parcialmente ordenado${\displaystyle (P(X),\subseteq )}$, dónde${\displaystyle P}$es el conjunto de potencias de${\displaystyle X}$y${\displaystyle \,\subseteq \,}$es un subconjunto .